基于穩健估計的GPS水準在線狀工程中的應用

楊 坤，簡漢佳

(佛山市城市規劃勘測設計研究院，廣東佛山 528000）

基于穩健估計的GPS水準在線狀工程中的應用

楊 坤，簡漢佳

(佛山市城市規劃勘測設計研究院，廣東佛山 528000）

一、引 言

線狀工程的特點是線路長、線路周圍地形復雜多變，而且相對于面狀工程，測區狹長，地勢起伏多變，因此在整個工程中需要的高程數據較多。隨著科學技術的不斷發展，網絡RTK技術已廣泛應用于測量領域。由于其定位結果是基于WGS-84橢球的大地高，而實際需要的通常是正常高，因此如何選擇一定的轉換方法，把GPS點的大地高轉換為正常高，是實際應用中非常重要的一個環節。目前部分城市已完成了區域似大地水準面精化工作，但是由于其成本過高，許多地區仍采用高程擬合的方法進行正常高的轉換。而且隨著測量數據采集的現代化和自動化，粗差也不可避免地被包含在測量數據中。因此，如何處理同時存在偶然誤差和粗差的觀測數據，選取符合工程實際的高程擬合模型，將是測量工作者需要解決的重要問題。

二、穩健估計概述

穩健估計是在粗差干擾不可避免情況下，選擇適當的估計方法，使參數估值盡可能減免其影響，得出正常模式下的最優或接近最優的參數估值。它要求解決這類問題的估計方法應達到以下目標：

1）在假定的觀測分布模型下，估值應是最優的或接近最優的；

2）當假設的分布模型與實際的理論分布模型有較小差異時，估值受到粗差的影響較??；

3）當假設的分布模型與實際的理論分布模型有較大偏離時，估值不至于受到破壞性影響。

穩健估計基本可分為3大類：M估計、L估計、R估計，其中M估計應用較為廣泛。M估計中權函數的選擇是關鍵，經典的權函數有Huber法、丹麥法、殘差絕對和最小法、Hample法等。

三、GPS水準

GPS水準是目前GPS作業中最常用的一種方法。它是綜合利用GPS大地高和水準聯測結果確定高程異常的一種方法。

對于線狀工程，主要應用解析內插法(包括曲線內插法、樣條函數法和Akima法），本文將對曲線內插法、樣條函數法進行介紹。

1.多項式曲線擬合法

此方法選用一個m次代數多項式作為插值函數。設高程控制點的高程異常ζi與其坐標xi(或yi，或擬合坐標）間存在的函數關系(i＝1，2，…，n）可以用下面m(m≤n）次多項式來擬合，即

各高程控制點的已知高程異常與其擬合值之差為

根據最小二乘法，式(2）應滿足以下條件

求解式(1）中的待定系數ai，根據式(2）解得線路上各點的高程異常值ζ，進而得出各點的正常高h。

2.三次樣條曲線擬合法

三次樣條曲線是由分段的三次多項式曲線拼接而成的連續曲線，在結點的地方，其自身、一階導數及二階導數均為連續的。因此它保留了多項式的簡便性，計算較容易，同時也具備了單個多項式無法比擬的靈活性、穩定性，故在長線路的高程擬合中得到廣泛應用。其原理如下：

設在n個已知點上，ζi(高程異常）和xi(擬合坐標）在區間[xi，xi＋1](i＝1，2，…，n）上滿足下式

四、算例分析

佛山一環為城市高速公路，是佛山市歷史上投資規模最大的市政建設項目之一，跨禪城、南海、順德及三水4區，全長99.2 km，全程42個出口，緊密連接了廣州、肇慶、珠海、江門、云浮及中山等城市，是珠三角重要的交通干線之一。全線共布設了112個GPS控制點，并進行了四等水準聯測，本文選擇其中一段進行高程擬合試驗。

1.粗差剔除

試驗中，由于擬合殘差較大，不滿足相關規范要求，考慮試驗數據可能含有粗差，故對其進行粗差剔除。利用多項式曲線擬合采用穩健估計中選權迭代法求解相關參數，權函數采用經典的Huber法，運用Matlab工具編程計算，高程殘差值如圖1所示，穩健估計權值如圖2所示。

圖1 高程殘差

圖2 穩健估計權值

由圖1可知，75為異常點，其所對應的權值(如圖2所示）相對也比較小，故判定為粗差，擬合時應將其剔除。

2.高程擬合

根據上述高程擬合原理，在線路上選取適當的公共控制點，采用兩種擬合方案，通過Matlab工具自動計算試驗數據，并對擬合結果進行比較分析，具體敘述如下。

(1）方案一

選用2～6次的多項式曲線進行高程擬合，擬合精度詳見表1，所選聯測點的高程異常殘差如圖3所示，相應高程異常檢查點的殘差如圖4所示。

表1 多項式擬合精度mm

圖3 多項式擬合法聯測點高程異常殘差

圖4 多項式擬合檢查點高程異常殘差

通過對方案一分析，可得出以下結論：

1）由表1可知，隨著階次增大，擬合結果的內符合精度和外符合精度同時提高，因此增加擬合階次可不同程度改善擬合精度，與內符合精度相比，外符合精度改善并不明顯。

2）從擬合殘差的統計結果(多項式曲線擬合法）可知，所有成果均滿足等外水準限差；從二階到六階，各階次都有檢查點超出四等水準限差，其中二次擬合超限點占36.7%，但隨著擬合階次的提高，超出限差的點的個數也在減少，到六次擬合時超限點占10%，說明擬合階次的提高對線路的控制有所改善。

3）綜上所述，通過多項式曲線擬合，能夠達到普通水準的精度要求。此次試驗的聯測點為四等水準，若采用更高等級的數據進行聯測，對擬合精度的提高將會更加明顯。

(2）方案二

選用三次樣條曲線擬合法對公共聯測點進行擬合，擬合精度詳見表2，所選公共點的高程異常殘差如圖5所示，檢查點的高程異常殘差如圖6所示。

表2 三次樣條曲線擬合精度mm

圖5 三次樣條曲線擬合聯測點高程異常殘差

圖6 三次樣條曲線擬合檢核點高程異常殘差

通過對方案二分析，可得出以下結論：

1）由圖5可知，三次樣條曲線擬合法聯測點擬合殘差為零，擬合精度很好；由圖6可知，三次樣條曲線擬合法在檢核點的擬合中殘差較小而且殘差值波動的范圍也較小，除幾個點的殘差值外，其余點的殘差值都在0.03～-0.03 m之間波動。而表2中的擬合精度則進一步說明了三次樣條曲線擬合法擬合精度的可靠性。

2）從三次樣條曲線擬合殘差的統計結果來看，其擬合結果均滿足等外水準的要求；在四等水準限差中，只有幾個點超限，僅占13.3%。

3）綜上所述，三次樣條曲線擬合法的擬合結果精度很高，并且擬合殘差值所變動的范圍也比較統一，從而使其對線路可以有效地控制、保證精度。

五、結束語

隨著科技的進步，GPS逐漸進入了我們的日常工作。GPS以其方便快捷的測量方法很快受到測量界的青睞。雖然GPS水準的方法已普遍應用于各類測量工程中，但如何獲得更高精度可靠的擬合高程值，仍需要作進一步研究。本文通過引入穩健估計的方法，克服最小二乘不具備抗粗差的特性，從很大程度上避免了粗差給測量結果帶來的不良影響，提高了成果的可靠性和精確性。高程擬合方法種類很多，并且各有特點，對于不同情況的測區，如何選擇最優的擬合方法是確保測量精確度的關鍵。本文通過試驗對比得出，三次樣條曲線擬合法的擬合結果精度較高，且擬合殘差值變動的范圍也比較統一，從而有效地控制、保證精度，也為類似工程提供一定的參考。

[1]張正祿.工程測量學[M].武漢：武漢大學出版社，2013.

[2]徐紹銓，張華海.GPS測量原理及應用[M].武漢：武漢大學出版社，2008.

[3]孔祥元，郭際明.控制測量學[M].武漢：武漢大學出版社，2006.

[4]王新洲，陶本藻，邱衛寧，等.高等測量平差[M].北京：測繪出版社，2006.

[5]劉大杰，陶本藻.實用測量數據處理方法[M].北京：測繪出版社，2000.

[6]謝劭峰，王新橋.Matlab在GPS高程轉換中的應用[J].測繪與空間地理信息，2005(6）：75-76，87.

[7]胡曉冬，董辰輝.MATLAB從入門到精通[M].北京：人民郵電出版社，2010.

Application of GPS Leveling Based on the Robust Estimation in the Linear Engineering

YANG Kun，JIAN Hanjia

為克服最小二乘不具備抗粗差干擾能力的缺點，首先將穩健估計引入到GPS水準的粗差剔除中，從而有效避免擬合結果失實的現象，提高結果的可靠性；然后結合工程項目實際數據，利用Matlab工具實現多項式曲線擬合和三次樣條曲線擬合，并對其結果進行比較、分析，得出適合本工程的最優擬合方法，可為同類項目提供參考。

GPS；穩健估計；高程擬合；Matlab

P224

B

0494-0911(2014）10-0057-03

楊坤，簡漢佳.基于穩健估計的GPS水準在線狀工程中的應用[J].測繪通報，2014(10）：57-59.

10.13474/j.cnki.11-2246.2014. 0328

2014-05-27

楊 坤(1988―），男，安徽定遠人，助理工程師，主要從事城市測繪工作。