函數思想在解不等式中的應用

葉昌輝

〓〓對于解不等式討論最多的是求最值問題、含參數不等式恒成立等問題，實際上求解含參數不等式里包括不少的求最值問題，有不少的數學教學工作者結合實例總結了多種求解方法與技巧.對于含參數的不等式恒成立，確定參數取值范圍的這一類問題.這類問題涉及的知識面較廣，綜合性較強，同時數學語言比較抽象，利用等價轉化、函數思想的數學思想方法，把所求問題轉化為函數問題，再運用函數的性質求解，既能解決問題又能減少運算量.

〓〓因而，求含參數不等式的恒成立問題時，常根據不等式的結構特征，恰當地構造函數，等價轉化為一次函數問題、二次函數問題、求函數的最值問題.

〓〓一、利用一次函數性質解不等式

〓〓對于一些不等式，我們可以通過變形將其轉化為一次函數，然后再運用一次函數的性質求解.一次函數fx=kx+bk≠0的性質fx＞0在［a,b］上恒成立?圳fa＞0fb＞0.

〓〓例：對一切p∈［-2,2］，不等式log22x+plog2x+1＞2log2x+p恒成立，求實數x的取值范圍.

〓〓分析：若直接解關于x的不等式，再利用p∈［-2,2］求x的取值范圍，顯然相當復雜.但仔細觀察后，發現通過恒等變后，再利用一次函數性質，問題將得解.

〓〓解：令f(p)=(log2x-1)p+(log2x-1)2，由題意知f(p)＞0，在p∈［-2,2］上恒成立，則有f(-2)=-2log■x-1+log■x-12＞0,f(2)=2log■x-1+log■x-12＞0,?圯log■x＞3或log■x＜-1，?圯x＞8或0＜x＜■,所以，x的取值范圍為（0，■）∪(8,+∞).

〓〓本題容易因思維定勢常把原不等式視為關于log■x的二次不等式，用分類討論解答，過程相當繁雜.如果能注意觀察log■x與p的關系，結合常量與變量的轉化思想，把p變為主元，log■x變為參數，則原不等式可轉化為關于p的一元一次不等式問題，通過函數思想，構造函數f(p)，把問題轉化為常規問題，簡單易解.

〓〓二、利用二次函數性質解不等式

〓〓例：已知不等式(m2+4m-5)x2-4(m+1)x+3>0對一切實數恒成立，求實數m的取值范圍.

〓〓分析：以上不等式恒成立，首先考慮利用不等式恒為正的充要條件，并對二次項系數分類討論.

〓〓解：（1）當m2+4m-5=0時，解得m=1或m=-5. 顯然，m=1時，符合條件；m=-5不符合條件.

〓〓（2）當 m2+4m-5≠0時，由二次函數對一切實數恒為正數的充要條件，得

m2+4m-5>0,?駐=16m-12-12 m2+4m-5<0,解得1

〓〓在本題中往往會忽略二次系數為零的情況，直接當作一元二次不等式來求解，從而導致失解、漏解的情況出現，應引起重視.

〓〓三、利用函數最值解不等式

〓〓通過變形將其轉化為求函數最值問題，我們常用的策略和方法有：分離參數法、變更主元法、分類討論法、二次函數法、數形結合法、函數的單調性法等.

〓〓例：若對于x∈［2，2］，mx2-mx-6+m<0恒成立，求實數m的取值范圍.

〓〓解析：若f(x)=mx2-mx-6+m<0，即m(x2-x+1)<6在x∈［2，2］時恒成立.又x∈［2，2］時，x2-x+1∈［■，7］，即x2-x+1>0，所以原不等式等價于m<■恒成立，即m<(■)min .又■≤■≤8， 所以(■)min=■，所以m<■. 所以m的取值范圍為（-∞，■）.

〓〓在含參數的不等式恒成立的問題中，若能將所求參數與自變量分離出來,則可以借助于求函數的最值,解出參數的范圍.

責任編輯〓羅〓峰