一類含無窮小和差形式的極限的求法

李紅梅

(四川文理學院數學與財經學院，四川達州635000)

一類含無窮小和差形式的極限的求法

李紅梅

(四川文理學院數學與財經學院，四川達州635000)

應用等價無窮小代換的思想方法,探討一類含無窮小和差形式的極限的求法.提出利用函數的Taylor展開式等方法,合理選擇無窮小的等價形式,保持無窮小的和差整體的階不變，可以方便快捷地求得極限.

極限；等價代換；無窮??；Taylor

0 引言

1 引理及常見錯誤

引理1[4]：設函數f,g,h在U°(x0)上有定義,且有f(x)～g(x)(x→x0)．

引理1告訴我們,對所求極限式中相乘或相除的因子可用等價無窮小代換．對于含無窮小和差形式的極限問題,要謹慎使用.下面是一些錯誤的解法．

這個題的正確結果是0,但方法是錯誤的.因為

將它代換為x-x這樣的零無窮小是不合理的.代換前是非0無窮小.這樣代換后成了無窮小量0．零是比任何非零無窮小都高階的無窮?。@樣代換前后無窮小的階發生了變化.那么,對于含無窮小和差形式的極限問題,能否將無窮小的和差看作一個整體,用其等價無窮小來代換呢？事實上,是可以的．

引理2告訴我們,一個函數可以有不同階的等價無窮小形式,可根據已確定的冪指數選擇合適的泰勒展開階數．對于含無窮小和差形式的極限問題,將無窮小的和差看作一個整體,只要能保證這個整體的無窮小等價性,也可以進行代換．等價無窮小的實質是自變量的同一個極限過程中,兩個無窮小量趨于零的“快慢”程度相當．等價無窮小代換方法的實質是分數的約分,其關鍵是要保持代換前后無窮小和差作為一個整體的階不變．

2 主要結論

證明：由泰勒公式有

由于分母是x的r階無窮小,所以f(x),g(x)在泰勒展開式中到r階為止.又f(x)-g(x)的泰勒展開中xt(t=0,1,2,…,r-1)的系數均為零.于是

推論1 設函數f,g,h在u°(0)上有定義，且有直到n階導數,pr(x)=arxr+ar-1xr-1+…+a1x,ar≠0,r

推論2 設函數f,g在u°(0)上有定義,且有直到n階導數,pr(x)=arxr+ar-1xr-1+…+a1x,ar≠0,r

推論3 設函數f,g在u°(0)上有定義,且有直到n階導數.f(x)-g(x)→0(x→0)．f(x)-g(x)的泰勒展開中xt(t=0,1,2,…,r-1)的系數均為零.則

利用函數Taylor展開式可知：

3 實例

解：當x→0時,ln(1+2x)-arctan5x～2x-5x,sinx-tan7x～x-7x,即分子、分母均是x的一階無窮小.所以

當y→0+時,分母是y的一階無窮小．利用函數的Taylor展開式選擇：

解：本題可用羅比達法則求解,但是運算過程比較繁瑣．在這里可用泰勒公式求解,考慮到極限式的分母為4次,我們將分子Taylor展開到4階．

因而得

4 結束語

等價無窮小可以在極限是相乘或相除形式的計算中起到化繁為簡、方便快捷的作用.含無窮小和差形式的極限的求解過程中,應用整體代換的思想,關鍵是選擇合適的無窮小進行代換,使得整體在代換前后保持階不變.

[1] 李秀敏，王靈色．等價無窮小代換在求極限過程中的應用[J]．高等數學研究，2002(3)：36-37．

[2] 陳新明．用等價無窮小代換求極限中的一些問題[J]．高等數學研究，2008(5)：57-58．

[3] 潘建輝，胡學剛，鄧志穎．關于“無窮小的比較”的教學研究[J]．高等數學研究，2011(5)：43-46．

[4] 華東師范大學數學系．數學分析：上冊[M]．北京：高等教育出版社，2010：93．

[5] 徐森林，薛春華．數學分析：第一冊[M]．北京：清華大學出版社，2005：267．

[責任編輯 鄧 杰]

A Solution to a Limit With the Infinitesimal Sum and Difference

LI Hong-mei

(Mathematics and Finance-Economics Department of Sichuan University of Arts and Science, Dazhou Sichuan 635000, China)

This paper analyzes the method for solving the class of limit with the infinitesimal sum and difference by the thinking of the replace of equivalent infinitesimal. It proposes how to keep the order of the whole of the infinitesimal sum and difference by using the Taylor expansion and reasonable selection of equivalent infinitesimal.

limit; equivalent substitution; infinitesimal; Taylor

2013-05-26

李紅梅(1979—),女,四川樂至人.講師,碩士，主要從事數學課程與教學研究．

O171

A

1674-5248(2014)02-0019-04