地圖編制中的字形曲線變換

甘 斌，孟妮娜，唐曉燕

(1.西安市勘察測繪院，陜西西安 710054；2.長安大學地質工程與測繪學院，陜西西安 710054）

地圖編制中的字形曲線變換

甘 斌1，孟妮娜2，唐曉燕2

(1.西安市勘察測繪院，陜西西安 710054；2.長安大學地質工程與測繪學院，陜西西安 710054）

一、引 言

Bezier曲線是位于其控制多邊形凸包之內的曲線，是計算機圖形造型的基本工具，采用少量控制點就可以確定形態，是一種常用的曲線擬合工具[1]。Bezier曲線的始點、末點與其特征多邊形端點重合，且始點、末點的切線方向與特征多邊形的第一和最后一條邊一致。Bezier曲線具有幾何不變性、對稱性、凸包性。

地圖中的文字作為地圖語言的組成部分，在彌補地圖符號不足和傳輸地圖信息等方面起著重要的作用。地圖是現實的一種抽象，是與現實相關的空間分布的表達。對于表達地圖的圖形要有較高的精度，尤其對文字的圖形要求很高[2]。文字圖形是由字庫來描述的[3]，字庫有點陣字庫、向量字庫和曲線字庫，分別用點陣法、向量法、曲線輪廓法來描述。曲線輪廓法是當前主流的一種字形描述方法，用直線和二次Bezier曲線的集合來描述一個字符的字形輪廓[4]。Truetype就是一種用曲線輪廓法表達的字型，是操作系統的中文版標準漢字字庫，根據書法風格的不同可分為不同的Truetype字庫[5]。地圖出版時的文字大小要求很嚴格，如何從字庫中得到文字圖形并對其進行各種變換處理以得到滿足地圖編制要求的字形是地圖處理中不可缺少的一項工作[6]。

在地圖編制中，地圖文字與文字字庫圖形間有一定差別，通過對文字曲線進行各種變換、顯示、交換等數據處理(如在地圖輸出中對取出的字形輪廓進行加粗、變細處理，聳肩、傾斜等錯切變換，高寬比等比例變換，旋轉變換，平移變換等），可使得字庫圖形達到地圖文字的要求[7]。三次Bezier曲線在運算、顯示及輸出方面作為標準的圖元形態，在圖形系統中得到廣泛支持，而二次Bezier曲線不具有這種特征[8]。將二次Bezier曲線用三次Bezier曲線表達，更加便于對圖形數據進行分析處理。本文就此對用三次Bezier曲線擬合二次Bezier曲線的擬合方法的相關問題展開研究，用于表達文字的輪廓，使其能高效準確地適應地圖出版中對文字的處理要求。

二、二次Bezier曲線及三次Bezier曲線

Bezier曲線是一種用控制多邊形定義曲線和曲面的方法[8]，其形狀完全由有限的少數幾個控制點決定，通過調整控制點的位置可以方便地改變曲線的形狀。其公式為

式中，Pi為構成該曲線的特征多邊形；Bi，n(t）為Bernstein基函數，是曲線上各點位置矢量的調和函數[9]。根據上述通式，可分別列出二次、三次Bezier曲線的表達式。

1.二次Bezier曲線

對于二次Bezier曲線，其參數方程如下

圖1 二次貝塞爾曲線

2.三次Bezier曲線

對于三次Bezier曲線，其參數方程如下

圖2 三次貝塞爾曲線

曲線起始于P0，走向P1，并從P3的方向來到P4，一般不會經過P3或P4，這兩個點只是在那里提供方向資訊。三次Bezier曲線非常適合用來繪制光滑連續曲線，因為它只需要非常稀疏的數據集就能完整地繪制那些需要精確控制的曲線。

三、三次Bezier曲線擬合二次Bezier曲線基本方法

TrueType字體邊界由若干小段的折線和二次曲線構成。用三次Bezier曲線擬合的基本條件是擬合后三次Bezier曲線和需擬合的二次Bezier曲線的始點、末點重合；三次Bezier曲線的起始點、結束點處的斜率與需擬合的二次Bezier曲線對應的起始點、結束點處的斜率相等。假定t＝0.5時二次Bezier曲線和三次Bezier曲線中間位置點相等，在此情況下推證其表達式，下面是推證的過程。

1.擬合的條件及公式推導

設起點P0(x0，y0）、終點P1(x1，y1），三次Bezier曲線的中間位置點分別為P3(x3，y3）、P4(x4，y4），二次Bezier曲線位置點為P2(x2，y2），Tb為二次Bezier曲線起點P0(x0，y0）處的切線斜率，Te為二次Bezier曲線終點P1(x1，y1）處的切線斜率，Tbx、Tby、Tex、Tey分別為二次Bezier曲線端點處x方向和y方向處的斜率，(ˉx，ˉy）為二次Bezier曲線對應t＝0.5時的函數值。

當t＝0時，由二次Bezier公式可列出Tbx＝2(x2-x0），Tby＝2(y2-y0）；當t＝1時，Tex＝2(x1-x2），Tey＝2(y1-y2）。將t＝0.5代入二次Bezier曲線公式解得

根據Bezier三次曲線公式列出當t＝0時

確定了起點和終點的切線方向及其間一曲線位置后，聯立上述4式，可得如下方程

2.可解性分析

根據上述方法可推出擬合公式，但是在實際應用中，Tbx、Tby、Tex、Tey是根據起、終點坐標計算得出的，若取某些特定值，該矩陣方程可能會有無解的情況，此時用這一公式會出現錯誤，以下是關于方程可解性的推導

分析約化結果可知，當Tby＝0，即y2-y0＝0，控制點與起點縱坐標相同時，或是當Tex×Tby＝Tey×Tbx，即曲線起點和終點切線斜率相等時，系數矩陣的秩不等于增廣矩陣的秩，該非線性方程組無解。從幾何意義上說，當控制點和起、始點三點共線時，該方程無解，可不用該擬合公式，直接寫出三次Bezier曲線表示折線。

四、試驗方案及效果

從字庫中取出不同字體的字的輪廓，對曲線邊進行3次擬合，把與二次Bezier曲線在t等于0.25、0.75處的描述同一字體字的輪廓的同一曲線段的距離差與整個文字高度的比值作為評價的標準進行計算，計算結果見表1。

表1

由表1可知，對于不同字體，最大差為3.59× 10-15，最小差為1.27×10-15，差別很微小，可以忽略不計，不影響字的形狀。結果表明，此方法較好地實現了文字曲線圖形的數據處理，能滿足文字曲線字形的正確顯示和輸出，方案有效、可行。

五、結束語

本文提出了一種用三次Bezier曲線擬合二次Bezier曲線的方法，推證了其計算公式，探討了采用這種擬合方法的可解性。通過采用不同字體進行試驗對比分析，說明該方法有效、可行。論文成果對字庫文字到地圖文字的變換提供了有效的途徑。

[1]謝偉松，錢坤晶.Bezier曲線在生產設計中的應用[J].航空精密制造技術，2006，42(1）：51-53.

[2]陳四清.數字地圖出版技術分析[J].測繪學院學報，2005，22(1）：46-50.

[3]SARFRAZ M，KHAN M A.Automatic Outline Capture of Arabic Fonts[J].Information Sciences，2002(1）：269-281.

[4]陳登梅，李學慶，李德生.一種新的曲線字庫自動生產方法[J].系統仿真學報，2006，18(10）：2995-2997，3002.

[5]唐英敏，張艷霞，呂肖慶.基于漢字構形的TrueType字庫壓縮方法[J].微電子學與計算機，2007，24(6）：52-55.

[6]吳明光，劉真.地圖制圖出版系統的體系結構[J].測繪通報，2004(7）：42-44，50.

[7]ITOH K，OHNO Y.A Curve Fitting Algorithm for Character Fonts[J].Electronic Publishing，1993(6）：195-198.

Transformation of the Glyph Curve in Cartography

GAN Bin，MENG Nina，TANG Xiaoyan

在信息完整的情況下，用在圖形系統中作為標準圖元形態的三次Bezier曲線來表達空間數據對數據加工、處理及傳輸具有重要意義。在地圖文字的字庫中，普遍的做法是用直線和二次Bezier曲線的集合來描述字符的字形輪廓，但二次Bezier曲線是非標準的曲線，在處理過程中帶來很多不便。針對這一問題，本文研究用三次Bezier曲線擬合二次Bezier曲線的工作，提出用三次Bezier曲線擬合二次Bezier曲線的方法，并推證其計算公式。通過對從字庫中取出不同字體的字的輪廓曲線段進行試驗，證明該方法實現了文字曲線圖形的數據處理，對字庫文字到地圖文字的變換提供了有效的途徑。

文字輪廓；Bezier曲線；擬合

P283

B

0494-0911(2014）10-0114-03

2014-04-08

地理信息工程國家重點實驗室開放基金(SKLGIE2013-M-4-3）

甘 斌(1966―），男，陜西楊陵人，高級工程師，從事城市規劃信息化研究。

甘斌，孟妮娜，唐曉燕.地圖編制中的字形曲線變換[J].測繪通報，2014(10）：114-116.

10.13474/j.cnki.11-2246.2014.0345