緊束縛近似在低維模型中的應用

楊翠紅 王璐

［摘要］緊束縛近似是獲得能帶結構的基本方法，在固體物理教學中占有重要的地位。但考慮復式格子或多帶系統時具體求解是一個比較復雜的問題，對本科生的學習有一定難度。結合一維原子鏈這一簡單模型，由淺入深分析緊束縛近似的求解過程，并拓展至二維、三維情況進行討論，深刻理解模型的實質。

［關鍵詞］緊束縛近似一維原子鏈能帶

［中圖分類號］G642.0［文獻標識碼］A［文章編號］2095-3437（2014）10-0161-02固體物理是大學物理學相關專業一門重要的專業必修課。固體物理是研究固體的結構及微觀粒子之間相互作用與運動規律，以闡明其性能與用途的學科。目前，材料物理、半導體物理、新材料等新興交叉學科的學習也必須具備相關固體物理的理論基礎知識，固體物理的學習成為基礎理論與應用學科之間的橋梁。在固體物理的學習中，對數學和物理的基礎要求相對較高，對教者和學者都提出了較高要求。表現之一：能帶論如何有效地掌握并加以應用是一重點內容。眾所周知，能帶理論是理解和解釋晶格振動、電導率、吸收譜等物理性質的重要方法。但如何較好地掌握能帶計算方法對本科生而言需要加強，本文從學生所熟悉的一維原子鏈模型出發逐步地闡明緊束縛近似求價電子能帶的方法，旨在由淺入深地理清緊束縛近似下求解能帶的過程。另外，結合量子力學算符表示方法，將哈密頓量在緊束縛近似下采用算符形式在實空間中表示，并簡要給出求解思路，供學生比較學習。

一、一維單原子鏈中電子的能量

一維單原子鏈模型。電子的質量為m，相鄰原子之間的距離為a，具體計算中簡化考慮原子最外層電子運動狀態是非簡并且各向同性的情況，用φi（x）表示。

孤立原子核外單電子束縛態滿足的本征值方程為：H0φi（x-am）=［-■■+V（x-am）］ φi（x-am）=εiφi（x-am）（1）

其中：V（x-am）代表孤立原子am=ma格點的電子在x處的勢場，εi、φi（x-am）是價電子第i個束縛態的能級和波函數。

孤立原子結合成晶體后，勢函數由V（x）過渡到晶體的周期性勢場U（x），是各格點所有原子的勢場之和，哈密頓量H0過渡到H，為了求解晶體中電子的狀態波函數，晶體的本征值方程稍做變形：HΨ（x）=（H0+H′）Ψ（x）=EΨ（x）（2）

H′=U（x）-V（x）看成微擾作用。晶體中的電子狀態采用原子軌道線性組合 （LCAO）方法，晶體中電子的波函數為

Ψk（x）=■■e ■ φi（x-am） （3）

代入薛定諤方程（2）即可，具體求解能量和波函數時，考慮當原子間距比原子半徑大時，不同格點的φi（x-am）重疊很小，波函數滿足正交歸一性。通過簡單計算得到能量為

E=εi-■J（■■）e■（4）

其中：-J（as）代表相互作用能的微擾貢獻［1，2］。當最完全的重疊，在位能用J0表示；只考慮到最近鄰相互作用時，包含左右兩個最近鄰，則一維單原子鏈模型中核外電子的能量為

E（k）=εi-J0-2J（a）cos（ka）（5）

可見由于孤立原子結合成晶體后，電子受到其它原子對其的作用，孤立原子的核外電子能級過渡到晶體中的能帶，展寬2J（a）cos（ka），此部分的能量與波矢k滿足余弦函數的關系，大小取決于微擾哈密頓量的平均值J（a）。這一結論可使學生理解從單一原子能級到晶體能帶的轉變過程。

上述模型采用緊束縛近似方法計算能譜，可進一步拓展用其它方法表示。結合量子力學中算符的表示形式，上述模型在實空間中只考慮最近鄰相互作用在緊束縛近似下，電子的哈密頓量：

H=t0■a■■ai-J（a）■（a■■ai+1+h·c） （6）

其中a■■，ai分別表示電子在i格點的產生湮滅算符，t0和J（a）分別為電子的在位能和最近鄰跳躍能，h·c代表共厄項，一維單原子鏈采用玻恩－卡門邊界條件，具有晶格的周期性，對算符做傅立葉變換，可得

H=■［t0-2J（a）cos（ka）］ a■■ak（7）

其能譜項與上面的解析表示式（5）一致。以上過程的具體處理使學生通過簡單模型了解量子力學二次量子化的處理方法。另外還應明確處理具有周期性的物理量常常變換到倒空間來處理具體問題，相應地系統特征量（如費米能量、態密度等）都習慣在k空間來表示。

二、一維復式雙原子鏈中電子的能量

一維復式雙原子鏈模型：電子的質量分別為mA、mB，相鄰原子之間的距離仍用a表示，相鄰原胞之間的距離為2a，此時每個原胞中有兩個不等價的原子，相比之前一維單原子鏈模型，由簡單晶格變為復式晶格，自由度發生變化，描述方式也相應的有所變化，此模型是復式晶格最簡單的代表，為其它復雜復式晶格采用緊束縛近似方法求解能帶提供基本求解過程。具體計算中仍簡化考慮孤立原子最外層電子狀態非簡并的情形。晶體中A、B兩類原子分別組成Bloch波函數，總的波函數為這兩個Bloch和的線性組合Ψk（x）=cAΨk,A（x）+cBΨk,B（x）（8）

求解晶體中的本征值方程，左乘波函數的復共軛并對全空間積分，同樣考慮不同格點的波函數重疊很小，只包含最近鄰相互作用，A（B）原子的最近鄰是B（A）原子，得到兩個方程：

［HAA（k）-E］cA+HAB（k）cB=0HBA（k）cA+［HBB（k）-E］cB=0 （9）

其中：Hσσ（k）≈εσ，εσ代表孤立A、B原子的原子能級，且只考慮最近鄰原子間的相互作用HA,B（k）≈-J12cos（ka）求解上式久期方程給出電子能譜

E±（k）=■（10）

可見，一維雙原子鏈一個原胞中含有兩類不等價原子，有兩個自由度，對應著兩支能譜。當A、B兩原子等價，能帶過渡到第一種單原子鏈的情形。

三、分析討論

在以上兩個模型的基礎上可進一步推廣到更一般的情形。如正六邊形原胞，一個原胞中也有兩類不等價原子A、B，這個結構就是目前凝聚態物理前沿的一個研究熱點，石墨烯（graphene）材料。這類結構采用緊束縛近似求解能帶過程與一維雙原子鏈類似，主要的區別就是最近鄰的原子排列以及最近鄰原子數目。對石墨烯而言：A（B）原子有3個最近鄰的B（A）原子，同時如果進一步考慮次近鄰相互作用，次近鄰的原子的排列也因具體結構而異。對石墨烯采用緊束縛近似具體求解色散關系參見文獻[3]。另有必要提一點，石墨烯因其結構簡單，物性特殊，在固體物理的教學中可多方面與基礎知識相聯系引入介紹，使學生了解學科前沿，激發學習熱情。在此基礎上還可進一步考慮最外層載流子的狀態數m個，以及一個原胞中不等價的原胞個數n個，一共有mn個自由度，以及考慮能帶交疊等相對復雜的具體情況。

本文從學生相對熟悉的一維單、雙原子模型出發，采用緊束縛模型考慮孤立原子結合成晶體后核外價電子的能譜結構。對結果進行分析，拓展到更復雜的情形加以闡明。通過具體例子，由淺入深地介紹可以幫助學生牢固掌握緊束縛近似方法求能帶的基本過程，做到學懂會用；通過對能帶深刻的認識和理解，為后續進一步從能帶圖上分析電學性質將打下堅實的基礎。

［參考文獻］

［1］馮端.固體物理學大辭典［M］.北京:高等教育出版社,1995.

［2］方俊鑫,陸棟.固體物理學［M］.上海:上海科學技術出版社,1983.

［3］尤景漢,湯正新,琚偉偉,等.單層石墨和多層石墨的電子能帶結構［J］.河南科技大學學報（自然科學版）.2009,30（4），

［4］楊翠紅,程國生.淺談用一個學科前沿課題貫穿固體物理教學［J］.課程教育研究,2012,（7）.

［責任編輯：左蕓］