陣列信號降采樣低秩矩陣的恢復(fù)方法

楊 東,廖桂生,朱圣棋,王 凱

(1.西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西西安 710071; 2.中國人民解放軍61251部隊(duì),河北秦皇島 066102)

陣列信號降采樣低秩矩陣的恢復(fù)方法

楊 東1,廖桂生1,朱圣棋1,王 凱2

(1.西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西西安 710071; 2.中國人民解放軍61251部隊(duì),河北秦皇島 066102)

矩陣填充可以有效恢復(fù)陣列信號降采樣數(shù)據(jù),從而得到等效的全采樣回波信號.然而,現(xiàn)有基于矩陣填充的陣列波達(dá)方向估計(jì)方法要求回波數(shù)據(jù)在不同快拍下隨機(jī)選擇采樣序列,以滿足采樣數(shù)據(jù)的隨機(jī)性.當(dāng)部分陣元在整個(gè)觀測時(shí)間內(nèi)關(guān)閉或損壞時(shí),上述方法將失效.因此,筆者提出了一種改進(jìn)的降采樣數(shù)據(jù)恢復(fù)方法,利用陣元間的相關(guān)特性,將單快拍下的信號矢量變換到一個(gè)等效的低秩矩陣,繼而通過求解該矩陣的最小核范數(shù),實(shí)現(xiàn)對缺失數(shù)據(jù)的有效估計(jì).仿真結(jié)果表明,該方法可以有效恢復(fù)降采樣數(shù)據(jù),抑制噪聲,提高波達(dá)方向的估計(jì)性能.

陣列信號;矩陣填充;低秩矩陣;波達(dá)方向估計(jì)

陣列信號處理被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納、導(dǎo)航和通信領(lǐng)域,基于子空間的方法(如MUSIC、ESPRIT等)可以實(shí)現(xiàn)角度的超分辨估計(jì)[1].然而,隨著陣列規(guī)模的擴(kuò)大,系統(tǒng)功耗和存儲空間會逐步增加.當(dāng)來波信號個(gè)數(shù)較少時(shí),回波數(shù)據(jù)對信息量的需求相對較小,這時(shí)對整個(gè)陣列進(jìn)行全采樣會存在冗余信息.因此,合理地降低采樣陣元數(shù)目,可以有效提高系統(tǒng)的工作效率.現(xiàn)有基于內(nèi)插或?qū)W習(xí)的方法[2-3]雖然可以估計(jì)采樣數(shù)據(jù),但十分依賴于先驗(yàn)知識.

矩陣填充理論(Matrix Completion,MC)[4-8]是繼壓縮感知后,對稀疏信號進(jìn)行恢復(fù)的另一種有效方法,它旨在將一個(gè)低秩不完整的矩陣,利用其元素間的相關(guān)性,恢復(fù)出矩陣的全部數(shù)據(jù).當(dāng)來波信號稀疏時(shí),陣列接收回波滿足很好的低秩特性,因此在沒有先驗(yàn)知識的條件下,可以通過MC方法對降采樣后的缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行有效估計(jì).由于整個(gè)恢復(fù)過程的本質(zhì)在于利用數(shù)據(jù)間的相關(guān)性,因此對于任何一個(gè)降采樣數(shù)據(jù),如果其中某一行或某一列整體沒有被采樣,那么就意味著缺失數(shù)據(jù)沒有任何可利用的信息,將不能得到有效的恢復(fù).這就要求陣列信號在降采樣過程中,每個(gè)快拍下采樣陣元的選取要滿足隨機(jī)性,也就是說采樣點(diǎn)隨機(jī)分布在整個(gè)回波數(shù)據(jù)中[5].基于這樣的信號模型,文獻(xiàn)[9-10]利用MC方法對全數(shù)據(jù)進(jìn)行恢復(fù),從而得到了等效的全采樣信號.

但實(shí)際的降采樣方法應(yīng)該是在整個(gè)接收時(shí)間內(nèi)選擇性地關(guān)閉部分陣元(類似于部分陣元損壞).在這種模型下,由于對應(yīng)于這些未采樣陣元的回波數(shù)據(jù)不包含任何信息,因此陣列信號將不能按照上述方法整體恢復(fù).為了解決這一問題,筆者提出一種有效的方法,利用等距線陣數(shù)值間的等比特性,將單次快拍下的信號改寫為一個(gè)等效低秩矩陣.在該等效低秩矩陣中,采樣點(diǎn)重新分布,滿足了采樣數(shù)據(jù)的隨機(jī)性,所以該信號模型可以通過MC得到有效估計(jì).同時(shí),利用求解過程中的去噪特性,可以進(jìn)一步提高波達(dá)方向的估計(jì)性能,最終通過仿真結(jié)果驗(yàn)證筆者方法的有效性.

1 陣列信號波達(dá)方向模型

陣列模型如圖1所示,一個(gè)均勻等距線陣包含M個(gè)陣元,其接收信號為

其中,X(t)=[x(t1),…,x(tN)],是N個(gè)快拍下的接收信號, s(t)是信號的幅度,N(t)是高斯隨機(jī)白噪聲,k個(gè)遠(yuǎn)場窄帶信號的導(dǎo)向矢量表示為A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θk)],其中θi即信號波達(dá)方向(DOA)估計(jì)問題中所需求解的參量.導(dǎo)向矢量具體寫為

其中,d是陣元間距,一般定義為載波波長λ的一半.假設(shè)信號采樣快拍數(shù)足夠充分,可以得到回波的協(xié)方差矩陣

其中,E表示期望,H表示共軛轉(zhuǎn)置.進(jìn)一步將其分解為

其中,γi代表了第i個(gè)特征值,相應(yīng)的特征向量為ui.前k個(gè)大特征值對應(yīng)的特征向量{u1,u2,…,uk}定義為信號子空間Us,其補(bǔ)空間為噪聲子空間Un.因此,基于MUSIC的DOA估計(jì)方法表示為

其尖峰代表了來波信號的估計(jì)方向角.

圖1 陣列信號模型

2 基于MC的數(shù)據(jù)恢復(fù)方法

由于來波信號在空域具有稀疏性,因此可以選擇性地減少采樣數(shù)據(jù),并利用其冗余信息估計(jì)未采樣的數(shù)值.

2.1 全數(shù)據(jù)恢復(fù)方法

假設(shè)降采樣后的回波數(shù)據(jù)X(t)中包含未采樣的零值點(diǎn),協(xié)方差矩陣估計(jì)存在微小誤差,此時(shí)基于MUSIC的方法會出現(xiàn)性能損失.將式(1)改寫為

可以看出當(dāng)來波信號個(gè)數(shù)稀疏時(shí),上述信號在不考慮噪聲時(shí)滿足低秩特性.這樣的結(jié)構(gòu)使得我們可以利用矩陣填充方法去恢復(fù)丟失的數(shù)據(jù),在降采樣條件下得到全采樣的估計(jì)結(jié)果.將觀測的數(shù)據(jù)定義為一個(gè)全采樣數(shù)據(jù)在子集Ω上的投影,那么接收的信號可以表述為

當(dāng)這個(gè)子集是隨機(jī)選取時(shí),文獻(xiàn)[9-10]提出了基于矩陣填充對全數(shù)據(jù)進(jìn)行恢復(fù)的方法.實(shí)際上,這樣的恢復(fù)過程是利用了不變的陣列導(dǎo)向矢量和不同快拍下變化的信號幅度,這個(gè)關(guān)系使得整個(gè)數(shù)據(jù)是一個(gè)低秩矩陣,因此未觀測的數(shù)值可以通過求解下式得到:

值得注意的是,MC理論要求所恢復(fù)矩陣必須滿足強(qiáng)非相干特性(Strong Incoherence Property)[5],這就意味著,當(dāng)所恢復(fù)矩陣中的某一行或某一列完全沒有信息時(shí),該矩陣不能得到有效恢復(fù).因此對于上述恢復(fù)模型,所定義的子集需要滿足隨機(jī)性.但這一點(diǎn)在陣列中并不合理,因?yàn)榻挡蓸幽Ｐ蛻?yīng)該是在整個(gè)觀測時(shí)間內(nèi)固定選擇部分采樣陣元,而不是每次快拍下隨機(jī)選取,在這種情況下,上述方法將不再適用.

2.2 文中方法

對于固定陣元降采樣模型,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如圖2所示,其中陰影區(qū)域表示沒有采樣信號,此時(shí)上述全數(shù)據(jù)恢復(fù)的方法失效.為了解決這一問題,筆者提出一種新的數(shù)據(jù)恢復(fù)方法.回顧式(2)中導(dǎo)向矢量的定義,可以發(fā)現(xiàn)在某一個(gè)方向θ,其數(shù)值滿足比值為exp( j2πd(λsinθ)的等比特性.因此利用這一結(jié)構(gòu)特點(diǎn),將導(dǎo)向矢量矩陣化

圖2 部分陣元降采樣數(shù)據(jù)及其變換方法

陣元的導(dǎo)向矢量本是一個(gè)M×1維的向量,在上式中,將其重新寫為一個(gè)等效的l×m維矩陣,且滿足M=l×m.正如上面所說,由于其數(shù)值具有等比特性,因此構(gòu)造的新的矩陣是一個(gè)低秩矩陣,如圖2中的變化所示.雖然在整個(gè)接收時(shí)間內(nèi)有部分陣元沒有回波數(shù)據(jù),但是在新的矩陣中這些未采樣的點(diǎn)被重新排列,類似于在新的矩陣中隨機(jī)采樣.因此經(jīng)過變化后,可以利用這種新的關(guān)系去估計(jì)未采樣點(diǎn)的數(shù)值,最終實(shí)現(xiàn)回波數(shù)據(jù)的有效恢復(fù).將式(6)在某一時(shí)刻tm的信號寫為

其中,x(tm)是在這一時(shí)刻各個(gè)陣元的接收信號矢量,進(jìn)一步將回波和導(dǎo)向矢量改寫為矩形形式為

其中,?x(tm)是x(tm)重寫為l×m形式的矩陣.因此降采樣信號可以通過求解下式估計(jì)

下面進(jìn)一步分析該方法的去噪性能.由于矩陣填充理論是建立在低秩特性的基礎(chǔ)之上的,因此其本身在求解過程中可以降低噪聲或者擾動(dòng),提高信噪比,但是并不能提高DOA的估計(jì)性能.故將式(6)重寫為

其中,N1是融入信號的噪聲部分,N2是與信號不相干的噪聲部分,可以認(rèn)為前一部分將和信號一起構(gòu)成協(xié)方差矩陣中的信號子空間,而后者對其沒有影響.由式(5)可以看出,基于子空間的方法其本質(zhì)是利用導(dǎo)向矢量與信號子空間(或噪聲子空間)的正交性去判斷來波角度,信號子空間中噪聲擾動(dòng)量的大小將最終決定估計(jì)性能.如果按照式(8)對整個(gè)陣列降采樣后的回波數(shù)據(jù)進(jìn)行恢復(fù),僅僅可以降低噪聲N2,其本質(zhì)并不改變信號子空間內(nèi)的噪聲擾動(dòng)(即N1),因此無益于提高估計(jì)性能.

所以,重新考慮文中的處理方法,在某一時(shí)刻tm,式(13)變?yōu)?/p>

其中,N1(tm)是在時(shí)刻tm與導(dǎo)向矢量a(θi)相關(guān)的噪聲,N2(tm)是與a(θi)不相關(guān)的噪聲.將其改寫為如式(11)的形式,即

綜上,將單次快拍下的向量變換為一個(gè)等效的矩陣,利用其內(nèi)部的相關(guān)性對數(shù)據(jù)進(jìn)行恢復(fù),這樣的處理方法可以有效估計(jì)未采樣陣元的信息,但同時(shí)也降低了系統(tǒng)可利用的自由度.對于信號的降采樣,本身就意味著采樣中所包含的信息量具有足夠的冗余度,因此該方法不能處理目標(biāo)數(shù)目過多的情況,這也是其不足之處.

3 仿 真

為了驗(yàn)證方法的有效性,本節(jié)對陣列回波進(jìn)行仿真分析.假設(shè)由36個(gè)陣元構(gòu)成的等距線陣,接收來波方向分別為-10°和30°的兩個(gè)遠(yuǎn)場窄帶信號,信噪比為10dB,恢復(fù)算法采用文獻(xiàn)[12]的增廣拉格朗日乘子算法.

首先分析文中方法對數(shù)據(jù)恢復(fù)的性能.隨機(jī)選擇8個(gè)陣元在整個(gè)觀測時(shí)間內(nèi)一直關(guān)閉,圖3畫出了數(shù)據(jù)恢復(fù)后基于MUSIC的DOA估計(jì)結(jié)果.一般而言,估計(jì)結(jié)果的峰值越高,可以認(rèn)為輸入信號具有更高的信噪比,或者擁有更多的能量積累,因此這里可以理解為具有更好的數(shù)據(jù)恢復(fù)結(jié)果.圖3中-20dB的實(shí)線是100%數(shù)據(jù)下的DOA估計(jì)結(jié)果,而在-5dB的實(shí)線是70%數(shù)據(jù)下的結(jié)果,由于其積累能量的減少以及協(xié)方差矩陣估計(jì)存在誤差,性能存在較大損失.在-5dB處的點(diǎn)線是基于全數(shù)據(jù)MC恢復(fù)方法的結(jié)果,按照前面的分析,由于其中未采樣陣元沒有任何可利用信息,因此該方法失效,無法恢復(fù)數(shù)據(jù),導(dǎo)致其結(jié)果相對于70%的數(shù)據(jù)沒有任何改善.相比而言,圖3中最下方的點(diǎn)畫線是文中方法的結(jié)果,可以看出該結(jié)果不但可以有效恢復(fù)數(shù)據(jù),同時(shí)可以抑制噪聲,提高DOA估計(jì)性能.

圖4進(jìn)一步分析文中方法和全數(shù)據(jù)恢復(fù)方法對噪聲的抑制能力.為了在同等條件下對比其結(jié)果,該實(shí)驗(yàn)采用隨機(jī)降采樣方式.從圖中可以看出,相比于70%數(shù)據(jù)的結(jié)果,上述兩種方法都可以有效地恢復(fù)數(shù)據(jù),得到更好的DOA估計(jì)結(jié)果,但是文中方法擁有更高的估計(jì)峰值(即歸一化后峰值兩邊更低的旁瓣).圖5進(jìn)一步細(xì)化了去噪結(jié)果,其中圖5(a)是數(shù)據(jù)恢復(fù)后的信噪比,可以看出,此時(shí)全數(shù)據(jù)恢復(fù)方法擁有更高的輸出信噪比.圖5(b)是隨后得到的DOA估計(jì)峰值結(jié)果,然而文中方法卻具有更高的峰值.這一結(jié)果與前文分析結(jié)果相同.由此可以說明,全數(shù)據(jù)恢復(fù)方法僅僅可以降低噪聲子空間的能量,但是對結(jié)果沒有影響,而文中方法可以降低信號子空間中的噪聲擾動(dòng)量,因此最終提高了DOA的估計(jì)性能.

圖3 固定陣元降采樣下的DOA估計(jì)結(jié)果

圖4 隨機(jī)降采樣下的DOA估計(jì)結(jié)果

圖5 降噪性能分析

圖6 不同采樣率下信號恢復(fù)的均方根誤差

圖6是不同采樣率下的信號恢復(fù)結(jié)果,其估計(jì)值與真實(shí)值的均方根誤差定義為

可以看出,文中方法和全數(shù)據(jù)恢復(fù)方法的誤差始終在同一個(gè)數(shù)量級,因此在信號個(gè)數(shù)較少時(shí),并不需要更多的采樣數(shù)據(jù).其中,圖6(a)、圖6(c)和圖6(e)是陣元個(gè)數(shù)為36且信號個(gè)數(shù)k為1、4、7下的情況的情況,圖6 (b)、圖6(d)和圖6(e)是陣元個(gè)數(shù)為100的情況,不考慮噪聲影響.通過橫向?qū)Ρ鹊玫?陣元數(shù)越多,可利用的信息量越多,則恢復(fù)誤差越小.同樣,隨著信號個(gè)數(shù)的增加,回波數(shù)據(jù)的秩數(shù)變大,誤差會相應(yīng)變大.綜上,采樣率的增加,陣元個(gè)數(shù)的增加,以及信號個(gè)數(shù)的減少都會提高信號的恢復(fù)性能.

4 結(jié)束語

矩陣填充方法可以有效恢復(fù)陣列信號降采樣數(shù)據(jù),然而當(dāng)部分陣元關(guān)閉或損壞時(shí),基于全數(shù)據(jù)的恢復(fù)方法失效.為此,筆者提出一種改進(jìn)算法,通過將信號矢量變化為一個(gè)等效的低秩矩陣,使得采樣點(diǎn)重新隨機(jī)分布在其中,最終實(shí)現(xiàn)對該模型下降采樣信號的有效估計(jì).仿真結(jié)果表明,該方法在有效恢復(fù)降采樣數(shù)據(jù)的同時(shí),達(dá)到了降低噪聲,提高DOA估計(jì)性能的目標(biāo).該方法還適用于其他信號模型,從而為基于矩陣填充的數(shù)據(jù)恢復(fù)方法提供了新的思路.

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(編輯:王 瑞)

Improved low-rank recovery method for sparsely sampling data in array signal processing

YANG Dong1,LIAO Guisheng1,ZHU Shengqi1,WANG Kai2
(1.National Key Lab.of Radar Signal Processing,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China; 2.Unit 91251,PLA,Qinhuangdao 066102,China)

Matrix Completion(MC)theory can recover the under-sampled data in the array signal processing,further estimating the direction of arrival(DOA)as the fully sampled data does.However,it is required that the data should be under-sampled randomly in different snapshots which satisfy the randomness of MC theory.When some sensors are unsampled or broken in the whole observing time,the previous method would fail.To address this problem,a new processing method is proposed in this paper. The inner relationship among sensors is used,and then we reshape the signal vector in a single snapshort into an equivalent low-rank matrix,which can be recovered effectively by minimizing the nuclear norm. Simulation results validate the effectiveness of the proposed method.Meanwhile,the method can lower the noie power,and improve the performance of the DOA.

array signal processing;matrix completion;low rank matrix;direction of arrival

TN958.92;TN953+.5

A

1001-2400(2014)05-0030-06

2013-05-29< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:

時(shí)間:2014-01-12

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61231017);國家973計(jì)劃資助項(xiàng)目(2010CB731903)

楊 東(1988-),男,西安電子科技大學(xué)博士研究生,E-mail:yangdongxd@gmail.com.

http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3969/j.issn.1001-2400.2014.05.006.html

10.3969/j.issn.1001-2400.2014.05.006