一類wishart矩陣相對特征值的分布問題研究

衛 飚

(南京政治學院 基礎部,江蘇 南京 210003)

一類wishart矩陣相對特征值的分布問題研究

衛 飚

(南京政治學院 基礎部,江蘇 南京 210003)

在統計分析中，特征值的分布問題是重要內容。從wishart矩陣的密度函數得到AB-1特征值以及在r≤m條件下AB-1特征值的密度函數。

wishart矩陣;特征值;密度函數

在多元統計中經常遇到特征值的分布問題,若A～Wm(n,∑),n≥m,則A的密度函數為

A的密度函數就成了A的特征值的函數,其次,在主成分分析、典型相關分析和不變檢驗中都要遇到求AB-1的特征值分布問題,因此特征值的分布問題是多元分布理論中的重要內容。

1 AB-1的特征值分布

引理2[1]設A是一個m×m隨機正定矩陣，其密度為f(A)，則A的特征值l1,…,lm的聯合密度為

其中H∈O(m)，滿足A=HLH′，而L=diag(l1,…,lm)，且L與H獨立。

引理3[1]設X是一個m×m正定矩陣，Y是一個m×m對稱矩陣，則

其中(dH)表示O(m)上的標準化不變測度。

diag(f1,…,fm),H∈O(m)

(1)

O(m)。所以有

由引理3

(2)

綜上由(1)和(2)即得AB-1的特征值f1,…,fm的聯合密度。

注：若M1=0，則Ω=0，此時AB-1的特征值f1,…,fm的聯合密度為

f1>f2>…>fm>0

2 r≤m條件下AB-1的特征值的密度函數

引理4[2]設A～Wm(n,∑)，n>m-1，M是k×m階矩陣，rk(M)=k，則

引理6[1]設Z是一個m×m復對稱矩陣，Re(Z)>0，Y是一個m×m對稱矩陣，則

且有

Wm(n-p,Im)

由于U′=H1T，其中H1∈Vm,r，這里Vm,r表示所有m×r列正交矩陣組成的Stiefel流形，根據引理5我們有

所以

于是上述聯合密度變為

現在對上式關于H1∈Vm,r積分

對該密度函數中關于G的因子積分

(3)

因為

由引理6 ，(3)式中有關因子的積分為

.

[1] 劉金山.Wishart分布引論[M].北京：科學出版社，2005.

[2] 朱道元，吳誠鷗，秦偉良.多元統計分析與軟件SAS[M].南京：東南大學出版社，1999.

(責任編輯：張英健)

StudyontheDistributionProblemofaClassofWishartMatrixEigenvalue

WEI Biao

(Department of Mathematics, Southeast University, Nanjing Jiangsu 210003, China)

In the statistical analysis,the distribution of eigenvalue problem is an important content of the characteristics of the density function obtained from the density function of the Wishart matrix and eigenvalue in the conditions ofvalue.

wishart matrix; characteristic value; density function

2014-07-10

衛飚(1977-),男,江蘇無錫人,講師,碩士,主要研究方向為概率統計。

O211.4

A

1671-5322(2014)04-0021-04