行對稱矩陣廣義逆的快速求解公式

李秀格

摘要：對行對稱矩陣的QR分解進行了研究，在此基礎上給出了求行對稱矩陣廣義逆的快速求解公式，并給出了證明。將QR分解方法應用于該類行對稱矩陣的廣義逆的求解過程，既利用了QR分解保證足夠的精度，又可大大降低求解一類具有該結構矩陣的廣義逆的計算量和存儲量。

關鍵詞：行對稱矩陣；QR分解；廣義逆

中圖分類號：O151.21 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2014）17-4137-03

Fast Calculating Formula for Generalized Inverse of Row Symmetric Matrices

LI Xiu-ge

（Department of Information，Liaoning University，Shenyang 110036， China）

Abstract： The QR factorization of row symmetric matrices is studied，and on this basis an fast calculating formula for generalized inverse of row symmetric matrices is obtained and the proof of that formula is also given，all of which can dramatically reduce the amount of calculation and save the CPU time and memory for generalized inverse of row symmetric matrices，without loss of any numerical precision by the QR factorization.

Key words： row symmetric matrices；QR factorization； generalized inverse

1 概述

廣義逆矩陣的理論和方法廣泛應用于數(shù)值分析、最小二乘問題、非線性問題、網絡問題、統(tǒng)計問題和無約束（約束）隨機規(guī)劃問題等領域。很多實際問題的數(shù)學模型，均可轉化為線性問題，進而利用矩陣進行求解。該文中我們針對k次行對稱矩陣的特點，將QR分解方法應用于該類行對稱矩陣的廣義逆的求解過程，與以往算法相比，該方法可降低求解一類具有該結構矩陣的廣義逆的計算量和存儲量。

本文用[AH]表示矩陣A的共軛轉置矩陣，[Cm×n]表示[m×n]復矩陣集，[J∈Rm×m]為單位反對角矩陣（即反對角線上的元素全為1而其它元素全為0的矩陣）。

2 基本概念

定義1 （行對稱矩陣）[1] 令[A∈Cm×n]為任意給定的復矩陣，k為任意給定的正整數(shù)。定義矩陣[RA；J1，J2，…，Jk-1]為

[RA；J1，J2，…，Jk-1=A0A1?Ak-1∈Ckm×n]，

其中[A0=A，Ai=JiA，i=1，2，…，k-1]。矩陣[RA；J1，J2，…，Jk-1]稱為A的k次行對稱矩陣，A稱為它的母矩陣。

若[J1=J2=…=Jk-1=J]，則行對稱矩陣[RA；J1，J2，…，Jk-1]可簡記為[RkA；J]，[RkA；J]稱為[k]次行周期對稱矩陣。

定義2 （廣義逆）[2] 對任意一個[m×n]矩陣A，Penrose用下面的四個方程定義A的廣義逆：

1） [AXA=A]，

2） [XAX=X]，

3） [AXH=AX]，

4） [XAH=XA].

對任意[A∈Cm×n]，滿足上面四個方程的矩陣X是唯一的，稱矩陣X為矩陣A的廣義逆，簡記為[A+]。

基本性質：

（a）對任意矩陣A，[A+]存在且唯一。……