解平行四邊形板彎曲問(wèn)題的GD法

楊 柳，彭建設(shè)

（成都大學(xué) 工業(yè)制造學(xué)院，四川 成都 610106）

0 引 言

在彈性薄板的彎曲問(wèn)題中，矩形板和圓形板較易獲得精確解答，但對(duì)于平行四邊形板，因邊界條件不易滿足，通常其精確解很難獲得，因而常采用數(shù)值解法.在數(shù)值解法中，常用的有康托洛維奇變分法、有限元法、有限差分法、微分求積法、無(wú)網(wǎng)格法等［1－7］.這些方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，在不同的領(lǐng)域都有成功的應(yīng)用.本研究運(yùn)用常微分方程（General Differential，GD）解法對(duì)平行四邊形板彎曲問(wèn)題進(jìn)行了求解，該方法從泰勒級(jí)數(shù)出發(fā)，用全域內(nèi)節(jié)點(diǎn)函數(shù)的加權(quán)和來(lái)表示該點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值，其權(quán)系數(shù)只取決于節(jié)點(diǎn)的分布而與具體問(wèn)題無(wú)關(guān).數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，GD 法是求解平行四邊形等異形板彎曲問(wèn)題的一種較好的數(shù)值方法.

1 GD 法基本原理

將某連續(xù)函數(shù)f（x）在基點(diǎn)xi處做泰勒展開(kāi)，在此基礎(chǔ)上，將某節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)用全域內(nèi)節(jié)點(diǎn)函數(shù)的加權(quán)和來(lái)表示，從而將偏微分方程轉(zhuǎn)化為由待求節(jié)點(diǎn)函數(shù)值表述的代數(shù)方程組，通過(guò)求解線性方程組，而使原微分方程得解.

設(shè)f＝f（x）為彈性體內(nèi)的某一連續(xù)函數(shù)，該函數(shù)只隨x坐標(biāo)而變化.以第i個(gè)節(jié)點(diǎn)為基點(diǎn)，第m（m≠i）點(diǎn)的表達(dá)式為，

其中，fi（i＝2，3，…，N－1）為內(nèi)節(jié)點(diǎn)，f1，fN為外邊界節(jié)點(diǎn).將各節(jié)點(diǎn)展開(kāi)整理為如下矩陣，

其中，

采用Gauss－Jordan消去法，A、B 所組成的增廣矩陣經(jīng)k＋1次消元后得到系數(shù)矩陣的逆陣，

式中，j＝k＋1，k＋2，…，N－1.

式中，m ＝1，2，…，N－1.

式中，J ＝k＋1，k＋2，…，N－1；z＝1，2，…，N－1（z≠k）.

式中，z＝1，2，…，N－1（z≠k）；m ＝1，2，…，N－1.

經(jīng)過(guò)N 次消元后，將（1）整理為如下形式，

式中，

將域內(nèi)不同節(jié)點(diǎn)的同階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)列陣整理為，

分析式（13）易知，該節(jié)點(diǎn)的k階導(dǎo)數(shù)為，

權(quán)系數(shù)C 為，

2 GD 法解平行四邊形板靜力問(wèn)題

通常，平行四邊形板的控制微分方程為，

采用如圖1所示坐標(biāo)變換系統(tǒng)，斜坐標(biāo)（u，v）與直角坐標(biāo)（x，y）之間的關(guān)系［8］為，

圖1 坐標(biāo)變換系統(tǒng)

或者，

則原平行四邊形域可變換到矩形域.將其做無(wú)量綱化，令，

則矩形域變換成邊長(zhǎng)為1的正方形域，相應(yīng)的，控制方程（16）可在坐標(biāo)系oζη 中表達(dá)為，

將板劃分為Nx×Ny個(gè)節(jié)點(diǎn)，對(duì)每一節(jié)點(diǎn)（ζi，ηj），都可由式（19）得到其GD 方程，

式中，i＝1，2，…，Nx；j＝1，2，…，Ny.

其矩陣形式為，

式中，｛δ｝為Nx×Ny行的待定節(jié)點(diǎn)位移w（αi，βj）的列陣，［C］為Nx×Ny行Nx×Ny列的權(quán)系數(shù)矩陣，｛Q｝為Nx×Ny行的廣義載荷列陣.

坐標(biāo)變換后的正方形板有4個(gè)邊界，共有8個(gè)邊界條件.例如，四邊固支時(shí)，其8個(gè)邊界條件為，

通過(guò)以上邊界條件可得4（Nx＋Ny）個(gè)代表邊界條件的GD 方程.用該邊界條件方程取代式（20）的對(duì)應(yīng)邊界位置的方程，即得其可解線性方程組.求解該線性方程組即得節(jié)點(diǎn)位移w（ζi，ηj）的列陣｛δ｝，其全域的位移場(chǎng)可由拉格朗日插值得到，

例1 四邊簡(jiǎn)支平行四邊形薄板（見(jiàn)圖1），在均布載荷q作用下，μ ＝0.2，不同角度對(duì)應(yīng)中點(diǎn)撓度如表1所示.

例2 四邊固支平行四邊形薄板，在均布載荷作用下，θ0＝60°，r＝1，s＝sin60°，四邊形中點(diǎn)位移的本研究方法解為其康托洛維奇法解［10］為0.000551，兩者相差2%.

4 結(jié) 語(yǔ)

本研究先利用坐標(biāo)變換使平行四邊形板域變換成正方形板域，然后運(yùn)用GD 法對(duì)變換后的新控制方程進(jìn)行了求解.數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，GD 法在對(duì)平行四邊形板彎曲問(wèn)題的求解中，具有數(shù)學(xué)原理嚴(yán)謹(jǐn)、精度高、易于編程計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)，是一種較好的數(shù)值方法.

［1］石東洋，關(guān)宏波.雙曲型方程的非協(xié)調(diào)變網(wǎng)格有限元方法［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2009，25（1）：26－33.

［2］魏高峰，馮偉，高洪芬.基于位移插值的Voronoi單元有限元方法［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2008，25（2）：342－346.

［3］Shu C，Wu W X，Ding H，et al.Free vibration analysis of plates using least－square－based finite difference method［J］.Computer Methods in Applied Mechanics ＆ Engineering，2007，196（7）：1330－1343.

［4］Li Zicai，Chien Chengsheng，Huang Hungtsai.Effective condition number for finite difference method［J］.Journal of Computational ＆ Applied Mathematics，2007，198（1）：208－235.

［5］彭建設(shè)，張鷹，楊杰.策動(dòng)力下動(dòng)力學(xué)初—邊值問(wèn)題的時(shí)域配點(diǎn)DQ 空—時(shí)半解析法［J］.計(jì)算物理，2000，17（1）：54－58.

［6］聶國(guó)雋，仲政.用微分求積法求解梁的彈塑性問(wèn)題［J］.工程力學(xué)，2005，22（1）：59－62.

［7］李臥東，王元漢，譚國(guó)煥.無(wú)網(wǎng)格法在彈塑性問(wèn)題中的應(yīng)用［J］.固體力學(xué)報(bào)，2001，22（4）：361－367.

［8］徐次達(dá)，陳學(xué)潮，鄭瑞芬.新計(jì)算力學(xué)加權(quán)殘值法——原理、方法及應(yīng)用［M］.上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，1997.

［9］S.鐵摩辛柯，S.活諾斯基.板殼理論［M］.北京：科學(xué)出版社，1977.

［10］王磊.平行四邊形彎曲板的康托洛維奇法［J］.固體力學(xué)學(xué)報(bào)，1983，4（3）：420－426.