自適應的分數階達爾文粒子群優化算法

郭通，蘭巨龍，李玉峰，陳世文

(國家數字交換系統工程技術研究中心，河南 鄭州 450002)

1 引言

粒子群優化（PSO, particle swarm optimization）算法是一種基于群體智能的隨機全局優化計算方法[1]。該算法以其建模簡單、收斂速度快且易于實現等優點，在組合優化[2]、多目標辨識[3]、任務分配[4]、聚類分析[5]、神經網絡訓練[6]等領域得到了廣泛的應用。類似于其他全局優化算法，PSO算法在實際應用中也表現出了一些有待改進的問題，即算法在搜索初期往往收斂較快，但在后期粒子群會趨向同一化(失去了多樣性)，使得收斂速度明顯變慢，搜索精度降低，算法容易陷入局部最優，因此很多學者致力于提高PSO算法的性能。

Naka等[7]將遺傳算法中的選擇操作引入到PSO中，提出了混合粒子群優化(HPSO, hybrid particle swarm optimization)算法，對每次迭代產生的新的粒子群依照一定選擇率復制較優個體，在提高收斂速度的同時保證了一定的全局搜索能力。Krohling[8]將高斯函數引入PSO算法中，用于引導粒子的運動，進而提出了高斯粒子群優化（GPSO, Gaussian particle swarm optimization）算法，GPSO不再需要慣性權重，且加速系數由服從高斯分布的隨機數產生，以克服傳統PSO搜索能力和收斂性能嚴重依賴加速系數和慣性權重設置的不足。Jason等[9]提出了一種利用自然選擇進化思想的達爾文粒子群優化（DPSO, Darwinian particle swarm optimization）算法，動態地將種群分為若干個子群，每個子群相對獨立地展開搜索，以提高粒子的多樣性，增強算法的全局尋優能力。Xu等[10]提出了一種新的混沌粒子群優化（NCPSO, new chaos-particle swarm optimization）算法，將混沌融入到粒子運動過程中，使粒子群在混沌與穩定之間交替向最優點靠近，能夠跳出局部最優，提高了算法的收斂速度和精度。

作為應用自然科學中的一種有用的數學工具，分數階微積分（FOC, fractional order calculus）理論在水文建模、統計力學、圖像分割、模式識別、信號處理等實際工程領域的應用越來越廣泛[11～14]。最近，Pires等[15]將分數階微積分引入到PSO中，提出了分數階粒子群優化（FO-PSO）算法，通過對粒子群的原始速度進行重新排列來修正速度導數的階數，以便于控制算法的收斂率。在此基礎上，Micael等[16]給出了一種分數階達爾文粒子群優化（FO-DPSO）算法，用于控制DPSO算法的收斂速度，實驗結果表明，FO-DPSO算法在計算精度和收斂速度上均要優于傳統的PSO、DPSO以及FO-PSO算法。但同FO-PSO算法一樣，FO-DPSO算法的收斂性能也直接依賴于分數階次α，當α值增加時，粒子群的收斂速度就變慢，而當α值減小時，種群陷入局部最優的概率就變高。

針對此不足，本文受文獻[17]提出的自適應粒子群優化（APSO, adaptive particle swarm optimization）算法的啟發，并在此基礎上改進，結合FO-DPSO算法，提出了一種自適應的分數階達爾文粒子群優化（AFO-DPSO）算法。對幾種典型函數的測試結果表明，相比于現有的粒子群優化算法，本文的AFO-DPSO算法能夠避免陷入局部最優，收斂速度、穩定性和精度都有了顯著提高，進一步提高了全局尋優能力。

2 PSO和DPSO算法概述

2.1 PSO算法基本原理

設在一個D維的目標搜索空間中，有N個粒子組成一個群落，其中，第i個粒子的位置表示為向量Xi=(xi1,xi2,…,xiD)，速度為向量Vi=(vi1,vi2,…,viD)，第i個粒子“飛行”歷史中的過去最優位置為Pi=(pi1,pi2,…,piD)，整個粒子群搜索到的最優位置Pg=(pg1,pg2,…,pgD)。將Xi代入目標函數計算其適應值，每個粒子的速度和位置更新策略分別為

其中，i=1,2,…,N；d=1, 2,…,D；在式(1)中，w是慣性加權；c1、c2是加速系數；r1d、r2d為[0,1]之間的隨機數；pid為粒子本身所找到的最優解，即個體極值；pgd是整個粒子群目前找到的最優解，稱之為全局極值。應用式(1)和式(2)對種群中每個粒子群循環更新，可使整個種群逐步逼近全局最優解。

2.2 DPSO算法基本思想

DPSO是一種進化算法，其基本思想[9]如下所示。

1) 一個粒子群存在的時間越長，它產生后代（構造一個新的粒子群）的機會也就越大，當其產生后代時，后代還會繼承一些適應度較好的粒子。

2) 一個粒子群可以通過找到更好的適應值來延長其壽命，同時還可以增加新的粒子來加快搜索速度。

3) 粒子群如果沒能找到更好的適應值，它的壽命將會縮短，同時也可能刪除群中那些性能較差的粒子，當粒子的數量減少到一定閾值時，該粒子群被銷毀。

在DPSO算法中，為了追蹤粒子群適應值沒有改變的次數，設置一個搜索計數器為SC，如果搜索計數器超過最大門限，將該粒子從群中刪除，而創建一個粒子群時，SC置為0。在刪除粒子后，SC值并不置為0，而是按照式(3)重置為一個接近的值。

其中，Nkill為在適應值沒有任何改善的一段時期內從粒子群中所刪除的粒子數目。在產生一個新的粒子群之前，粒子群中必須沒有任何粒子被刪除，并且粒子群數量不能超過其最大數目。盡管如此，創建新的粒子群概率也僅僅為

其中，f為[0,1]范圍內的隨機數，Ns為粒子群數目。

3 自適應分數階達爾文粒子群優化算法

由文獻[16]可知，在絕大多數情形下，當分數階次 α在[0.5,0.8]范圍內時，算法能夠獲得更快的收斂速度，并給出了如下的表達式來調整α。

其中，t為當前迭代次數，算法最大迭代次數為200。

然而，式(5)中的α卻會隨著迭代次數的增加而線性減小，這無疑增大了種群陷入局部最優的概率。為了能有效避免算法的早熟收斂問題，同時能加快算法的收斂速度，本文提出一種根據粒子的狀態信息來動態調整分數階次α的自適應控制策略，并在算法中引入變異操作的處理方式，在此基礎上給出了自適應的分數階達爾文粒子群優化（AFO-DPSO）算法。

3.1 分數階次α的自適應控制

對于每個粒子i，它與其他粒子的平均距離與平均速率差異分別采用式(6)和式(7)來估計。

其中，N和D分別為粒子群個數和空間維數，dix代表平均距離，div表示平均速率差異。

眾所周知，PSO區別于其他進化算法的重要標志就是粒子的進化狀態由位置和速度來共同描述，綜合式(6)和式(7)，定義一種混合了粒子平均距離與平均速率差異信息的平均進化狀態差異dis如下所示。

其中，iiXVρ為位置Xi和速度Vi的皮爾遜相關系數（PCC, Pearson correlation coefficient）。

比較所有的dis，確定粒子進化狀態的最大差異值dsmax和最小差異值dsmin。設dsg為全局最優粒子與其他粒子的進化狀態差異的平均值，定義進化因子fs為

將fs值通過模糊集映射函數將粒子進化狀態分類為探測、開拓、收斂和躍出4種[17]。

基于進化因子fs，給出分數階次α的調整等式為

α的變化不再與迭代次數相關，而是根據粒子進化狀態信息的改變而進行動態調整。

3.2 加速系數自適應控制與粒子狀態更新

將式(1)中慣性加權w設置為1，依據分數階微分的Grünwald-Letnikov定義，粒子速度按式(12)進行更新。

其中，α(fs)即分數階次。粒子位置按照式(2)進行更新，并根據表1中的規則來調整不同狀態時的加速系數，且c1和c2滿足

表1中的“微”調采用式(14)來定量定義。

其中，δ為[0.05,0.1]范圍內均勻產生的隨機數。

表1 速系數c1和c2的調整策略

3.3 基于進化狀態的自適應變異處理機制

當粒子群陷入局部最優時，算法將出現早熟收斂。為了克服早熟收斂問題，ALFI[18]在對動態系統的參數進行估計時提出了一種采用自適應變異機制的PSO算法；Chen等[19]在PID控制參數的優化設計中給出了一種變異概率隨算法迭代次數逐步減少的新PSO算法。當算法發生早熟收斂時，變異操作可以改變粒子的前進方向，從而讓粒子進入其他區域進行搜索，直到最后找到全局最優解，使得算法能夠跳出局部最優。

借鑒文獻[18]和文獻[19]的思想，本文設計了一種隨粒子進化狀態動態變化的變異算子，根據變異概率pm對滿足變異條件的全局最優位置Pg實施變異。

定義1 pm由進化因子fs和迭代次數t共同表示，其選取遵照以下基本原理：

1) 進化狀態為探測與開拓階段時，t占主導地位；

2) 進化狀態為收斂和躍出階段時，fs占主導地位；

3) pm(t,fs)為一致凸函數。

為給出直觀的解釋，按照定義1選擇了一個特殊的pm(t,fs)函數，其計算公式為

對于全局最優位置Pg的變異操作，本文算法將采用增加高斯隨機擾動的方法，設gkp為Pg的第k維取值，η是服從Gauss(0,1)分布的隨機變量，則

由于0≤fx≤1，0≤tanh(·)≤1，由此可以推斷出1≤1+ηtanh(fx)≤2，Pg變異后的第k維取值隨進化因子在范圍內變化。

3.4 算法的收斂性分析

由式(2)可知

因此，

將式(19)代入式(17)，可得

式(20)可以寫成如下矩陣向量乘積形式。

矩陣的特征多項式為

該特征多項式的一個解為 λ=1.0，令其他4個解分別為β、γ、δ和ε，則給出式(17)的當前關系式為

其中，k1、k2、k3、k4和k5均為常數。

考慮x(t)的收斂性，即

明顯地，只要 β、γ、δ和 ε滿足max(||β||, ||γ||, ||δ||,||ε||)＜1，則

只需證明在任意max(||β||, ||γ||, ||δ||, ||ε||)＞1條件下，特征多項式(21)均不成立即可。假設||β||＞1，代入式(21)可得

由于r1d, r2d在[0,1]范圍內，3≤c1+c2≤4，α(fs)在[0.5,0.8]區間內，為單調遞減函數，故其最大值為令

則

這就與||β||＞1為z=0的解相矛盾，故假設不成立，β、γ、δ 和 ε始終滿足max(||β||, ||γ||, ||δ||, ||ε||)＜1。

因此，本文提出的AFO-DPSO算法在給定的參數范圍內是全局收斂的。

3.5 AFO-DPSO算法描述

AFO-DPSO算法的實現步驟可概括如下。

step1 初始化粒子群，確定粒子數N及空間維數D，設定最大迭代代數tmax、加速系數c1和c2，指定位置和速度的上限及下限，隨機生成粒子速度Vi和位置Xi。

step2 對每個粒子進行適應度評估，將粒子的個體極值pid設置為當前位置，全局極值pgd設置為初始群體中最佳粒子的位置。

step3 判斷算法收斂準則是否滿足，如果滿足，轉向step8；否則，執行step4。

step4 開始迭代，進化代數增加1。

step5 對粒子群中所有粒子執行如下操作：

① 根據式(6)～式(9)得到粒子的平均進化狀態差異，根據式(10)獲得進化因子，在此基礎上，應用式(11)更新分數階次；

② 根據表1中規則和式(13)、式(14)調整加速系數，在上述參數更新的基礎上，應用式(12)與式(2)實現粒子位置與速度的更新；

③ 對更新狀態后粒子的適應度值進行評估，如果粒子適應度優于當前的個體極值，則將pid設置為該粒子的位置，且更新個體極值；如果所有粒子的個體極值中最好的優于當前全局極值，則將pgd設置為該粒子的位置，且更新全局極值。

step6 對粒子群的適應度值進行追蹤，判斷是否需要刪除粒子或創建新的粒子群，若刪除粒子，則根據式(3)重置搜索計數器值，若構造新的粒子群，則根據式(4)得到產生粒子群的概率；否則，轉向step7。

step7 根據式(15)計算變異概率pm。每個粒子設定一個(0,1)間隨機數rndi，若rndi＜pm，按式(16)執行變異操作；否則，轉向step8。

step8 判斷是否滿足算法的收斂條件或達到代數最大限制，如果滿足，執行step9；否則，轉向step4。

step9 輸出最終的全局極值pgd與最佳適應度函數值，算法運行結束。

上述算法既繼承了FO-DPSO算法的優點，同時又能根據粒子的狀態信息來自適應地調整分數階次 α，從而加快了算法的收斂速度，并降低了種群陷入局部最優的概率。而自適應的變異處理方式在提高粒子多樣性的同時也增強了算法的全局尋優能力。

4 實驗結果與分析

4.1 測試函數與算法配置

為了考察AFO-DPSO算法的性能，選取6個典型函數進行測試，它們是在群智能優化算法中廣泛采用的測試函數（求最小值），即Sphere、Rosenbrock、DeJong F4、Rastrigin、Griewank和Ackley函數，它們的表達式如式(27)～式(32)所示[20]。

Sphere函數

其中，xi∈[-50,50]，i={1,2,…,D}且f*(x)=0.0。

Rosenbrock函數

其中，xi∈[-100,100]，i={1,2,…,D}且f*(x)=0.0。

DeJong F4函數

其中，xi∈[-20,20]，i={1,2,…,D}且f*(x)=0.0。

Rastrigin函數

其中，xi∈[-5.12,5.12]，i={1,2,…,D }且f*(x)=0.0。

Griewank函數

其中，xi∈[-600,600]，i={1,2,…,D}且f*(x)= 0.0。

Ackley函數

其中，xi∈[－32,32]，i={1,2,…,D}且f*(x)=0.0。

這些函數有D=30個參數，且它們的全局極值為f*。在這些函數中，f1，f2，f3為單峰函數，而f4，f5，f6為多峰函數，算法采用實數編碼方案。

本文中所用的仿真軟件為MATLABR2008b，仿真環境：CPU為Intel Pentium 4 3.20 GHz，內存為2 GB，操作系統為Microsoft Windows XP Professional SP2。選取PSO、HPSO、DPSO、APSO、FO-PSO、FO-DPSO、NCPSO算法與本文提出的AFO-DPSO算法進行比較，并將式(27)～式(32)作為適應度函數。

各PSO算法的初始參數設置如表2所示。為了確保測試的公平性，所有PSO均采用：粒子數N=30，空間維數D為30，最大迭代次數tmax=1 000。

4.2 搜索精度比較

為了減少統計誤差，采用各PSO算法對每個函數進行30次測試，取其平均值的結果如表3所示，其中，APSO算法結果來自文獻[17]，而NCPSO算法結果來自文獻[10]。

對比表3中的結果可以看出，無論是在單峰函數f1、f2、f3上，還是在多峰函數f4、f5、f6上，本文提出的自適應分數階達爾文粒子群優化算法的測試結果均要明顯好于現有的PSO、HPSO、DPSO、APSO、FO-PSO、FO-DPSO與NCPSO算法的測試結果，且本文算法在f5上獲得了全局最優值。

4.3 算法穩定性能比較

進一步地，本文引入文獻[21]中定義的最優解方差函數來評價算法的穩定性能。設fi為算法第i次運行所得的最優解適應度，favg為算法運行30次的最優解的平均值，fmax為歸一化因子，算法最優解方差δ定義為

當∣fi-favg∣＞1時，fmax取值為max(|fi-favg|)，否則取1。表4列出了各PSO算法對6個測試函數進行優化所得到的最優值方差結果。從中可以看出，本文提出的AFO-DPSO算法的最優值方差比其他7種方法均要小。這說明AFO-DPSO算法搜索到的最優解最穩定。

表2 各PSO算法的參數設置

表3 不同粒子群優化算法對6個測試函數的搜索結果比較

表4 測試函數的最優值方差比較

4.4 收斂速度比較

圖1為現有DPSO、FO-PSO、FO-DPSO算法與本文提出的改進的分數階粒子群優化算法對6個典型測試函數進行優化的過程中種群收斂性能的對比。為了便于比較，圖1中的縱坐標都采用適應度的對數值表示。

由圖1中4種不同粒子群算法在6個測試函數上的收斂性能比較可以看出，相比于DPSO、FOPSO和FO-DPSO算法，本文提出的AFO-DPSO算法具有更快的全局收斂速度，粒子群在經過若干次迭代運算后仍具備從局部最優中跳離出來的能力，即使是在多模空間，由于采用了自適應參數調整策略，也能夠快速地搜尋到潛在的最優極值，從而極大地提高了對最優值的全局搜索能力，并有效避免了現有粒子群優化算法中存在的早熟收斂問題。

綜上所述，與現有的7種PSO算法相比，AFO-DPSO算法展示出更令人滿意的整體優化性能，其收斂速度、穩定性和搜索精度都得到了顯著提高。

4.5 算法的計算復雜度分析

按照“天下沒有免費的午餐（NFL, no free lunch）”理論[22]，一種算法不可能在每一個方面或在每一個問題上都能夠提供比其他所有算法更好的性能。在本文的實驗結果中也觀察到了這點?？疾?種算法在1 000次的迭代次數內對上文6個函數的平均計算復雜度，對各函數分別進行30次實驗，每種算法所需的平均計算時間如圖2所示。

圖1 4種粒子群算法在不同測試函數上的收斂性能比較

從圖2中可以看出，AFO-DPSO算法的算法復雜度要明顯高于其他算法，FO-DPSO算法與DPSO算法次之，其主要原因為：DPSO算法需要根據粒子群的適應度值刪除粒子或創建新的粒子群，導致算法運算時間過長，FO-DPSO算法對粒子速度的分數階運算進一步增加了時間復雜度，本文的AFO-DPSO算法由于利用了粒子的位置和速度信息來動態調整分數階次，使得粒子每次更新都要增加O(2(N-1)D+N)的計算復雜度。這表明，AFO-DPSO算法具有的較高搜索精度、較快收斂速度和較好穩定性是以犧牲一定計算復雜度為代價獲得的，并進一步驗證了文獻[22]中NFL理論的正確性。

圖2 8種不同算法的計算復雜度比較

4.6 算法參數的自適應性分析

為了觀察進化因子fs與分數階次 α的變化情況，在單峰函數f1上運行AFO-DPSO算法，并繪制出隨迭代次數變化的fs值和α值，分別如圖3與圖4所示。從圖3中可以看出，在1 000次的迭代次數中，進化因子fs值在早期階段（大約10代內）很大，然后迅速減少（直至100代），緊接著可以發現AFO-DPSO處于躍出狀態，并導致fs突變至一個較大值，在此之后，fs值迅速下降直至一個收斂狀態（在135代時）；大約經過150代后，粒子群從該局部最優中躍離出來，期間（在300～700代內）經歷多個“搜尋－收斂－跳離”階段后，達到全局（1 000代內）最優收斂狀態。在整個進化過程中，fs值始終在[0,1]范圍內變化，且較為明晰地展示出了粒子群的進化狀態信息。

圖3 測試函數f1上進化因子fs所顯示的進化狀態信息

由圖4中可以看到，分數階次α值隨著進化因子fs的改變而在[0.5,0.8]區間內動態變化，這表明分數階次α能夠依據粒子群的進化狀態進行自適應調整。為了驗證算法的通用性，在函數f2～f6上重復這一實驗，進化因子與分數階次變化情況展現出與在函數f1上類似的模式，在此不再贅述。

圖4 測試函數f1上的時變分數階次α

為了追蹤變異概率pm的變化，類似地，圖5給出了對f1函數進行測試時，在1 000次的迭代次數內pm的變化曲線。可以看出，在起始階段由于粒子群在探測最優值，混合進化因子f值還較大，在一定代數內，AFO-DPSO算法會維持一個大的變異概率pm；隨著f的急劇減小，pm值降至接近于0；當f發生躍變時，pm也隨之產生一定的波動；至粒子群搜索達到收斂狀態后，pm基本保持在0值附近。

圖5 f1上變異概率pm的變化曲線

為了追蹤加速系數的變化，圖6給出了在f1上1 000次的迭代次數內c1和c2的變化曲線。

筆者發現：在起始階段，由于粒子群在探測最優值，在一定代數內，c1在增加的同時c2在減少；然后在開拓收斂狀態時，c1和c2倒轉了它們的變化方向；躍出狀態也能夠被檢測出來，其中，c2的值在增加而c1的值卻在減少。

圖6 測試函數f1上加速系數的自適應變化曲線

綜上，進化因子、分數階次、加速系數和變異概率的搜索行為表明經過改進后的FO-DPSO算法能夠識別出粒子的進化狀態，并能根據粒子的狀態信息來自適應地調整控制參數。同時，這也說明本文提出的AFO-DPSO算法是有效且可行的。

5 結束語

為了能有效解決分數階達爾文粒子群優化算法的收斂性能嚴重依賴于分數階次α取值這一問題，同時進一步加快算法的收斂速度，本文提出一種根據粒子的狀態信息來動態調整分數階次α的自適應控制策略，并引入自適應的加速系數控制準則和變異處理機制，在此基礎上給出了AFO-DPSO算法。對幾種典型函數的測試結果表明，相比于現有的PSO、HPSO、DPSO、APSO、FO-PSO、FO-DPSO與NCPSO算法，本文的AFO-DPSO算法的搜索精度、收斂速度和穩定性都有了顯著提高，全局尋優能力得到了極大提升。此外，對進化因子、分數階次、加速系數和變異概率的搜索行為分析進一步驗證了本文提出算法的有效性和可行性。下一步研究方向是如何確保收斂性能不變的同時降低AFO-DPSO算法的計算復雜度。

[1] KENNEDY J, EBERHART R. Particle swarm optimization[A]. Proc IEEE International Conf on Neural Networks[C]. 1995.1942-1948.

[2] CHEN, W N, ZHANG. A novel set-based particle swarm optimization method for discrete optimization problem[J]. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 2010, 14 (2): 278-300.

[3] ZHANG T, HU T S, ZHENG Y, GUO X N. An improved particle swarm optimization for solving bi-level mulitiobjective programming problem[J]. Journal of Applied Mathematics, 2012, 2(4): 1-13.

[4] HO S Y, LIN H S, LIAUH W H, etal. OPSO: Orthogonal particle swarm optimization and its application to task assignment problems[J].IEEE Transactions on Systems, Man, Cybernetics A: Systems, Humans, 2008, 38(2):288-298.

[5] NIE F, TU T, PAN M, etal. K-Harmonic Means Data clustering with PSO Algorithm[M]. Springer Berlin Heidelberg, 2012.67-73.

[6] VARSHNEY S, SRIVASTAVA L, PANDIT M. Parameter tuning of statcom using particle swarm optimization based neural network[J].Intelligent and Soft Computing, 2012, 130(3): 813-824.

[7] NAKA S, GENJI T, YURA T, etal. A hybrid particle swarm optimization for distribution state estimation[J]. IEEE Trans on Power Syst,2003,18(1):60-68.

[8] KROHLING R. Gaussian particle swarm with jumps[A]. Proc IEEE Congr Evol Comput[C]. 2005.1226-1231.

[9] TILLETT J, RAO T, SAHIN F, etal. Darwinian particle swarm optimization[A]. Indian International Conference on Artificial Intelligence[C]. 2005.1474-1487.

[10] 胥小波, 鄭康鋒, 李丹等. 新的混沌粒子群優化算法[J]. 通信學報,2012, 33(1): 24-31.XU X B, ZHENG K F, LI D, etal. New chaos-particle swarm optimization algorithm[J]. Journal on Communications, 2012, 33(1): 24-31.

[11] GUTIéRREZ R E, ROSáRIO J M, MACHADO J T. Fractional order calculus: basic concepts and engineering applications[J]. Mathematical Problems in Engineering, 2010, 2010:1-19.

[12] MACHADO J A T, JESUS I S, BARBOSA R, etal. Application of fractional calculus in engineering[J]. Dynamics, Games and Science I,Springer Proceedings in Mathematics, 2011, 1: 619-629.

[13] BENSON D A, MEERSCHAERT M M, REVIELLE J. Fractional calculus in hydrologic modeling: a numerical perspective[J]. Water Resources, 2013,51:479-497.

[14] GHAMISI P, COUCEIRO M S, BENEDIKTSSON J A, etal. An efficient method for segmentation of images based on fractional calculus and natural selection[J]. Expert Systems with Applications, 2012,39(16): 12407-12417.

[15] PIRES J A, MOURA P B, OLIVEIR A M, etal. Particle swarm optimization with fractional-order velocity[J]. Nonlinear Dynamics, 2010,61(1-2): 295-301.

[16] COUCEIRO M S, ROCHA R P, FONSECA FERREIRA N M, etal.Introducing the fractional-order Darwinian PSO[J]. Signal, Image and Video Processing, 2012,6(3):343-350.

[17] ZHAN Z, ZHANG J, LI Y, etal. Adaptive particle swarm optimization[J]. IEEE Transactions on Systems, Man, Cybernetics B: Cybernetics, 2009,39(6):1362-1381.

[18] ALIREZA A. PSO with adaptive mutation and inertia weight and its application in parameter estimation of dynamic systems[J]. Acta Automatic Sinica, 2011, 37(5):541-549.

[19] CHEN X, ZHANG Y. Optimum design of PID controller parameters by improved particle swarm optimization algorithm[J]. Computer Science and Information Engineering, Lecture Notes in Electrical Engineering, 2012, 2(2):79-84.

[20] BERGH F V, ENGELBRECHT A P. A study of particle swarm optimization particle trajectories[J]. Inf Sci, 2006, 176(8): 937-971.

[21] 周殊, 潘煒, 羅斌等. 一種基于粒子群優化方法的改進量子遺傳算法及應用[J]. 電子學報, 2006, 34(5):897-901.ZHOU S, PAN W, LUO B, etal. A novel quantum genetic algorithm based on particle swarm optimization method and its application[J].Acta Electronica Sinica, 2006, 34(5):897-901.

[22] WOLPERT D H, MACREADY W G. No free lunch theorems for optimization[J]. IEEE Trans Evol Comput, 1997, 1(1):67-82.