噪聲環(huán)境下糾纏二能級原子的量子Discord動力學

王霄萍　周清平

【摘 要】噪聲環(huán)境中量子Discord動力學是實際量子信息處理的關鍵問題，本文研究了兩個任意糾纏二能級原子與耗散環(huán)境相互作用的量子Discord。

【關鍵詞】糾纏二能級原子；噪聲環(huán)境；量子Discord

0 引言

量子糾纏現(xiàn)象是量子力學中最為奇妙的特征之一，量子糾纏態(tài)被認為是實現(xiàn)量子信息處理的一種重要的物理資源，已經(jīng)廣泛應用于量子隱形傳態(tài)、量子密集編碼、量子密碼通信以及量子計算等量子信息任務。然而，在實際的物理環(huán)境中，量子系統(tǒng)不可避免受到外界環(huán)境的影響，量子糾纏態(tài)與環(huán)境發(fā)生相互作用導致量子糾纏退化與耗散，甚至退相干。隨著量子信息技術的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)，在沒有量子糾纏的情況下仍然可以實現(xiàn)量子通訊等過程，這個重大發(fā)現(xiàn)最早是被Datta[1-2]等人提出的。近年來，Ollivier和Zurek等人[3-4]的研究工作中提出了這樣一種量子關聯(lián)度量方法——Quantum Discord（量子失諧）的概念，把經(jīng)典世界中的互信息和條件熵理論用到量子世界中，更好地描述量子系統(tǒng)中所有的量子關聯(lián)特性。本文主要研究兩個處于任意糾纏態(tài)的二能級原子與噪聲環(huán)境相互作用的量子Discord動力學。

1 二體糾纏系統(tǒng)態(tài)的量子Discord

對于一般的由A和B構成的兩體量子系統(tǒng)，量子態(tài)可以用密度矩陣ρ表示。量子Discord定義為總關聯(lián)和經(jīng)典關聯(lián)的差：

■（1）

ρ為系統(tǒng)的密度算符，總關聯(lián)用量子互信息表示：

■（2）

其中S（ρ■■）、S（ρ■■）是馮·諾依曼熵，λj為本征值。經(jīng)典關聯(lián)可表示為：

■（3）

量子比特與庫相互作用附加真空腔后，本征值可表示為：

■（4）

馮·諾依曼熵為：

■

（5）

2 噪聲環(huán)境下糾纏二能級原子的演化規(guī)律

Alice和Bob共享一對糾纏原子量子對，在希爾伯特空間中表示為■和■。我們假設每個耗散腔是獨立的，由一個可控二能級原子的激發(fā)態(tài)和基態(tài)組成的單量子比特和高-Q腔相互作用，量子比特與庫相互作用的動力學取決于如下哈密度量[5]，

■（6）

ω0是躍遷頻率，■和■是系統(tǒng)的產(chǎn)生和湮滅算符，ωk表示第k個場模的頻率，■■和■■表示第k個場模的產(chǎn)生和湮滅算符，gk為耦合常數(shù)。由于初始量子比特與庫之間沒有相互作用，糾纏資源附加真空環(huán)境可表示成：

■（7）

■表示N摸真空腔，■表示只有第K摸是激發(fā)態(tài)的N摸腔。u（t）和v（t）都是與庫的結構有關的時間演化概率幅。當最初的量子通道是最大糾纏純態(tài)：

■（8）

那么，整個糾纏系統(tǒng)的動力學性質很容易得出，即演化后的量子通道為：

■（9）

通過描繪庫的情形，可以得到約化密度矩陣，由于■和■， ■和■結構相同，下面只寫出兩個約化密度矩陣代表[6]，以■和■為例，上標0，1分別表示■、■，下同：

■

（10）

3 噪聲環(huán)境下糾纏二能級原子量子Discord動力學

根據(jù)噪聲環(huán)境下糾纏二能級原子的演化規(guī)律及公式（10）描繪的約化密度矩陣可知道X型Bell態(tài)的本征值：

■

（11）

馮·諾依曼熵為：

■

（12）

將公式（11）和（12）代入式子（2），即可得出關聯(lián)互信息：

■

■

（13）

計算經(jīng)典關聯(lián)C（ρX）時，我們把公式（3）中的ρX和ρi定義為■，■，有：

■（14）

4 結論與分析

我們以X-型兩體量子系統(tǒng)為例進行投影測量，對子系統(tǒng)B進行馮·諾依曼測量：

■（15）

其中■是子系統(tǒng)B在基矢空間■的投影算符，V表示幺正算符，V∈SU（2）。由于測量使得兩體系統(tǒng)發(fā)生坍縮，于是ρAB變成了系綜形式{ρi，pi}，本征值為[7]：

■（16）

其中ρ0和ρ1相應存在概率為：

■（17）

η和η′表示為：

■

（18）

其中，■這里lm和Re分別表示復數(shù)z的實部和虛部。其中參數(shù)m，n，k，l定義為：

■

（19）

由此可見k+l=1。η和η′取決于密度矩陣的三個參數(shù)m，n，k，這三個參數(shù)分別滿足m∈[0，1/4]，n∈[-1/8，1/8]，k∈[0，1]。

要計算經(jīng)典關聯(lián)和量子Discord，就必須對S（ρX|{Bi}）求最小值，而S（ρX|{Bi}）的最小化取決于參數(shù)k，m和n的具體取值。由于參量k和l是對稱的，那么當k=l=1/2或者k=0，1時，S（ρX|{Bi}）有極值。由m，n，k，l的定義式可知，當k=0，1時，m和n必為零，而當k=l=1/2時，有η=η′，即S（ρ0）=S（ρ1），當n=±1/8和m=0，1/4時，S（ρX|{Bi}）有極值。

當k=0，l=1時，

■

■

■

■

■

■

（20）

當k=1，l=0時，

■

■

■

■

■

■

■

■

（21）

根據(jù)以上的分析即可得到經(jīng)典關聯(lián)。公式（13）中的互信息與經(jīng)典關聯(lián)的差值即是量子Discord。

【參考文獻】

[1]A Datta， A Shaji and C M Caves. Quantum discord and the power of one qubit[J] Phys. Rev. Lett.， 2008， 100： 050502～050510.

[2]A Datta and G Vidal. Quantum discord and the power of one qubit[J]. Phys. Rev. A， 2007， 75： 042310～042315.

[3]H. Ollivier， W. H. Zurek. Quantum discord and the power of one qubit[J]. Phys. Rev. Lett.， 2001， 88（4）： 017901～017911.

[4]L Henderson and V Vedral. Mathematical and General[J]. Phys. A， 2001， 34： 6899.

[5]H P Breuer and F Petruccione. The Theory of Open Quantum Systems[M]. Oxford： Oxford University， 2002.

[6]Zhang Y L， Zhou Q P， Kang G D， et al. International journal of quantum information[J]. 2012， 10： 1250030～1250043.

[7]M. Ali， A. R. P. Rau， and G. Alberl. Quantum discord for two-qubit X states[J]. Phys. Rev. A， 2010， 81： 042105～042113.

[責任編輯：湯靜]

【摘 要】噪聲環(huán)境中量子Discord動力學是實際量子信息處理的關鍵問題，本文研究了兩個任意糾纏二能級原子與耗散環(huán)境相互作用的量子Discord。

【關鍵詞】糾纏二能級原子；噪聲環(huán)境；量子Discord

0 引言

量子糾纏現(xiàn)象是量子力學中最為奇妙的特征之一，量子糾纏態(tài)被認為是實現(xiàn)量子信息處理的一種重要的物理資源，已經(jīng)廣泛應用于量子隱形傳態(tài)、量子密集編碼、量子密碼通信以及量子計算等量子信息任務。然而，在實際的物理環(huán)境中，量子系統(tǒng)不可避免受到外界環(huán)境的影響，量子糾纏態(tài)與環(huán)境發(fā)生相互作用導致量子糾纏退化與耗散，甚至退相干。隨著量子信息技術的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)，在沒有量子糾纏的情況下仍然可以實現(xiàn)量子通訊等過程，這個重大發(fā)現(xiàn)最早是被Datta[1-2]等人提出的。近年來，Ollivier和Zurek等人[3-4]的研究工作中提出了這樣一種量子關聯(lián)度量方法——Quantum Discord（量子失諧）的概念，把經(jīng)典世界中的互信息和條件熵理論用到量子世界中，更好地描述量子系統(tǒng)中所有的量子關聯(lián)特性。本文主要研究兩個處于任意糾纏態(tài)的二能級原子與噪聲環(huán)境相互作用的量子Discord動力學。

1 二體糾纏系統(tǒng)態(tài)的量子Discord

對于一般的由A和B構成的兩體量子系統(tǒng)，量子態(tài)可以用密度矩陣ρ表示。量子Discord定義為總關聯(lián)和經(jīng)典關聯(lián)的差：

■（1）

ρ為系統(tǒng)的密度算符，總關聯(lián)用量子互信息表示：

■（2）

其中S（ρ■■）、S（ρ■■）是馮·諾依曼熵，λj為本征值。經(jīng)典關聯(lián)可表示為：

■（3）

量子比特與庫相互作用附加真空腔后，本征值可表示為：

■（4）

馮·諾依曼熵為：

■

（5）

2 噪聲環(huán)境下糾纏二能級原子的演化規(guī)律

Alice和Bob共享一對糾纏原子量子對，在希爾伯特空間中表示為■和■。我們假設每個耗散腔是獨立的，由一個可控二能級原子的激發(fā)態(tài)和基態(tài)組成的單量子比特和高-Q腔相互作用，量子比特與庫相互作用的動力學取決于如下哈密度量[5]，

■（6）

ω0是躍遷頻率，■和■是系統(tǒng)的產(chǎn)生和湮滅算符，ωk表示第k個場模的頻率，■■和■■表示第k個場模的產(chǎn)生和湮滅算符，gk為耦合常數(shù)。由于初始量子比特與庫之間沒有相互作用，糾纏資源附加真空環(huán)境可表示成：

■（7）

■表示N摸真空腔，■表示只有第K摸是激發(fā)態(tài)的N摸腔。u（t）和v（t）都是與庫的結構有關的時間演化概率幅。當最初的量子通道是最大糾纏純態(tài)：

■（8）

那么，整個糾纏系統(tǒng)的動力學性質很容易得出，即演化后的量子通道為：

■（9）

通過描繪庫的情形，可以得到約化密度矩陣，由于■和■， ■和■結構相同，下面只寫出兩個約化密度矩陣代表[6]，以■和■為例，上標0，1分別表示■、■，下同：

■

（10）

3 噪聲環(huán)境下糾纏二能級原子量子Discord動力學

根據(jù)噪聲環(huán)境下糾纏二能級原子的演化規(guī)律及公式（10）描繪的約化密度矩陣可知道X型Bell態(tài)的本征值：

■

（11）

馮·諾依曼熵為：

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（12）

將公式（11）和（12）代入式子（2），即可得出關聯(lián)互信息：

■

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（13）

計算經(jīng)典關聯(lián)C（ρX）時，我們把公式（3）中的ρX和ρi定義為■，■，有：

■（14）

4 結論與分析

我們以X-型兩體量子系統(tǒng)為例進行投影測量，對子系統(tǒng)B進行馮·諾依曼測量：

■（15）

其中■是子系統(tǒng)B在基矢空間■的投影算符，V表示幺正算符，V∈SU（2）。由于測量使得兩體系統(tǒng)發(fā)生坍縮，于是ρAB變成了系綜形式{ρi，pi}，本征值為[7]：

■（16）

其中ρ0和ρ1相應存在概率為：

■（17）

η和η′表示為：

■

（18）

其中，■這里lm和Re分別表示復數(shù)z的實部和虛部。其中參數(shù)m，n，k，l定義為：

■

（19）

由此可見k+l=1。η和η′取決于密度矩陣的三個參數(shù)m，n，k，這三個參數(shù)分別滿足m∈[0，1/4]，n∈[-1/8，1/8]，k∈[0，1]。

要計算經(jīng)典關聯(lián)和量子Discord，就必須對S（ρX|{Bi}）求最小值，而S（ρX|{Bi}）的最小化取決于參數(shù)k，m和n的具體取值。由于參量k和l是對稱的，那么當k=l=1/2或者k=0，1時，S（ρX|{Bi}）有極值。由m，n，k，l的定義式可知，當k=0，1時，m和n必為零，而當k=l=1/2時，有η=η′，即S（ρ0）=S（ρ1），當n=±1/8和m=0，1/4時，S（ρX|{Bi}）有極值。

當k=0，l=1時，

■

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（20）

當k=1，l=0時，

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（21）

根據(jù)以上的分析即可得到經(jīng)典關聯(lián)。公式（13）中的互信息與經(jīng)典關聯(lián)的差值即是量子Discord。

【參考文獻】

[1]A Datta， A Shaji and C M Caves. Quantum discord and the power of one qubit[J] Phys. Rev. Lett.， 2008， 100： 050502～050510.

[2]A Datta and G Vidal. Quantum discord and the power of one qubit[J]. Phys. Rev. A， 2007， 75： 042310～042315.

[3]H. Ollivier， W. H. Zurek. Quantum discord and the power of one qubit[J]. Phys. Rev. Lett.， 2001， 88（4）： 017901～017911.

[4]L Henderson and V Vedral. Mathematical and General[J]. Phys. A， 2001， 34： 6899.

[5]H P Breuer and F Petruccione. The Theory of Open Quantum Systems[M]. Oxford： Oxford University， 2002.

[6]Zhang Y L， Zhou Q P， Kang G D， et al. International journal of quantum information[J]. 2012， 10： 1250030～1250043.

[7]M. Ali， A. R. P. Rau， and G. Alberl. Quantum discord for two-qubit X states[J]. Phys. Rev. A， 2010， 81： 042105～042113.

[責任編輯：湯靜]

【摘 要】噪聲環(huán)境中量子Discord動力學是實際量子信息處理的關鍵問題，本文研究了兩個任意糾纏二能級原子與耗散環(huán)境相互作用的量子Discord。

【關鍵詞】糾纏二能級原子；噪聲環(huán)境；量子Discord

0 引言

量子糾纏現(xiàn)象是量子力學中最為奇妙的特征之一，量子糾纏態(tài)被認為是實現(xiàn)量子信息處理的一種重要的物理資源，已經(jīng)廣泛應用于量子隱形傳態(tài)、量子密集編碼、量子密碼通信以及量子計算等量子信息任務。然而，在實際的物理環(huán)境中，量子系統(tǒng)不可避免受到外界環(huán)境的影響，量子糾纏態(tài)與環(huán)境發(fā)生相互作用導致量子糾纏退化與耗散，甚至退相干。隨著量子信息技術的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)，在沒有量子糾纏的情況下仍然可以實現(xiàn)量子通訊等過程，這個重大發(fā)現(xiàn)最早是被Datta[1-2]等人提出的。近年來，Ollivier和Zurek等人[3-4]的研究工作中提出了這樣一種量子關聯(lián)度量方法——Quantum Discord（量子失諧）的概念，把經(jīng)典世界中的互信息和條件熵理論用到量子世界中，更好地描述量子系統(tǒng)中所有的量子關聯(lián)特性。本文主要研究兩個處于任意糾纏態(tài)的二能級原子與噪聲環(huán)境相互作用的量子Discord動力學。

1 二體糾纏系統(tǒng)態(tài)的量子Discord

對于一般的由A和B構成的兩體量子系統(tǒng)，量子態(tài)可以用密度矩陣ρ表示。量子Discord定義為總關聯(lián)和經(jīng)典關聯(lián)的差：

■（1）

ρ為系統(tǒng)的密度算符，總關聯(lián)用量子互信息表示：

■（2）

其中S（ρ■■）、S（ρ■■）是馮·諾依曼熵，λj為本征值。經(jīng)典關聯(lián)可表示為：

■（3）

量子比特與庫相互作用附加真空腔后，本征值可表示為：

■（4）

馮·諾依曼熵為：

■

（5）

2 噪聲環(huán)境下糾纏二能級原子的演化規(guī)律

Alice和Bob共享一對糾纏原子量子對，在希爾伯特空間中表示為■和■。我們假設每個耗散腔是獨立的，由一個可控二能級原子的激發(fā)態(tài)和基態(tài)組成的單量子比特和高-Q腔相互作用，量子比特與庫相互作用的動力學取決于如下哈密度量[5]，

■（6）

ω0是躍遷頻率，■和■是系統(tǒng)的產(chǎn)生和湮滅算符，ωk表示第k個場模的頻率，■■和■■表示第k個場模的產(chǎn)生和湮滅算符，gk為耦合常數(shù)。由于初始量子比特與庫之間沒有相互作用，糾纏資源附加真空環(huán)境可表示成：

■（7）

■表示N摸真空腔，■表示只有第K摸是激發(fā)態(tài)的N摸腔。u（t）和v（t）都是與庫的結構有關的時間演化概率幅。當最初的量子通道是最大糾纏純態(tài)：

■（8）

那么，整個糾纏系統(tǒng)的動力學性質很容易得出，即演化后的量子通道為：

■（9）

通過描繪庫的情形，可以得到約化密度矩陣，由于■和■， ■和■結構相同，下面只寫出兩個約化密度矩陣代表[6]，以■和■為例，上標0，1分別表示■、■，下同：

■

（10）

3 噪聲環(huán)境下糾纏二能級原子量子Discord動力學

根據(jù)噪聲環(huán)境下糾纏二能級原子的演化規(guī)律及公式（10）描繪的約化密度矩陣可知道X型Bell態(tài)的本征值：

■

（11）

馮·諾依曼熵為：

■

（12）

將公式（11）和（12）代入式子（2），即可得出關聯(lián)互信息：

■

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（13）

計算經(jīng)典關聯(lián)C（ρX）時，我們把公式（3）中的ρX和ρi定義為■，■，有：

■（14）

4 結論與分析

我們以X-型兩體量子系統(tǒng)為例進行投影測量，對子系統(tǒng)B進行馮·諾依曼測量：

■（15）

其中■是子系統(tǒng)B在基矢空間■的投影算符，V表示幺正算符，V∈SU（2）。由于測量使得兩體系統(tǒng)發(fā)生坍縮，于是ρAB變成了系綜形式{ρi，pi}，本征值為[7]：

■（16）

其中ρ0和ρ1相應存在概率為：

■（17）

η和η′表示為：

■

（18）

其中，■這里lm和Re分別表示復數(shù)z的實部和虛部。其中參數(shù)m，n，k，l定義為：

■

（19）

由此可見k+l=1。η和η′取決于密度矩陣的三個參數(shù)m，n，k，這三個參數(shù)分別滿足m∈[0，1/4]，n∈[-1/8，1/8]，k∈[0，1]。

要計算經(jīng)典關聯(lián)和量子Discord，就必須對S（ρX|{Bi}）求最小值，而S（ρX|{Bi}）的最小化取決于參數(shù)k，m和n的具體取值。由于參量k和l是對稱的，那么當k=l=1/2或者k=0，1時，S（ρX|{Bi}）有極值。由m，n，k，l的定義式可知，當k=0，1時，m和n必為零，而當k=l=1/2時，有η=η′，即S（ρ0）=S（ρ1），當n=±1/8和m=0，1/4時，S（ρX|{Bi}）有極值。

當k=0，l=1時，

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（20）

當k=1，l=0時，

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（21）

根據(jù)以上的分析即可得到經(jīng)典關聯(lián)。公式（13）中的互信息與經(jīng)典關聯(lián)的差值即是量子Discord。

【參考文獻】

[1]A Datta， A Shaji and C M Caves. Quantum discord and the power of one qubit[J] Phys. Rev. Lett.， 2008， 100： 050502～050510.

[2]A Datta and G Vidal. Quantum discord and the power of one qubit[J]. Phys. Rev. A， 2007， 75： 042310～042315.

[3]H. Ollivier， W. H. Zurek. Quantum discord and the power of one qubit[J]. Phys. Rev. Lett.， 2001， 88（4）： 017901～017911.

[4]L Henderson and V Vedral. Mathematical and General[J]. Phys. A， 2001， 34： 6899.

[5]H P Breuer and F Petruccione. The Theory of Open Quantum Systems[M]. Oxford： Oxford University， 2002.

[6]Zhang Y L， Zhou Q P， Kang G D， et al. International journal of quantum information[J]. 2012， 10： 1250030～1250043.

[7]M. Ali， A. R. P. Rau， and G. Alberl. Quantum discord for two-qubit X states[J]. Phys. Rev. A， 2010， 81： 042105～042113.

[責任編輯：湯靜]