如何在數學教學中培養學生的創新能力

祁德生

【摘要】函數是中學數學的核心內容，能全面考查學生對數學符號語言的理解和接受能力，以及對一般和特殊關系的認識，從而對培養學生的創新精神、實踐能力和運用數學的能力，有著十分重要的作用。

【關鍵詞】函數創新思維能力

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）02-0134-02

創新的基礎是創造性思維能力，課堂教學是培養創造性思維能力的主渠道，創新要從課堂上抓起。思維的獨特性、靈活性、求異性、綜合性是創新思維的重要特點，應把“四性”教學滲透到每一個教學內容之中，筆者以函數教學內容為例，淺析如何在課堂教學中激勵學生的創造意識。

一、弄清值域概念，培養思維的獨特性

思維的獨特性是具有創造性才能的人最重要的思維品質，獨特性反映了思維的深度及對本質特征的把握程度，只有觸及事物的本質，才能在學習和工作中“獨辟蹊徑”、“棋高一著”。為了培養學生這種能力，教學中設計了下列兩道練習題。

例1.已知f(x)的定義域為[a，b]，且f(x)在x＝a處取得最小值A，在x＝b處取得最大值B，試求y＝f(x)在[a，b]上的值域。

例2.求f(x)＝■的值域。

例1是無法求值域的；在求解過程中沒有學生對題目提出異議，沒有獨特的見解，有的同學誤將答案寫為[a，b]。

例2正確答案為[-■，0) ∪(0，■]，但有的學生將y＝■化簡成y＝■sin2x從而得出值域為[-■，■]忽視了定義域 {x|x＝■kπ， k∈z}的制約。

值域是函數三要素之一，初等函數的特殊性，給學生造成了這樣一種認識：若函數的值域為[m，M]，則函數的最大值、最小值分別為M和m；若函數的最小值為m，最大值為M，則其值域為[m，M]，實際上前一種認識是正確的，后一種認識是錯誤的。函數的性質,直接受定義域制約。函數的三要素定義域、值域、對應關系三者之間是相互滲透、相互依賴的，教學中多設幾個特例，揭示這三者之間的內在聯系和本質區別，有利于獨特性思維的發展。

二、多方求函數的值，培養思維的靈活性

創造性思維強調根據不同的對象和條件，具體情況、具體對待，靈活應用，反對一成不變的模式。求函數值的方法是豐富多彩的，為了培養學生靈活求函數值的方法，要求學生計算下面兩道習題。

例3.已知f(x) ＝4x-4x+1(x≥0)，求f-1(0)。

例4.已知f(x)＝asin3+x3+1，且f（■）＝4+√2，求f(-■)的值。

解題時，學生出現不同的解法。

例3解法： 方法①應通過原函數與反函數的可逆性，將求f-1(0)轉化為求方程f(x)＝0的解。方法②有的學生不惜通過繁瑣的計算，先求出y＝f-1(x),進而求f-1(0)的值。

例4解法：方法①應通過函數的奇偶性，g(x) ＝f(x)-1，利用g(x)是奇函數這一性質求解最為方便。 方法②通過f（■）＝4+√2解出a的值，以確定f(x)的表達式，再將x＝-■代入，求出f（-■）的值。

通過比較，教師指出解例3時，通過函數解析式y＝f(x)計算出與x對應的函數值y，這是常見的思路，初、高中課本中有大量這類題型，導致學生思維的單一性，解法繁瑣。方法①則靈活、便捷。解例4時，方法①掌握了g(x)是奇函數這一性質，用逆向思維的方法解決，比方法②高明得多。通過這兩個例題的教學使學生懂得解題或處理問題時要變通，要實事求是，不要拘泥于教條和模式。

三、深入理解定義域，學會求異思維

創造性思維是對已知知識的重新組合，目的是獲得新的思維成果。深入理解函數定義域，有助于發展學生的求異思維。定義域一般分為三種類型；使解析式有意義的自變量的取值范圍稱為自然型；使實際問題或幾何問題有意義的自變量的取值范圍稱為實際型；人為限制給定的自變量的取值范圍稱為限制型。為了加深對定義域的理解，求解下面幾個例題。

例5.已知f(x) ＝log(x+a)，其中a∈R，若x∈[2，+∞]時，f(x)有意義，求a的取值范圍。

例6.已知f(x) ＝x3-2x+3的值域為[2，3]，試說明該函數的定義域[0，a]所應滿足的條件。

解例5時，不少學生錯誤地認為a＝-2； 正確解法是：由條件[2，+∞]應該是定義域的子集，由[2，+∞] ∪[-a，+∞]可得a∈[-2，+∞]。

解例6時，不少學生錯誤地得定義域為[0，1]或[0，2]。正確的答案為[0，2]，其中1≤a≤2。

解例5時，由于受教材內容的影響，教材中求定義域的大多數是自然型的，即使得式子有意義的x的取值范圍，致使學生誤認為給出的f(x)有意義的取值范圍便是定義域，事實上給出的f(x)有意義的x的集合，應該是定義域的子集。

解例6反映出學生由值域導出定義域會感到束手無策，在函數教學中，正用概念、公式、得到了高度重視，但由于數學概念的定義項與被定義項之間往往存在著等價關系，忽視了知識的雙向性，重視了常規方法，不會異向思維，通過這兩例題的教學，有利于糾正這一思維傾向。

四、通過解抽象函數問題，培養學生思維的綜合性

創造性思維是一種綜合性思維。創造就是重新組合，日本人提出“綜合就是創造”。可通過解下面抽象函數問題來培養學生綜合思維能力。

例7.是否存在函數{(x)，同時滿足下列三個條件：

①f(x+y)+f(x-y)＝2f(x) cosy（x,y∈ R)

②f(0) ＝a(a為常數)

③f（■）＝b,(b為常數)

解：條件①中x，y的任意性，隱含著x，y可以“換元”，又可以“賦值”，結合條件②和③，可構造出函數方程組，求出函數表達式。

令x＝0，y＝t得：f(t)+f(-t)＝2acost(1)

令x＝■+t，y＝■得：f(π+t)+f(t)＝0(2)

令x＝■，y=■+t得：f(π+t)-+f(-t) ＝2bsint (3)

將(1)+(2)+(3)得：f(t)＝acost+bsint故存在f(x)＝acost+bsint符合題意。

函數與方程的思想是中學數學的基本思想，也是歷年高考的重點。函數的思想，是用運動和變化的觀點、集合與對應的思想，去分析和研究數學問題中的數量關系，建立函數關系或構造函數，再利用函數的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。函數思想的精髓就是構造函數。方程的思想，是分析數學問題中變量間的等量關系，從而建立方程或方程組，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得圓滿的解決。

此外，還要讓學生主動地學習數學，并在學習中舉一反三，教師必須轉變角色，為學生的學習活動創造一個良好的學習環境，注意激發學習的興趣，采用多元化的評價方式，增強學生的自信心，促進學生自主學習，在合作與交流中創新，為學生的終身發展打下堅實的基礎。

參考文獻：

[1]魏超群．論數學教育與素質教育的關系[J]．中小學教材教學，2008(02)．

[2]葉瀾．讓課堂煥發生命活力[J]．教育科學研究，2005(07)．