薄板的幾何非線性求積元分析

岳之光　鐘宏志

摘要：針對薄板非線性迭代計算量很大的問題，依據von Kárman薄板非線性理論構造能量泛函，并用數值積分和數值微分進行離散，得到非線性方程組，從而利用求積元法（Quadrature Element Method，QEM）求解薄板的中等撓度的彎曲和非線性屈曲問題，得到可信的結果.算例表明：在處理薄板幾何非線性問題上，QEM計算效率很高，應用潛力很大.

關鍵詞：von Kárman薄板理論； 幾何非線性分析； 求積元法； 后屈曲

中圖分類號： TB115.1

文獻標志碼：B

0 引 言

不同于傾向于使用大量低階單元的有限元法，求積元法[1]（Quadrature Element Method，QEM）是可以使用少量高階單元解決問題的數值工具.QEM針對用變分形式描述的問題進行必要的單元劃分，在每個單元上利用定義在相同節點集上的數值微分和數值積分對泛函的積分式進行離散近似，然后利用變分原理得到代數方程組進行求解.

QEM與有限元法的差別在于如何離散能量泛函.有限元法使用形函數描述單元位移場并在計算積分點處計算位移的導數；QEM則直接利用數值積分和微分獲得積分點處位移的導數.常規的位移型有限元模型對問題進行物理離散，而QEM則進行數學離散.除此之外，在單元組集、邊界條件施加和方程組求解等過程中，QEM與有限元法基本相同.若使用二節點數值積分，構造出的求積元薄板單元與MZC薄板單元[2-3]幾乎相同.

數學離散過程比物理離散更加直接，而且可以利用高階的數值積分構造多節點高階單元，這也是QEM效率較高的原因.QEM不需要形函數，使單元構造過程更靈活.數值積分與數值微分有很多種，在構造求積元單元時可以任意選擇，甚至在一個單元內可以根據需要采取多種不同的數值微分和數值積分.求積元的靈活性還體現在能夠引入十分復雜的幾何變換.構造的薄板求積元單元還有一個性質就是隨著使用的數值積分階數的升高，單元的協調性越來越好，不像有限元中協調單元那樣性能偏硬.當階數較低時求積元單元是非協調的，而高階的求積元單元可被視為協調元.協調元的優點是能夠保證收斂.一旦QEM所得到的結果收斂，那必然滿足最小勢能原理的真實解，這也說明QEM可靠.因為QEM高效、靈活、可靠，所以其應用價值很高.在許多線性問題[1，4-8]以及一維非線性問題[9-10]中QEM都體現出很高的計算效率.

應該指出，QEM的優勢并不是任何時候都能發揮出來的，其高效、靈活和可靠的前提是所解決的問題允許使用高階單元；但是對于連續性較差的問題，QEM相比常規有限元法的優勢就會減弱，此時有必要用大量低階小單元離散結構.薄板的幾何非線性問題的位移場連續性很好，且需要進行非線性迭代，計算量較大，非常適宜使用QEM進行計算以提高效率.

摘要：針對薄板非線性迭代計算量很大的問題，依據von Kárman薄板非線性理論構造能量泛函，并用數值積分和數值微分進行離散，得到非線性方程組，從而利用求積元法（Quadrature Element Method，QEM）求解薄板的中等撓度的彎曲和非線性屈曲問題，得到可信的結果.算例表明：在處理薄板幾何非線性問題上，QEM計算效率很高，應用潛力很大.

關鍵詞：von Kárman薄板理論； 幾何非線性分析； 求積元法； 后屈曲

中圖分類號： TB115.1

文獻標志碼：B

0 引 言

不同于傾向于使用大量低階單元的有限元法，求積元法[1]（Quadrature Element Method，QEM）是可以使用少量高階單元解決問題的數值工具.QEM針對用變分形式描述的問題進行必要的單元劃分，在每個單元上利用定義在相同節點集上的數值微分和數值積分對泛函的積分式進行離散近似，然后利用變分原理得到代數方程組進行求解.

QEM與有限元法的差別在于如何離散能量泛函.有限元法使用形函數描述單元位移場并在計算積分點處計算位移的導數；QEM則直接利用數值積分和微分獲得積分點處位移的導數.常規的位移型有限元模型對問題進行物理離散，而QEM則進行數學離散.除此之外，在單元組集、邊界條件施加和方程組求解等過程中，QEM與有限元法基本相同.若使用二節點數值積分，構造出的求積元薄板單元與MZC薄板單元[2-3]幾乎相同.

數學離散過程比物理離散更加直接，而且可以利用高階的數值積分構造多節點高階單元，這也是QEM效率較高的原因.QEM不需要形函數，使單元構造過程更靈活.數值積分與數值微分有很多種，在構造求積元單元時可以任意選擇，甚至在一個單元內可以根據需要采取多種不同的數值微分和數值積分.求積元的靈活性還體現在能夠引入十分復雜的幾何變換.構造的薄板求積元單元還有一個性質就是隨著使用的數值積分階數的升高，單元的協調性越來越好，不像有限元中協調單元那樣性能偏硬.當階數較低時求積元單元是非協調的，而高階的求積元單元可被視為協調元.協調元的優點是能夠保證收斂.一旦QEM所得到的結果收斂，那必然滿足最小勢能原理的真實解，這也說明QEM可靠.因為QEM高效、靈活、可靠，所以其應用價值很高.在許多線性問題[1，4-8]以及一維非線性問題[9-10]中QEM都體現出很高的計算效率.

應該指出，QEM的優勢并不是任何時候都能發揮出來的，其高效、靈活和可靠的前提是所解決的問題允許使用高階單元；但是對于連續性較差的問題，QEM相比常規有限元法的優勢就會減弱，此時有必要用大量低階小單元離散結構.薄板的幾何非線性問題的位移場連續性很好，且需要進行非線性迭代，計算量較大，非常適宜使用QEM進行計算以提高效率.

摘要：針對薄板非線性迭代計算量很大的問題，依據von Kárman薄板非線性理論構造能量泛函，并用數值積分和數值微分進行離散，得到非線性方程組，從而利用求積元法（Quadrature Element Method，QEM）求解薄板的中等撓度的彎曲和非線性屈曲問題，得到可信的結果.算例表明：在處理薄板幾何非線性問題上，QEM計算效率很高，應用潛力很大.

關鍵詞：von Kárman薄板理論； 幾何非線性分析； 求積元法； 后屈曲

中圖分類號： TB115.1

文獻標志碼：B

0 引 言

不同于傾向于使用大量低階單元的有限元法，求積元法[1]（Quadrature Element Method，QEM）是可以使用少量高階單元解決問題的數值工具.QEM針對用變分形式描述的問題進行必要的單元劃分，在每個單元上利用定義在相同節點集上的數值微分和數值積分對泛函的積分式進行離散近似，然后利用變分原理得到代數方程組進行求解.

QEM與有限元法的差別在于如何離散能量泛函.有限元法使用形函數描述單元位移場并在計算積分點處計算位移的導數；QEM則直接利用數值積分和微分獲得積分點處位移的導數.常規的位移型有限元模型對問題進行物理離散，而QEM則進行數學離散.除此之外，在單元組集、邊界條件施加和方程組求解等過程中，QEM與有限元法基本相同.若使用二節點數值積分，構造出的求積元薄板單元與MZC薄板單元[2-3]幾乎相同.

數學離散過程比物理離散更加直接，而且可以利用高階的數值積分構造多節點高階單元，這也是QEM效率較高的原因.QEM不需要形函數，使單元構造過程更靈活.數值積分與數值微分有很多種，在構造求積元單元時可以任意選擇，甚至在一個單元內可以根據需要采取多種不同的數值微分和數值積分.求積元的靈活性還體現在能夠引入十分復雜的幾何變換.構造的薄板求積元單元還有一個性質就是隨著使用的數值積分階數的升高，單元的協調性越來越好，不像有限元中協調單元那樣性能偏硬.當階數較低時求積元單元是非協調的，而高階的求積元單元可被視為協調元.協調元的優點是能夠保證收斂.一旦QEM所得到的結果收斂，那必然滿足最小勢能原理的真實解，這也說明QEM可靠.因為QEM高效、靈活、可靠，所以其應用價值很高.在許多線性問題[1，4-8]以及一維非線性問題[9-10]中QEM都體現出很高的計算效率.

應該指出，QEM的優勢并不是任何時候都能發揮出來的，其高效、靈活和可靠的前提是所解決的問題允許使用高階單元；但是對于連續性較差的問題，QEM相比常規有限元法的優勢就會減弱，此時有必要用大量低階小單元離散結構.薄板的幾何非線性問題的位移場連續性很好，且需要進行非線性迭代，計算量較大，非常適宜使用QEM進行計算以提高效率.