道耳頓分壓定律在重力場中的統計證明

鄧發明,鄧顯菊,楊海燕

(四川民族學院數學系，四川康定626001)

道耳頓分壓定律在重力場中的統計證明

鄧發明,鄧顯菊,楊海燕

(四川民族學院數學系，四川康定626001)

在熱力學中，理想混合氣體所組成的宏觀熱力學系統遵從道耳頓分壓定律；若混合氣體不是理想氣體，由于氣體分子要受到重力場作用，當熱力學系統達到平衡態時，分子數密度并不均勻，宏觀熱力學系統不是嚴格遵從道耳頓分壓定律的.如果把整個熱力學系統按重力場方向分割成一系列的微觀型的熱力學系統，這樣的微觀型系統卻是遵從道耳頓分壓定律的.運用氣體分子動理論和玻耳茲曼速度分布律，對重力場中的微觀型熱力學系統所遵從的道耳頓分壓定律進行了統計證明.

分子動理論；道耳頓分壓定律；重力場；玻爾茲曼速度分布律

0 引言

熱力學中道耳頓分壓定律是指混合氣體達到平衡態時系統的總壓強等于各組份氣體單獨存在且達到平衡態時的分壓強之和，可直接運用理想氣體狀態方程和阿伏伽德羅定律導出該定律.[1-3]

混合氣體若是理想氣體，因理想氣體分子在熱力學系統中不受重力場作用，因此當宏觀熱力學系統達到平衡態時，各組份氣體在熱力學系統中分子的分布不隨時間發生改變，且是呈均勻分布的，在此狀態下，文獻[4]利用麥克斯韋速度分布律統計證明了宏觀熱力學系統的總壓強等于各組份理想氣體單獨存在時的各自分壓強之和；若混合氣體不是理想氣體時(如實驗室中常見的一些氣體)，因氣體分子要受到重力場作用，當宏觀熱力學系統達到平衡態時，宏觀熱力學系統各組份氣體分子的數密度是隨高度而發生變化的，宏觀熱力學系統的總壓強也是隨高度不同而發生變化的，顯然，宏觀熱力學系統就不是嚴格遵從道耳頓分壓定律.如果把整個宏觀熱力學系統按重力場方向水平分割成一系列的微觀型熱力學系統，則可以考查處于某一高度(重力場方向坐標設為z)處微觀型熱力學系統的總壓強與該微觀型熱力學系統各組份氣體分子單獨存在時的分壓強之間的內在關系.

下面，運用玻爾茲曼速度分布律和氣體分子動理論統計得到混合氣體受重力場作用處于平衡態時，其微觀型熱力學系統在高度為z處的總壓強p(z)和各組份氣體的分壓強pi(z)，并對得到的重力場中微觀型熱力學系統是遵從道耳頓分壓定律這一結論進行統計證明.

如圖1所示，設在某容器中貯有一定量的多種混合的氣體達到某平衡態時，溫度為T，體積為V，在高度為z處的總壓強為p(z)；混合氣體在高度為z處各組份單位體積內的分子數分別為n1(z),n2(z),…,ni(z),…，各組份中分子質量分別為m1,m2,…,mi,….計算混合氣體在容器高度為z處內壁上一個面積微元dS處產生的壓強，(設面積元dS在x=a的yz平面上).

1 混合氣體處于平衡態時，第i組份氣體中單個分子與位于高度為z處的容器內壁x=a,y～y+dy,z～z+dz其面積為dS=dydz(如圖1所示)相碰撞后獲得的沖量

圖1 面積元dS位置示意圖 圖2 氣體分子與器壁的碰撞

2 第i組份氣體在dt時間內、速度介于且能與位于高度為z處容器內壁dS碰撞的所有分子獲得的沖量

dNi(z)=

(1)

(2)

(3)

碰撞后獲得的沖量為：

(4)

3 混合氣體中各組份氣體坐標位于a～a+dx,y～y+dy,z～z+dz、速度介于、且在dt時間內與高度為z處的器壁面積元dS發生碰撞后獲得的沖量

對(4)式求和：

(5)

4 混合氣體中位于a～a+dx,y～y+dy,z～z+dz體積內的各種速度分子在dt時間內與高度為z的器壁面積元dS發生碰撞后獲得的總沖量

考慮到只有vx>0的分子才能與面積元dS發生碰撞、而vy和vz是可任意取值的；因此，在dt時間內與位于高度為z處的器壁面積元dS發生碰撞后獲得的總沖量為：

(6)

5 混合氣體的總壓強

根據壓強的定義，并結合沖量的定義和牛頓第三定律，可得混合氣體對位于高度為z處的容器內壁產生的總壓強為：

(7)

(8)

因速度分布函數滿足歸一化條件，即：

故(8)式可簡化為：

(9)

將(9)式代入(7)式可得：

(10)

由于pi(z)=ni(z)kT表示第i組份氣體分子對位于x=a,y～y+dy,z～z+dz容器壁面積元dS=dydz處產生的壓強[1]，也可視為對容器壁位于高度為z處產生的壓強，將pi(z)=ni(z)kT代入(10)式可得：

(11)

(11)式表明：混合氣體受到重力場作用達到平衡態時，相對于容器底部高度為z的容器內壁受到混合氣體的總壓強等于各組份氣體在單獨存在時對該處的分壓強之和.

6 結論

重力場中的宏觀熱力學系統，由于氣體分子要受到重力場作用，當宏觀熱力學系統達到平衡態時，宏觀熱力學系統各組份氣體分子的數密度要隨高度而發生變化，宏觀熱力學系統的總壓強也將隨高度不同而發生改變，整個宏觀熱力學系統并不嚴格遵從道耳頓分壓定律.但若把整個宏觀熱力學系統按重力場方向水平分割成一系列的微觀型熱力學系統，則每一個微觀型熱力學系統的總壓強是等于該微觀型熱力學系統各組份氣體分子單獨存在時的分壓強之和的.也就表明：處于重力場中的宏觀熱力學系統達到平衡時，沿重力場方向各個微觀型熱力學系統是遵從道耳頓分壓定律的，或者說：重力場中的宏觀熱力學系統處于平衡時，沿重力場方向某高度處的總壓強等于同一高度處各組份的分壓強之和.

[1] 李 椿，章立源，錢尚武．熱學[M]．北京：高等教育出版社，1979:91-93.

[2] 黃淑清，聶宜如，申先甲．熱學教程(第二版)[M]．北京：高等教育出版社，1994：201-202.

[4] 鄧發明．道耳頓分壓定律的統計證明[J]．內江師范學院學報，2011(6):84-85.

[5] 王長明．理想氣體狀態方程的統計證明[J].甘肅聯合大學學報，2005(3)：35-36．

[6] 鄧發明．氣體實驗三定律的統計證明[J]．四川文理學院學報，2011(5)：44-46.

[責任編輯 鄧 杰]

Statistical Demonstration of Dalton's Law of Partial Pressures in gravity field

DENG Fa-ming, DENG Xian-ju, YANG Hai-yan

(Mathematics Department of Sichuan Nationalities University, Kangding Sichuan 626001, China)

In Thermodynamics, the Macro-thermodynamical system which is formed by ideal mixture gas obey Dalton's Law of Partial Pressures; If the mixture is not an ideal gas, Since the molecules of a gas are subject to the action of gravity field, When the thermodynamical system reaches the equilibrium state, molecular number density is not uniform, so the Macro-Thermodynamical system does not follow the Dalton's Law of Partial. But if splitting the whole Thermodynamical system into a series of Micro-Thermodynamical system in accordance with the direction of the gravity field, the Micro-Thermodynamical system follow Dalton's Law of Partial Pressures. In this paper, the Theory of Molecular Dynamics and Boltzmann Velocity Distribution Law are applied to statistically prove Dalton's Law of Partial Pressures followed by the Micro-thermodynamic system in gravity field.

Theory of Molecular Dynamics; Dalton's Law of Partial Pressures; Gravity field; Boltzmann Velocity Distribution Law

2013-11-27

2013年四川省教育廳自然科學重點項目“熱力學中實驗定律的統計證明”(13ZA0138)

鄧發明(1966—)，男，四川達州人.副教授，碩士，主要從事熱力學與統計物理學研究.

O551

A

1674-5248(2014)02-0034-04