采用改進魚群算法的張拉整體結構找形方法

林 敏,李團結,紀志飛

(西安電子科技大學機電工程學院,陜西西安 710071)

采用改進魚群算法的張拉整體結構找形方法

林 敏,李團結,紀志飛

(西安電子科技大學機電工程學院,陜西西安 710071)

針對傳統力密度法求解大規模、不規則張拉整體結構找形效率不高的問題,提出了一種力密度法與改進魚群算法相結合的找形方法.先基于力密度法建立結構的平衡方程組,然后采用改進的魚群算法在力密度空間內進行全局搜索,找出一組合適的力密度值使得平衡矩陣的秩滿足求解條件,從而找到結構的平衡構形.該算法加入了全局最優人工魚信息,引入了吞食行為和跳躍行為,并采用了自適應步長,比傳統魚群算法搜索效率更高,不容易陷入局部極值.以擴展八面體張拉整體結構為例,用該方法進行了找形,并和傳統魚群算法的找形結果進行了對比分析.仿真結果表明,該找形方法的找形結果可靠,并且收斂精度和平均最優值較傳統魚群算法均有所提高.

張拉整體結構;魚群算法;靜力平衡;找形;群智能

張拉整體結構是近年來在國內外迅速發展起來的一種新型空間結構體系,它具有質量輕、結構緊湊、強度大、易建模、幾何非線性、形態可調等特點.這些特性使張拉整體結構在建筑學[1]、可展開天線[2]方面得到了廣泛的應用.在過去的30年,國外的學者Rhode-Barbarigos[3]、Skelton[4]、Zhang[5]、Murakami[6]以及Sultan[7]等對張拉整體結構的幾何形態學、找形、穩定性、靜力學、動力學與振動控制等領域開展了研究,而且已經形成了相對完善的理論體系.

張拉整體結構在給定的邊界條件下,所施加的預應力的分布和大小同所形成的結構初始形狀是相互關聯的.所以,如何獲得滿足自應力平衡的張拉整體結構的幾何形態(即張拉整體結構的找形分析)是其設計中的一個很關鍵的技術問題.針對這一問題,國內外的學者們提出了很多數值和解析方法[8-9],其中常用的方法有力密度法、動力松弛法、幾何分析法、坐標縮減法.力密度法[10-11]是通過選擇一組合適的構件的內力與構件當前長度之比值(即力密度值)作為一個任意張拉整體結構的力平衡方程組中的已知值,而得到關于節點坐標的線性方程組,從而求得節點的真實坐標,這樣便能立即生成所分析結構的幾何外形.該方法使找形問題線性化,從而避免了坐標初始值問題及其他方法的收斂性問題.但是,滿足要求的力密度值的選取需要一定的經驗,而且當結構不規則或者比較復雜時,力密度值的確定就會變得比較困難.動力松弛法[12]通過虛擬質量和粘滯阻尼將靜力學問題轉化為動力學問題,跟蹤結構的系統動能變化,直到其穩定在靜力平衡狀態.該方法對于大體系結構收斂性較差,從而制約了該方法在大規模結構方面的應用.幾何分析法[8]利用幾何的對稱性進行分析從而得到找形結果,因此此方法只適用于對稱結構.坐標縮減法[13]利用虛功原理得到構件廣義坐標之間的關系,能很好地控制結構形狀,但是該方法對于非對稱的結構求解比較復雜.對于任意規模的對稱或者不對稱結構,需要尋找一種通用的找形方法.

針對這一問題,筆者提出了一種基于力密度與改進魚群算法的找形方法.該方法以力密度作為基本變量,建立結構的節點平衡方程組,以確定改進魚群算法的優化模型.利用改進魚群算法在力密度空間進行全局搜索,找出一組合適的力密度值,代入結構平衡方程組便可確定結構的平衡構形.為了改進傳統魚群算法[14]尋優精度不高、后期收斂速度變慢等不足,筆者加入了當前全局最優人工魚的信息,引入了吞食行為和跳躍行為,并采用了自適應步長,使得算法的運行時間明顯降低,后期收斂速度和精度都得到了加強[14-16].該方法有效地避免了大量的矩陣分解運算,同時因為此方法不要求結構的對稱性,所以能很好地處理非對稱結構的找形問題.

1 力密度法原理

圖1所示的為擴展八面體張拉整體結構,其中粗實線表示桿構件,細實線表示索構件.圖2表示為結構中的一個節點i和與之相連接的節點和構件.

圖1 擴展八面體張拉整體結構

圖2 張拉整體結構的節點和構件

張拉整體結構是一種自平衡體系,忽略了重力影響,在自應力狀態下結構保持穩定,即結構所受的外力為零.對于具有m個構件、n個節點的張拉整體結構,力平衡方程組為

其中,X、Y、Z分別為節點在x、y、z方向上的坐標列向量,D為n×n階平衡矩陣.平衡矩陣D中各元素如下:

其中,φ表示與節點i相連接的所有構件的構件號;力密度qk=Tklk,lk表示構件k的當前長度,Tk為構件k的內力.當Tk為拉力時,qk取正值;當Tk為壓力時,qk取負值.

顯然,D的每一行及每一列元素的和均為零.那么,不管力密度取值如何,矩陣D都至少有一個特征值為零,且對應的特征向量為一個全為1的n×1階的向量.由文獻[8]可知,該特征向量不能作為可行的節點坐標向量,因此對于一個d維的、n個節點的張拉整體自應力結構,能夠求出該結構的平衡構形,平衡矩陣D的秩必須滿足的條件為

2 基于改進魚群算法的張拉整體結構找形

2.1 數學模型

由第1節可知,當一組合適的力密度qk(k=1～m)使得平衡矩陣D的秩滿足式(3)時,利用式(2)便可以求出結構的平衡構形.因此,張拉整體結構的找形問題便可轉化為如何搜索出合適的力密度矩陣qk使得平衡矩陣D的秩滿足找形要求.因為矩陣的秩不小于非零特征值的個數,所以可以通過矩陣D的零特征值的個數來判定該矩陣的秩是否滿足式(3).因此可建立如下優化模型:

約束條件

其中,λj是D的第j個特征值(特征值從小到大排列),t=3(二維結構)或者4(三維結構).顯然,α的最小值是零,即矩陣D至少有t個零特征值(t=d+1).β函數是保證每個力密度值不能接近零或者等于零.qii為經過標準化處理之后的力密度,其計算方法為

2.2 改進魚群算法

魚群算法[14](AFSA)是一種群智能優化算法,通過構造人工魚來模仿魚群的覓食、聚群、追尾及隨機行為.每條人工魚根據這些行為的尋優結果來選擇當前目標函數值最優的行為執行,從而實現尋優.

隨著優化問題復雜程度和規模的不斷擴大,該算法在應用中也暴露出不足.例如,后期收斂速度較慢,而且收斂精度不高,容易陷入局部極值.筆者對傳統魚群算法采用了以下改進策略:

(1)如果算法在連續5次迭代后,最優人工魚的目標函數值之差都小于跳躍閾值ε,說明此時人工魚陷入了局部極值區域,那么就以一定的跳躍概率δt選擇人工魚,對其進行強制初始化.

人工魚數量越多,魚群算法的收斂速度越快.目標函數值差的人工魚對算法的性能影響很小,卻增加了算法的復雜度.算法經過nt次迭代后(nt取大于總迭代次數的一半),每隔一定迭代次數nb進行一次吞食行為.將每條人工魚的目標函數值和吞食閾值η進行比較,釋放高于(最小值問題)吞食閾值的所有人工魚的空間,并且更新當前人工魚總數N.

(2)為了提高魚群算法的全局搜索能力,現將公告板上記錄的當前全局最優人工魚的信息加入人工魚的位置更新公式中,這樣容易避免個體趨同、早熟現象,從而不易陷入局部極值.

人工魚覓食、聚群及追尾行為的位置更新公式如下:

覓食行為

聚群行為

追尾行為

其中,st為移動的步長,r為0～1的隨機數和分別為人工魚i第t次和第t+1次的位置信息,t為迭代次數.Xm為當前覓食行為探索到的新位置信息,Xc為當前聚群行為探索到的伙伴中心位置信息,Xj為當前追尾行為探索到的新信息.Xbest為當前全局最優人工魚的位置信息.

(3)步長的隨機性使得尋優精度難以提高,同時也使收斂速度減慢,所以采用自適應步長,即

其中,s為基礎步長,st為自適應步長,Yv為搜索的新點的目標函數值,Y為當前狀態的目標函數值.

由此可知,算法中移動步長的大小取決于當前狀態和視野中所感知到的狀態.采用了自適應步長后,每個人工魚個體可以根據魚群的狀態自動地選擇并適時地調整自身的步長,從而簡化了參數設定,提高了收斂速度和尋優精度.

3 仿真實現

用擴展八面體張拉整體結構作為算例來檢測上述方法的可靠性和有效性.擴展八面體張拉整體結構如圖1所示,有12個節點,6個桿,24個索.節點編號和桿單元編號(25～30)、索單元編號(1～24)均在圖1中標明.設24個索的力密度均為q1,6個桿的力密度均為q2.改進人工魚群算法的參數設置如下:人工魚總數N=200,最大迭代次數nmax=100,擁擠度因子δ=8,δt=0.4,視野v=20,s=10,覓食行為的最大嘗試次數ns=10,ε=0.1,η=20,nt=60,nb=15.將求得的一組力密度值(0.453 0,-0.679 5)代入式(2),可得矩陣D的4個零特征值對應的特征向量,選取合適的作為結構的各節點坐標,從而確定找形平衡構形,如圖3所示.

圖3 擴展八面體張拉整體結構的找形平衡形態

圖4 魚群分布圖

在改進魚群算法的迭代過程中,魚群的分布如圖4所示.Tibert等[8]首先利用結構的對稱性得到平衡矩陣D,然后利用高斯消去法得到力密度矩陣的簡化行梯陣式,從而得出桿與索的力密度關系滿足q2=-1.5q1時,矩陣的秩滿足求解條件.但是該方法不適用于不規則結構.圖4中,魚群分布的直線為q2=-1.5q1,可以看出,隨著迭代次數的增加,人工魚開始聚集,最后大部分人工魚都聚集在該直線附近.說明該方法用于張拉整體結構找形是有效的.

為了更好地驗證改進魚群算法(IAFSA)的優越性,用傳統魚群算法(AFSA)及相同的算例和測試平臺進行了一組對比實驗.傳統魚群算法中的參數設置和改進魚群算法相同,兩種算法分別獨立隨機運行10次,兩種算法的10次平均收斂曲線如圖5所示,找形結果對比如表1所示.迭代收斂曲線是獨立運行10次程序取目標函數的平均值得到的.從圖5可以看出,改進的魚群算法在優化前期,目標函數值的下降幅度較大,隨后下降幅度逐漸變緩,最后目標函數值趨向于一個恒定值,這個過程反映了該算法具有較強的穩定性和很好的收斂性.由于加入了當前全局最優人工魚的位置信息,使得算法前期收斂速度比傳統魚群算法快,更容易找到最優值.又因為采用了自適應步長,改進人工魚群算法的前期步長較大,更容易找到最優值,不容易陷入局部極值;后期步長較小,可進行更細化的搜索,收斂精度更高.

從表1可以看出,改進魚群算法的最優值為5.031 1×10-14,比傳統魚群算法的最優值(2.886 7×10-5)小得多,且精度高很多.從兩種算法的平均最優值和最優值的數量級可以看出,改進魚群算法的優化結果每次精度差別不大,而傳統的魚群算法的優化結果精度差別比較大,說明傳統魚群算法的尋優結果不穩定.從表1中兩種算法的平均運行時間可以看出,改進魚群算法比傳統的魚群算法運行時間短,說明改進魚群算法具有更高的尋優效率.

圖5 兩種算法的平均收斂曲線

表1 AFSA與IAFSA運行10次的找形結果對比

4 總 結

針對傳統力密度法對不規則、大規模張拉整體結構的找形問題求解效率不高的問題,筆者提出了一種基于力密度法與改進魚群算法的找形方法.在對大規模結構找形時,該方法能夠避免大量矩陣分解運算.改進的魚群算法保持了傳統魚群算法易實現、要求簡單等特點,而且提高了尋優效率和尋優精度.以擴展八面體張拉整體結構作為算例,對改進魚群算法和傳統魚群算法的找形結果進行了對比,仿真結果表明,改進的魚群算法無論是在收斂精度還是在平均最優值上都有很大改善,而且該方法很好地平衡了全局搜索能力和局部搜索能力,算法的收斂速度和穩定性都比傳統的魚群算法有所提高.因為該方法對結構的對稱性沒有要求,而且不需要進行大量矩陣分解運算,所以該方法可以應用于不規則的或者大規模的結構.

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(編輯:郭 華)

Form-finding of tensegrity structures based on IAFSA

LIN Min,LI Tuanjie,JI Zhifei
(School of Mechano-electronic Engineering,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

To solve the form-finding problem of large-scale and nonregular tensegrity structures,an improved artificial fish swarm algorithm(IAFSA)is proposed on the basis of the force density formation of a tensegrity structure.First,the equilibrium equations for a tensegrity structure are developed based on the force density method.Then,a set of appropriate values of force density is found by the IAFSA in the force density space to make the rank of the equilibrium matrix satisfy the required conditions.As a consequence, the equilibrium configurations of the tensegrity structure can be derived.Furthermore,by employing the position information of the current global best artificial fish and the behaviors of swallowing and leaping of the artificial fish,the IAFSA has a higher search efficiency.Moreover,the use of leaping behaviors of the artificial fish makes the IAFSA have the ability to find global extremums.With the expandable octahedron as an example,its form-finding problem is conducted by using the IAFSA.Experimental results indicate that the form-finding results of the IAFSA are reliable.Compared with the conventional artificial fish swarm algorithm,the IAFSA has a higher convergence precision and a better average optimum value.

tensegrity structure;artificial fish swarm algorithm;static balance;form-finding;swarm intelligence

TP18

A

1001-2400(2014)05-0112-06

2013-05-16< class="emphasis_bold">網絡出版時間:

時間:2014-01-12

國家自然科學基金資助項目(51375360)

林 敏(1984-),女,西安電子科技大學博士研究生,E-mail:structmlin@163.com.

http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3969/j.issn.1001-2400.2014.05.019.html

10.3969/j.issn.1001-2400.2014.05.019