基于極坐標變換的相位掃描定中方法

馬國鷺， 趙 斌

(華中科技大學 機械科學與工程學院， 武漢 430074 )

基于極坐標變換的相位掃描定中方法

馬國鷺， 趙 斌*

(華中科技大學 機械科學與工程學院， 武漢 430074 )

為了實現無衍射光斑作為直線基準在復雜噪聲背景下仍能快速精確定中的目的，采用相位掃描的方法來獲得極坐標系下的無衍射光斑相位角隨極角的振蕩起伏，對無衍射光斑在環向上的相位與標準正弦條紋的相位對比獲得其偏離量，通過多次迭代便實現了無衍射光斑的定中，并進行了理論分析與測試實驗。結果表明，該算法具有良好的抗噪能力、較低的計算時耗和亞像素級的定中精度。

圖像處理；信號處理；衍射；相位掃描；無衍射光斑

引 言

光束在工程中常被作為直線的基準(譬如高斯光束)，但是傳統的方式在工程應用中受到多種局限[1-3]。DURNIN將麥克斯韋波動方程下一簇沿傳播方向的截面上光強分布不變的特解定義為無衍射光，由于其在無源的自由空間中可保持恒定不變的空間傳輸特性(無離焦、無畸變、抗背景干擾和高定心精度等特性)，因此，無衍射光斑中心傳播軌跡可作為理想的直線基準，尤其是在精密工程中，譬如姿態角測量[4]與大尺度空間中的直線度測量[5]。而在基于無衍射光束作為基準的應用中,關鍵就是對無衍射光斑中心的定中處理。

目前，適用于無衍射光斑定中算法有如下幾種：(1)圖像灰度重心法[6]，這種方法計算簡單，符合理論上的無衍射中心位置處光斑最強的分布特性，但在波陣面存在誤差時，衍射的光斑光強分布難以預計，因此實際上圖像的灰度重心有相當大的不確定范圍；另一方面直接根據灰度值來確定中心，其位置極限精度最高為一個探測單元的尺度(對現有圖像探測器，探測單元尺寸約為5μm)，這往往達不到某些精密測量的要求;(2)基于圖像邊緣提取的Hough變換的圓檢測法[7]與圓擬合法[8],Hough圓檢測法是將圖像空間中的邊緣點映射到參量空間中，然后將在參量空間中得到的所有坐標點元素對應的累加值進行累加統計，根據累加值判斷圓的大小和圓心所在位置，該方法具備良好的魯棒性和圓識別能力；而圓擬合法則是根據最小二乘原理擬合逼近圓，計算速度快；然而這兩種圓檢測方式都是依賴于邊緣提取的質量，并且傳統Hough圓檢測法存在計算量大、耗費內存空間、參量空間峰值點被次峰值點包圍、易造成漏檢或誤檢等缺陷，而圓擬合法不具備圓的識別能力，在對背景噪聲點多的情況下擬合偏差較大;(3)直接對灰度圖進行處理的數字莫爾條紋掃描定中算法[9]與基于圓環濾波的匹配定中算法[10]。該方法類比計量光學中的莫爾條紋技術，采用環形數字光柵與無衍射光圖像重疊，合成莫爾條紋效應，通過相位掃描獲得圖像各點對應的相位錐，根據相位錐與中心點的映射關系實現對無衍射光斑的定中。這種方法具有良好的魯棒性和亞像素的定心精度，但相位錐的計算耗費巨大，全部圖像數據都參與每步迭代計算導致計算收斂緩慢。并且上述的所有算法都無法自動判斷與剝離在無衍射光斑中心區域受破壞的環形紋理區域。

作者針對無衍射光斑同心圓環的紋理特征，結合工程實際中其中心區域更易受噪聲影響，提出一種基于極坐標變換的相位掃描定中算法。該方法通過分區相位對比可自動識別并剝離受噪聲影響的無衍射光斑中心環區，由外圓環向內的搜索機制，降低了計算時耗的同時，還保證了定中精度，且其收斂性不依賴于初始坐標。該方法更能適應于實際工程需要。

1 定中原理

理論上無衍射光束的光強分布在徑向上呈第一類零階貝塞爾函數分布，其理論中心就出現在光強最大處，也即貝塞爾函數的極大值點位置，如圖1a所示。然而實際中合成的近似無衍射光斑常因光束照射強度、圖像傳感器的采樣位數及其曝光時間、增益等參量的設置等因素，導致圖像中心區域性飽和；因光束的傾斜照射，導致無衍射光斑中心分裂[11]；因axicon錐面形貌的加工誤差，引起同心環形條紋波動起伏或斷裂[12-13]。圖1b中展示了受影響的無衍射光斑圖像。

Fig.1 Image of non-diffraction beam

a—ideal non-diffracting was generated by using numerical simulation b—non-diffracting spot was affected by noise

盡管實際無衍射光斑在徑向上的光強服從貝塞爾函數分布受到了破壞，但是合成的近似無衍射光斑在軸向上的傳播恒定不變、圓環的同心以及徑向上的整體起伏趨勢特性依然完好，則沿無衍射光斑理論中心點[xc,yc]將圖像展開成極坐標形式：

(1)

使用計算機合成角頻率為 ωf的一個正弦gs=sin(ωfρ+φg)和余弦gc=cos(ωfρ+φg)數字條紋，其中φg為初始相位信息,是一個常量。將極坐標轉換后的圖像f(ρ,φf)逐點乘以正弦數字條紋gs可得如下：

(2)

對(2)式沿極徑ρ進行整倍數周期n定積分可得：

(3)

類似地將gc乘上無衍射光束圖像，并對其極徑ρ的整倍數n周期定積分：

(4)

聯立(3)式與(4)式便求解得出在極角φf處的初始相位角為：

(5)

故此在理論中心坐標位置(xc,yc)處時，各極角向上的相位為合成的數字條紋為初始相位φg與無衍射光斑初始相位φf之和，是一個常量，也即：?η(ωf)/?ωf=0。

如圖2a所示，當圖像極坐標變換原點從(xc,yc)偏移至(xc′,yc′)后，圖像灰度映射關系如圖2b所示，描述如下：

(6)

(7)

Fig.2 Polar coordinate transformation

a—theimageofthenon-diffractingbeamwasexpandedinthepositionofidealcentreandoutoffb—therelationshipofpolarcoordinateinpositioncommoncentreandoutoff

(8)

類似(1)式,對(8)式按(2)式～(4)式的步驟進行處理，可得以點(xc′,yc′)進行極坐標變換后各徑向上相位角分布與偏移量Δρ的關系：

(9)

(9)式表明,當圓周內的各徑向上的相位是一個帶有恒定偏置量(初始相位之和φg+φf)呈余弦起伏變化的曲線，而其振幅大小正比于距理想中心的偏離量值Δρ，也即▽η′(φf′)∝Δρ；故此當Δρ=0，也即在理論中心展開后的無衍射光斑圖像的相位分布為直線，如圖3a所示。采用方差來衡量在坐標(xc′,yc′)點處對無衍射光斑進行極坐標后相位函數的起伏量，如下：

(10)

式中，E(η′)，D(η′)分別表示的是變量η′的數學期望與方差。

(10)式表明,評價相位起伏量ν(xc′,yc′)與周向角φf′和偏離角Δφ不相關，僅與偏離理論中心的平方成正比，在理論中心時最小且為0，如圖3b所示。

Fig.3 Distribution of phase along with deviation

a—the phase along deviation and polar angle b—the standard deviation of phase along deviation in the plane of non-diffracting image

假設當圖像中存在光強分布為N(ρ,φf)的背景噪聲時，由其導致的各徑向上的相位誤差為φN(φf′)，則各徑向上相位角分布為：

(11)

結合(10)式則得整理η′(φf′)方差如下：

(12)

由(12)式表明,在背景噪聲時，相位評價函數僅添加了一項常數項，而依然正比于距離理想中心的偏離量Δρ，并且在理論中心處最小但不為0。

2 算法實現

根據上述理論，具體算法實現步驟見下。

(1)采用重心法計算出無衍射光斑圖像光斑的大致初始位置中心坐標(xc″,yc″) ，對尺寸為m×n大小的無衍射光斑圖像Mf，初始中心計算如下：

(13)

(2)將圖像Mf以(xc″,yc″)為初始中心，轉換為極坐標系下的灰度圖Mρ(ρi,φj)。其中呈清晰波浪紋理是由于初始中心的偏離理論中心所致，而在圖中靠近極徑區域且呈橢圓形亮斑，是由于初始中心偏離理論中心的距離遠大于零級衍射環半徑，橢球形光斑愈大表明偏離的環極就愈多。

(14)

(3)沿極徑將圖像Mρ(ρi,φj)等分成兩部分，即Mρ,up(ρi,φj)與Mρ,down(ρi,φj)，將生成的正弦與余弦矩陣信號Ms與Mc也分別分成對應的上下兩部分Ms,up(ρi),Ms,dowm(ρi)與Mc,up(ρi),Mc,down(ρi)信號，并分別與變換后的極坐標系下的灰度圖進行如(5)式～(7)式的求解上下兩部分圖像的相位角η0，up′(φj′),η0，down′(φj′)，離散計算式如下：

(15)

(4)按如下計算式對η0,up′(φj′)和η0,down′(φj′)進行解包絡計算,得到上下兩幅圖像的解包絡相位角ηup′(φj′),ηdown′(φj′)：

(16)

(5)對解包絡后的相位ηup′(φj′),ηdown′(φj′)進行方差計算:

(17)

Fig.4 Calculation procedure of the phase scanning centering

a—theoriginphotographofnon-diffractingbeamf(x,y)b—thef(x,y)polartransformtof(ρ,φf)inposition(xc″,yc″)farawayfromidealcentrec—thedistributionofphaseη0′(φj′)alongpolarangled—thenon-diffractingimagewastransformedtopolarcoordinateinpositionofcommoncentre(xc,n,yc,n)

(7)重復步驟(3)～步驟(6)通過多次迭代尋找ν(xc′,yc′)在最小值時的坐標位置。

圖4a中顯示了在實際工程應用中捕獲的無衍射光斑圖像，因受多重因素干擾，在根據灰度重心法計算的初始中心坐標，存在偏離理論中心多個周期之外的可能，而極坐標系下的無衍射光斑灰度圖在小極徑區域紋理的不再是波浪條紋而是呈橢圓形亮斑狀，如圖4b所示，相應的其相位信息也遭受到破壞，然而在較大極徑區域保持完好，如圖4c所示。

故此，在迭代搜索計算中心初期，可按照上述步驟選擇極徑較大的圖像少量無衍射光斑圖像數據進行計算，獲得初始較為準確的光斑中心坐標(在無衍射光斑零級環內)；再由步驟(1)～步驟(6)將整幅圖像數據計算獲得最終的中心坐標，此時極坐標變換后的圖像，見圖4d。這樣不但減少了計算耗費，消除了對初始坐標的依賴；還實現對受噪聲干擾的圖像中心區域自動識別與剝離，以保證定中的計算精度。

3 算法的數字驗證

為了測試本文中所提出定中算法的有效性，首先由程序合成一幅理論中心已知的理想無衍射光圖片；再添加不同的噪聲水平，并分別采用本文中所提出的算法與數值莫爾條紋掃描定中算法、Hough圓檢測算法進行模擬測試計算并對比。在對上述測試實驗中，基于MATLAB軟件平臺下完成的，圖片像素尺寸為200×200，采用函數imnosie添加各種噪聲水平，對圖像灰度分布在0～1在0.01的均方噪聲下，對無衍射光斑圖像影響是相當嚴重的，如圖5所示，圖中δ表示高斯噪聲的方差，其計算結果如表1所示。

表1中，σn,σM和σH分別為相位掃描法、莫爾條紋掃描定中算法和Hough變換定中位置與理論中心的偏離量。

Fig.5Theidealnon-diffractionimagesunderdifferentnoiselevels,wheretheδrepresentsthevarianceofwhitenoise

Table 1 Numerical simulation of different algorithms under different noise

noiselevelphasescanσnMoiréfringescanσMHoughtransformσH0.0100.05980.04523.2060.0050.03880.02752.4930.00250.02650.02061.4680.0010.01510.01870.845time/s2.830.526.4

Fig.6 The centering results for non-diffraction images with complex background noise with different methods

a—the non-diffracting image was effected by background noise b—the cone of phase for origin non-diffracting image through digital Moiré fringe-scanning method c—the center position was obtained through traditional Hough transformation d—through polar transformation based phase-scanning method

計算結果表明，本文中所提出的定中算法在同等噪聲水平的情況下具有穩定的亞像素定中計算水平，魯棒性與計算時間優于Hough變換；較抗噪能力與精度與莫爾條紋掃描定中算法相當，但計算時間大大降低。

實際工程應用中的無衍射光斑圖像，不是簡單噪聲疊加，axicon錐面表面形貌的加工質量、光照過飽和、傾斜入射、光束反射等綜合因素引起的復雜背景下的無衍射光斑圖像，如圖6a所示。為了進一步檢測算法，采用上述3種算法對多張類似圖6a包含無衍射光斑紋理特征的復雜背景圖像進行了計算，其中圖6b～圖6d分別為莫爾條紋掃描定中算法下的相位錐、邊界提取并進行Hough圓變換定中算法下的計算中心與本文中所提出的極坐標變換下相位掃描定中計算下的中心。盡管無法得知實際中無衍射光斑的理論中心，但是將計算結果與肉眼對無衍射光斑同心環形紋理的觀測中心對比，發現本文中所提出的基于極坐標變換的相位掃描定中算法明顯地更靠近目測的中心。

4 結 論

所提出的基于極坐標變換的相位掃描定中算法運算量小、速度快，自適應中心區域紋理特征不規則的圖像定中，能有效適應于復雜的背景下無衍射光斑的定中計算(譬如基于無衍射光斑的超場距離的直線度測量)，為無衍射光斑作為空間直線基準在實際的應用中提供一種新的有效的定中方法。

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Phase scanning centering based on polar coordinate transformation

MAGuolu,ZHAOBin

(School of Mechanical Engineering, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China)

In order to realize fast and precise centering with non-diffracting spot as straight-line datum under complex background noise, the fluctuation of phase angle of non-diffraction spot with polar angle under polar coordinates was obtained with the phase scanning method. The deviation was the difference between the phase of non-diffraction spots on the ring direction and the phase of standard sinusoidal stripes. Finally, the centering of the non-diffraction spot can be realized after a number of iterations. Theoretical analysis and experimental verification show the method has the good ability of anti-noise, less time consumption and sub-pixel level accuracy.

image processing; signal processing; diffraction; phase scanning; non-diffraction spot

1001-3806(2014)04-0449-06

國家九七三重點基礎研究發展計劃資助項目(2013CB035405)

馬國鷺(1981-)，男，博士研究生，主要從事精密測量方面的研究。

*通訊聯系人。E-mail: zhaobin63@sohu.com

2013-09-04；

2013-10-10

TN911.73

A

10.7510/jgjs.issn.1001-3806.2014.04.004