穿浪雙體船縱向運動滑模控制
2014-08-08 19:28:36宋立忠阮苗鋒鞏舒超
計算技術與自動化 2014年2期
宋立忠+阮苗鋒+鞏舒超
收稿日期：2013-05-27
作者簡介：宋立忠（1969—），男，山東章丘人，副教授，博士，研究方向：控制理論與應用、滑模控制、智能控制等。
文章編號：1003-6199(2014)02-0023-04
摘 要：分析穿浪雙體船實際應用中存在的問題，給出穿浪雙體船縱向運動控制模型，并基于滑模控制理論設計減縱搖控制器。為了克服傳統滑模控制存在的高頻抖振問題，對控制律中的符號函數進行柔化處理，取得良好的減搖控制效果。仿真結果表明了本文方法的有效性。
關鍵詞：穿浪雙體船；縱向運動；減搖；滑模控制
中圖分類號：U674.941文獻標識碼：A
Sliding Mode Control of Longitudinal Motion for Wavepiercing Catamaran
SONG Lizhong, RUAN Miaofeng, GONG Shuchao
(College of Electrical Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan,Hubei 430033, China)
Abstract:Its advantages, as well as disadvantages emerged in actual use for wave-piercing catamaran, is analyzed．The mathematic model for longitudinal motion control is given and a roll stabilization controller is designed based on sliding mode control theory. To overcome the defect of hige frequency chattering of conventional sliding mode control method, a revised switching term that can make the control signal become “soft” is used. The sliding mode controller designed here has perfect roll stabilizatin effect. Simulation results prove its effectiveness.
Key words:wavepiercing catamaran；longitudinal motion；roll stabilization；sliding mode control
1 引 言
穿浪雙體船是一種綜合了高速雙體船與小水線面雙體船特點的新船型，特有的船型構造使它具有高速、優良的耐波性、穩性好、舒適、吃水淺、甲板寬敞和回轉性能好等高水平的綜合航海性能。另外，它還具有建造工藝簡單、使用成本低和技術風險小等特點。因此，穿浪雙體船特別適合作為高速渡船、軍用高性能攻擊艇和高性能隱身艇的基礎船型，發展前景廣闊，并已在許多領域得到應用［1］。但人們在使用過程中發現穿浪雙體船也有不盡人意之處，比如其耐波性在涌浪或長峰波中表現比較突出，而在短峰波中，尤其在波長船長比為l～1.5左右的短峰波中航行時，耐波性難以令人滿意；其耐波性的改善主要在高速時，而低速或漂浮時的耐波性，并不比單體船有明顯改善。此外，穿浪船對裝載狀態的變化比較敏感，雖優于小水線面雙體船，但劣于高速雙體船，載荷變化較大時，相應吃水變化較大，從而導致性能惡化。因此，如何進一步改善穿浪雙體船的耐波性，就顯得尤為重要。
要改善雙體船的耐波性，從而減輕船在波浪中的搖蕩運動，主要有兩種途徑［2］：一是改進船舶型線；二是設計附體對穿浪雙體船進行控制。目前，由于所設計的型線已足夠優化，通過改進船舶型線來改善耐波性的潛力已挖掘殆盡，難以有明顯效果。因此，可從設計附體方面考慮，通過加裝減搖鰭來減小船舶的搖蕩，改善耐波性。
本文即是從控制的角度探索魯棒性強、能有效減小縱搖和垂蕩運動，從而提高乘船舒適性的穿浪雙體船減搖鰭控制方法，基于滑模變結構控制理論設計了縱向運動控制器，仿真結果表明所設計控制器具有良好的減搖效果。
2 穿浪雙體船縱向運動控制模型
實際的穿浪雙體船運動為六自由度的相互耦合的復雜空間運動，其運動控制系統是一個典型的復雜非線性、不確定動力學系統，要得到其準確的數學模型是非常困難的。工程中，一般采用“小擾動法”對其線性化，其中的水動力系數可通過船模或實船試驗測得。當穿浪雙體船以定常速度在靜水中航行時，假定在靜水中流體介質是均勻的，如果研究的情況是垂直面內的小擾動，并且加入前后兩對穩定鰭，那么其縱向運動方程可由以下形式表示［3］：
(M+A33)3+B333+C33ζ3+A355+
B355+C35ζ5=F前鰭+F后鰭
A533+B533+C53ζ3+(I5+A55)5+
B555+C55ζ5=M前鰭+M后鰭（1）
式中，M與I5分別是船的質量及其通過船重心的橫軸y的慣性矩，Ai,k、Bi,k、Ci,k分別是船的縱向運動的附加質量、阻尼系數和恢復力系數。下標“i,k”是運動模式標號，i（或k）等于3代表垂蕩，等于5代表縱搖。
式（1）可進一步寫為如下的狀態方程形式［3,4］：
計算技術與自動化2014年6月
第33卷第2期宋立忠等：穿浪雙體船縱向運動滑模控制
=Ax+Buu=－Kx（2）
式中x=x1x2x3x4，x1=ζ3（垂蕩位移），x2=3（垂蕩速度），x3=ζ5（縱搖角度），x4=5（縱搖角速度）。
A=0100－C33M+A33－B33M+A33－C35M+A33－B35M+A330001－C53I5+A55－B53I5+A55－C55I5+A55－B55I5+A55，
B=001M+A33?ρV2Af?Cfα1M+A33?ρV2Aa?Caα001I5+A55?ρV2Af?Cfα?lf－1I5+A55?ρV2Aa?Caα?la，
u=αfαa為控制向量，K=k1k2k3k4k5k6k7k8為反饋增益矩陣。式中αf和αa分別為前鰭和后鰭與設計安裝角的偏差角，向上為正，向下為負。Cfα是前鰭升力系數對前鰭功角的導數，Caα是后鰭升力系數對后鰭功角的導數，lf和la分別為前后鰭軸線距y軸的距離。
3 滑模控制器設計
盡管穿浪雙體船的水動力系數可通過船模或實船試驗測得，但不可避免存在誤差，而不同的裝載、吃水情況也必然導致實際參數的變化，進一步增大了模型誤差，導致模型的不確定性。另外，由于外部海況的變化，穿浪雙體船在工作過程中還會受到風、浪、流等諸多不確定擾動因素的影響。所有這些不確定因素的存在必然會對穿浪雙體船的操控性能產生不利影響，使其耐波性、舒適性下降。因此，控制器的設計必須充分考慮縱向運動控制的魯棒性能。
滑模控制又叫變結構控制，其最大特點就是魯棒性強，能為不確定性對象提供一種強有力的確定性控制系統的設計方法和結構十分簡單的控制器。顯然,這一特點非常適合于穿浪雙體船的控制。變結構控制的基本原理是：根據系統狀態和某些預先確定的超平面（滑模流形）之間的關系來改變系統控制結構，當系統（受控對象）狀態穿越系統狀態空間的預先設定的切換超平面時，控制系統從一個結構自動轉向另外一個確定的結構，以保證系統狀態變量達到并約束在給定的滑模流形上，并使之自始至終沿著滑模流形滑行至系統狀態空間的平衡點，從而使系統性能達到某個期望的指標。所以變結構控制系統中的變結構一般是通過切換函數來實現的，一個變結構控制系統可以有若干個切換函數，而切換函數是由系統狀態向量決定并隨著狀態向量的運動不斷地改變著。由于滑動模態的存在，變結構控制實際上是將一個高階受控系統分解成為兩個低階系統：一個是以切換函數為狀態變量的動態系統，另一個是降維的且在切換超平面上的滑動運動過程，滑動運動解耦且和系統控制向量無關。整個變結構控制的控制過程可以分為兩個階段，即到達階段和滑動階段，如圖1所示。在到達階段需要選擇控制以保證系統狀態能夠趨近并進入滑動模態；在滑動階段，如果控制能夠把系統狀態約束在滑動模態上且保證滑動運動穩定，那么變結構控制系統的穩定性即得到了保證。因此，控制系統的設計也可以分解為兩個獨立的過程進行：一是根據所要求的系統性能指標設計滑動流形或切換超平面；二是根據滑動模態的存在條件和到達條件的要求，用多種方式綜合出變結構控制律，以迫使系統狀態進入滑動模態且保持在滑動模態上。這樣就使整個控制系統的設計得到極大簡化。
圖1 滑模控制系統的兩個運動階段
3.1 切換函數設計
在設計變結構控制系統時，應首先確定切換函數s(x)，以保證滑動模態的穩定性及良好品質。為簡單計，對于系統
=Ax+Bu,x∈Rn,u∈Rm （3）
一般可取線性切換函數：
s(x)=Cx(t)（4）
這樣，切換函數的設計問題就變成了系數矩陣C的確定問題。常用的方法有極點配置法和二次型最優法。
首先將系統（3）化為簡約型：
1=A11z1+A12z22=A21z1+A22z2+Bmu （5）
式中，z1為n－m維，z2為m維，A11為(n－m)×(n－m)矩陣，A12為(n－m)×m矩陣，A21為m×(n－m)矩陣，A22為m×m矩陣。顯然，此時
A=A11A12A21A22，B=0Bm
切換函數式（4）則相應變為
s=C1z1+C2z2（6）
式中C1為m×(n－m)矩陣，C2為m×m矩陣。定義滑動超平面為
s(x)=Cx=C1z1+C2z2=0（7）
于是，在滑動超平面上，下式成立：
z2=－C－12C1z1（8）
將式（8）代入式（5），則得到系統滑動方程為
1=A11z1+A12z22=－C－12C1z1（9）
上式可作為一個狀態反饋控制系統處理，其中控制量為z2，狀態為z1，狀態反饋向量為C－12C1。于是式（9）可進一步寫為
1=(A11－A12C－12C1)z1 （10）
由系統的基本性質［4］，當(A,B)可控時，(A11,A12)也可控。故可采取極點配置或二次型最優方法來確定反饋矩陣L=C－12C1，以保證滑模面的穩定性及良好動、靜態性能。
于是可以得出
C=C1C2=C2L,C2=C2L,Im （11）
不失一般性，如取C2=Im，則有
C=L,Im （12）
3.2 變結構控制律的求取
確定了切換函數，則滑動模態的穩定性及動、靜態品質也就確定了。于是剩余任務就是通過設計滑模（變結構）控制律，使系統（3）任意初始狀態出發的運動都能在有限時間內到達并穩定于滑模超平面上。對于變結構控制律的求取，有很多方法，目前應用最廣且最為簡單的是趨近律方法。
趨近律自身即是一種等式形式的到達條件［4］，同時它又能夠對系統趨近于滑模超平面的運動軌跡進行很好的刻劃。對于系統（3）建立變結構控制
u=u+,當s＞0u－,當s＜0（13）
可采用最為常用的指數型趨近律：
=－εsgn s－qs（14）
式中ε＞0，q＞0。由式（3）、（4）可得
=C=CAx+CBu（15）
令式（15）右端與趨近律式（14）右端相等即可解出變結構控制律：
u=－(CB)－1［CAx+εsgn s+qs］（16）
顯然，基于趨近律方法的變結構控制律求取是非常簡單的。對于控制律（16），參數q、ε的選取至關重要。q的大小決定著趨近切換超平面速度的快慢，其值越大，速度越快，但過大易引起震蕩。ε的大小決定著系統的魯棒性能，其值越大，魯棒性越好，但抖振幅值也大，且影響穩態精度。具體設計時，一般可根據不確定因素的影響程度，先粗略選一個較大的ε和一個相對較小的q，通過仿真觀察控制效果，然后對兩個參數反復調整，以使控制效果最佳。
為避免抖振現象的發生，這里我們對控制律（16）進行“柔化”處理，即將符號函數sgn (s)的繼電特性進行連續化處理：
θ(s)=ss+ξ （17）
式中ξ為一小正數。于是最終的滑模控制律為
u=－(CB)－1［CAx+εs|s|+ξ+qs］（18）
4 仿真研究
針對某型穿浪雙體船進行仿真研究，模型參數如下：
A=0100－98.000－3.569－32.9285－3.80870001－52.234－0.4563－99.8534－6.2227
B=000.284760.11544000.45831－0.34366
基于艏鰭減小縱搖理論的大量研究與實驗表明，對于穿浪雙體船，僅加裝艏鰭就可以較大幅度的增加船的升沉阻尼和縱搖阻尼，使得船在較寬的頻帶范圍內的運動受到抑制［2］。基于此，同時考慮控制設計的簡化問題，我們在仿真中僅考慮前鰭的情況，即令式（2）中的u=αf0T，這樣式系統（2）實際就變成了一個單輸入系統。采用極點配置方法確定初步的切換函數系數矩陣，再通過仿真實驗修正，最后得到切換函數系數矩陣為
C=
－1.2334－106.8238.3625－16.6107T
仿真中將海浪干擾近似看作由多個相互獨立、且具有不同波長、波幅和隨機相位的單元規則波的疊加，用下式描述：
ξt=∑Ni=1ξaicos (ki+ωit+εi)
其中N為足夠大的正整數，εi是［0,2π］上均勻分布的隨機變量。
在MATLAB/SIMULINK環境下建立仿真模型，仿真結果如圖2、3所示，其中圖2為垂蕩位移曲線，圖3為縱搖角曲線。各圖中虛線表示未加控制器的情況，實線表示采用滑模控制后的情況。
圖2 滑模控制器作用前后的垂蕩位移仿真曲線
圖3 滑模控制器作用前后的縱搖角仿真曲線
由上述仿真結果不難看出，采用滑模控制器后的減搖效果可達到70%以上，效果非常可觀。
5 結 論
本文對穿浪雙體船縱向運動控制模型進行了介紹，并基于滑模控制理論設計了減縱搖控制器，為避免常規滑模控制中存在的抖振問題，對控制律中的符號函數進行了柔化處理。仿真結果表明，所設計的滑模控制器減搖效果明顯，具有一定實用價值。
參考文獻
［1］ 吳倫楷,羅建明.穿浪型高速雙體船技術特點及其發展概況［J］.船舶,2000,3:15-18.
［2］ 杜擁軍.穿浪雙體船加裝組合附體優化設計［D］.哈爾濱:哈爾濱工程大學,2004.
［3］ 陳正超.小水線面雙體船縱向運動控制系統研究［D］.大連:大連理工大學,2005.
［4］ 朱炳泉,眭愛國 魏納新.小水線面雙體船縱向運動控制系統的試驗研究［J］.中國造船, 2005,46(4):1-10.
［5］ 高為炳.變結構控制的理論及設計方法［M］.北京:科學出版社,1998.
滑模控制又叫變結構控制，其最大特點就是魯棒性強，能為不確定性對象提供一種強有力的確定性控制系統的設計方法和結構十分簡單的控制器。顯然,這一特點非常適合于穿浪雙體船的控制。變結構控制的基本原理是：根據系統狀態和某些預先確定的超平面（滑模流形）之間的關系來改變系統控制結構，當系統（受控對象）狀態穿越系統狀態空間的預先設定的切換超平面時，控制系統從一個結構自動轉向另外一個確定的結構，以保證系統狀態變量達到并約束在給定的滑模流形上，并使之自始至終沿著滑模流形滑行至系統狀態空間的平衡點，從而使系統性能達到某個期望的指標。所以變結構控制系統中的變結構一般是通過切換函數來實現的，一個變結構控制系統可以有若干個切換函數，而切換函數是由系統狀態向量決定并隨著狀態向量的運動不斷地改變著。由于滑動模態的存在，變結構控制實際上是將一個高階受控系統分解成為兩個低階系統：一個是以切換函數為狀態變量的動態系統，另一個是降維的且在切換超平面上的滑動運動過程，滑動運動解耦且和系統控制向量無關。整個變結構控制的控制過程可以分為兩個階段，即到達階段和滑動階段，如圖1所示。在到達階段需要選擇控制以保證系統狀態能夠趨近并進入滑動模態；在滑動階段，如果控制能夠把系統狀態約束在滑動模態上且保證滑動運動穩定，那么變結構控制系統的穩定性即得到了保證。因此，控制系統的設計也可以分解為兩個獨立的過程進行：一是根據所要求的系統性能指標設計滑動流形或切換超平面；二是根據滑動模態的存在條件和到達條件的要求，用多種方式綜合出變結構控制律，以迫使系統狀態進入滑動模態且保持在滑動模態上。這樣就使整個控制系統的設計得到極大簡化。
圖1 滑模控制系統的兩個運動階段
3.1 切換函數設計
在設計變結構控制系統時，應首先確定切換函數s(x)，以保證滑動模態的穩定性及良好品質。為簡單計，對于系統
=Ax+Bu,x∈Rn,u∈Rm （3）
一般可取線性切換函數：
s(x)=Cx(t)（4）
這樣，切換函數的設計問題就變成了系數矩陣C的確定問題。常用的方法有極點配置法和二次型最優法。
首先將系統（3）化為簡約型：
1=A11z1+A12z22=A21z1+A22z2+Bmu （5）
式中，z1為n－m維，z2為m維，A11為(n－m)×(n－m)矩陣，A12為(n－m)×m矩陣，A21為m×(n－m)矩陣，A22為m×m矩陣。顯然，此時
A=A11A12A21A22，B=0Bm
切換函數式（4）則相應變為
s=C1z1+C2z2（6）
式中C1為m×(n－m)矩陣，C2為m×m矩陣。定義滑動超平面為
s(x)=Cx=C1z1+C2z2=0（7）
于是，在滑動超平面上，下式成立：
z2=－C－12C1z1（8）
將式（8）代入式（5），則得到系統滑動方程為
1=A11z1+A12z22=－C－12C1z1（9）
上式可作為一個狀態反饋控制系統處理，其中控制量為z2，狀態為z1，狀態反饋向量為C－12C1。于是式（9）可進一步寫為
1=(A11－A12C－12C1)z1 （10）
由系統的基本性質［4］，當(A,B)可控時，(A11,A12)也可控。故可采取極點配置或二次型最優方法來確定反饋矩陣L=C－12C1，以保證滑模面的穩定性及良好動、靜態性能。
于是可以得出
C=C1C2=C2L,C2=C2L,Im （11）
不失一般性，如取C2=Im，則有
C=L,Im （12）
3.2 變結構控制律的求取
確定了切換函數，則滑動模態的穩定性及動、靜態品質也就確定了。于是剩余任務就是通過設計滑模（變結構）控制律，使系統（3）任意初始狀態出發的運動都能在有限時間內到達并穩定于滑模超平面上。對于變結構控制律的求取，有很多方法，目前應用最廣且最為簡單的是趨近律方法。
趨近律自身即是一種等式形式的到達條件［4］，同時它又能夠對系統趨近于滑模超平面的運動軌跡進行很好的刻劃。對于系統（3）建立變結構控制
u=u+,當s＞0u－,當s＜0（13）
可采用最為常用的指數型趨近律：
=－εsgn s－qs（14）
式中ε＞0，q＞0。由式（3）、（4）可得
=C=CAx+CBu（15）
令式（15）右端與趨近律式（14）右端相等即可解出變結構控制律：
u=－(CB)－1［CAx+εsgn s+qs］（16）
顯然，基于趨近律方法的變結構控制律求取是非常簡單的。對于控制律（16），參數q、ε的選取至關重要。q的大小決定著趨近切換超平面速度的快慢，其值越大，速度越快，但過大易引起震蕩。ε的大小決定著系統的魯棒性能，其值越大，魯棒性越好，但抖振幅值也大，且影響穩態精度。具體設計時，一般可根據不確定因素的影響程度，先粗略選一個較大的ε和一個相對較小的q，通過仿真觀察控制效果，然后對兩個參數反復調整，以使控制效果最佳。
為避免抖振現象的發生，這里我們對控制律（16）進行“柔化”處理，即將符號函數sgn (s)的繼電特性進行連續化處理：
θ(s)=ss+ξ （17）
式中ξ為一小正數。于是最終的滑模控制律為
u=－(CB)－1［CAx+εs|s|+ξ+qs］（18）
4 仿真研究
針對某型穿浪雙體船進行仿真研究，模型參數如下：
A=0100－98.000－3.569－32.9285－3.80870001－52.234－0.4563－99.8534－6.2227
B=000.284760.11544000.45831－0.34366
基于艏鰭減小縱搖理論的大量研究與實驗表明，對于穿浪雙體船，僅加裝艏鰭就可以較大幅度的增加船的升沉阻尼和縱搖阻尼，使得船在較寬的頻帶范圍內的運動受到抑制［2］。基于此，同時考慮控制設計的簡化問題，我們在仿真中僅考慮前鰭的情況，即令式（2）中的u=αf0T，這樣式系統（2）實際就變成了一個單輸入系統。采用極點配置方法確定初步的切換函數系數矩陣，再通過仿真實驗修正，最后得到切換函數系數矩陣為
C=
－1.2334－106.8238.3625－16.6107T
仿真中將海浪干擾近似看作由多個相互獨立、且具有不同波長、波幅和隨機相位的單元規則波的疊加，用下式描述：
ξt=∑Ni=1ξaicos (ki+ωit+εi)
其中N為足夠大的正整數，εi是［0,2π］上均勻分布的隨機變量。
在MATLAB/SIMULINK環境下建立仿真模型，仿真結果如圖2、3所示，其中圖2為垂蕩位移曲線，圖3為縱搖角曲線。各圖中虛線表示未加控制器的情況，實線表示采用滑模控制后的情況。
圖2 滑模控制器作用前后的垂蕩位移仿真曲線
圖3 滑模控制器作用前后的縱搖角仿真曲線
由上述仿真結果不難看出，采用滑模控制器后的減搖效果可達到70%以上，效果非常可觀。
5 結 論
本文對穿浪雙體船縱向運動控制模型進行了介紹，并基于滑模控制理論設計了減縱搖控制器，為避免常規滑模控制中存在的抖振問題，對控制律中的符號函數進行了柔化處理。仿真結果表明，所設計的滑模控制器減搖效果明顯，具有一定實用價值。
參考文獻
［1］ 吳倫楷,羅建明.穿浪型高速雙體船技術特點及其發展概況［J］.船舶,2000,3:15-18.
［2］ 杜擁軍.穿浪雙體船加裝組合附體優化設計［D］.哈爾濱:哈爾濱工程大學,2004.
［3］ 陳正超.小水線面雙體船縱向運動控制系統研究［D］.大連:大連理工大學,2005.
［4］ 朱炳泉,眭愛國 魏納新.小水線面雙體船縱向運動控制系統的試驗研究［J］.中國造船, 2005,46(4):1-10.
［5］ 高為炳.變結構控制的理論及設計方法［M］.北京:科學出版社,1998.
滑模控制又叫變結構控制，其最大特點就是魯棒性強，能為不確定性對象提供一種強有力的確定性控制系統的設計方法和結構十分簡單的控制器。顯然,這一特點非常適合于穿浪雙體船的控制。變結構控制的基本原理是：根據系統狀態和某些預先確定的超平面（滑模流形）之間的關系來改變系統控制結構，當系統（受控對象）狀態穿越系統狀態空間的預先設定的切換超平面時，控制系統從一個結構自動轉向另外一個確定的結構，以保證系統狀態變量達到并約束在給定的滑模流形上，并使之自始至終沿著滑模流形滑行至系統狀態空間的平衡點，從而使系統性能達到某個期望的指標。所以變結構控制系統中的變結構一般是通過切換函數來實現的，一個變結構控制系統可以有若干個切換函數，而切換函數是由系統狀態向量決定并隨著狀態向量的運動不斷地改變著。由于滑動模態的存在，變結構控制實際上是將一個高階受控系統分解成為兩個低階系統：一個是以切換函數為狀態變量的動態系統，另一個是降維的且在切換超平面上的滑動運動過程，滑動運動解耦且和系統控制向量無關。整個變結構控制的控制過程可以分為兩個階段，即到達階段和滑動階段，如圖1所示。在到達階段需要選擇控制以保證系統狀態能夠趨近并進入滑動模態；在滑動階段，如果控制能夠把系統狀態約束在滑動模態上且保證滑動運動穩定，那么變結構控制系統的穩定性即得到了保證。因此，控制系統的設計也可以分解為兩個獨立的過程進行：一是根據所要求的系統性能指標設計滑動流形或切換超平面；二是根據滑動模態的存在條件和到達條件的要求，用多種方式綜合出變結構控制律，以迫使系統狀態進入滑動模態且保持在滑動模態上。這樣就使整個控制系統的設計得到極大簡化。
圖1 滑模控制系統的兩個運動階段
3.1 切換函數設計
在設計變結構控制系統時，應首先確定切換函數s(x)，以保證滑動模態的穩定性及良好品質。為簡單計，對于系統
=Ax+Bu,x∈Rn,u∈Rm （3）
一般可取線性切換函數：
s(x)=Cx(t)（4）
這樣，切換函數的設計問題就變成了系數矩陣C的確定問題。常用的方法有極點配置法和二次型最優法。
首先將系統（3）化為簡約型：
1=A11z1+A12z22=A21z1+A22z2+Bmu （5）
式中，z1為n－m維，z2為m維，A11為(n－m)×(n－m)矩陣，A12為(n－m)×m矩陣，A21為m×(n－m)矩陣，A22為m×m矩陣。顯然，此時
A=A11A12A21A22，B=0Bm
切換函數式（4）則相應變為
s=C1z1+C2z2（6）
式中C1為m×(n－m)矩陣，C2為m×m矩陣。定義滑動超平面為
s(x)=Cx=C1z1+C2z2=0（7）
于是，在滑動超平面上，下式成立：
z2=－C－12C1z1（8）
將式（8）代入式（5），則得到系統滑動方程為
1=A11z1+A12z22=－C－12C1z1（9）
上式可作為一個狀態反饋控制系統處理，其中控制量為z2，狀態為z1，狀態反饋向量為C－12C1。于是式（9）可進一步寫為
1=(A11－A12C－12C1)z1 （10）
由系統的基本性質［4］，當(A,B)可控時，(A11,A12)也可控。故可采取極點配置或二次型最優方法來確定反饋矩陣L=C－12C1，以保證滑模面的穩定性及良好動、靜態性能。
于是可以得出
C=C1C2=C2L,C2=C2L,Im （11）
不失一般性，如取C2=Im，則有
C=L,Im （12）
3.2 變結構控制律的求取
確定了切換函數，則滑動模態的穩定性及動、靜態品質也就確定了。于是剩余任務就是通過設計滑模（變結構）控制律，使系統（3）任意初始狀態出發的運動都能在有限時間內到達并穩定于滑模超平面上。對于變結構控制律的求取，有很多方法，目前應用最廣且最為簡單的是趨近律方法。
趨近律自身即是一種等式形式的到達條件［4］，同時它又能夠對系統趨近于滑模超平面的運動軌跡進行很好的刻劃。對于系統（3）建立變結構控制
u=u+,當s＞0u－,當s＜0（13）
可采用最為常用的指數型趨近律：
=－εsgn s－qs（14）
式中ε＞0，q＞0。由式（3）、（4）可得
=C=CAx+CBu（15）
令式（15）右端與趨近律式（14）右端相等即可解出變結構控制律：
u=－(CB)－1［CAx+εsgn s+qs］（16）
顯然，基于趨近律方法的變結構控制律求取是非常簡單的。對于控制律（16），參數q、ε的選取至關重要。q的大小決定著趨近切換超平面速度的快慢，其值越大，速度越快，但過大易引起震蕩。ε的大小決定著系統的魯棒性能，其值越大，魯棒性越好，但抖振幅值也大，且影響穩態精度。具體設計時，一般可根據不確定因素的影響程度，先粗略選一個較大的ε和一個相對較小的q，通過仿真觀察控制效果，然后對兩個參數反復調整，以使控制效果最佳。
為避免抖振現象的發生，這里我們對控制律（16）進行“柔化”處理，即將符號函數sgn (s)的繼電特性進行連續化處理：
θ(s)=ss+ξ （17）
式中ξ為一小正數。于是最終的滑模控制律為
u=－(CB)－1［CAx+εs|s|+ξ+qs］（18）
4 仿真研究
針對某型穿浪雙體船進行仿真研究，模型參數如下：
A=0100－98.000－3.569－32.9285－3.80870001－52.234－0.4563－99.8534－6.2227
B=000.284760.11544000.45831－0.34366
基于艏鰭減小縱搖理論的大量研究與實驗表明，對于穿浪雙體船，僅加裝艏鰭就可以較大幅度的增加船的升沉阻尼和縱搖阻尼，使得船在較寬的頻帶范圍內的運動受到抑制［2］。基于此，同時考慮控制設計的簡化問題，我們在仿真中僅考慮前鰭的情況，即令式（2）中的u=αf0T，這樣式系統（2）實際就變成了一個單輸入系統。采用極點配置方法確定初步的切換函數系數矩陣，再通過仿真實驗修正，最后得到切換函數系數矩陣為
C=
－1.2334－106.8238.3625－16.6107T
仿真中將海浪干擾近似看作由多個相互獨立、且具有不同波長、波幅和隨機相位的單元規則波的疊加，用下式描述：
ξt=∑Ni=1ξaicos (ki+ωit+εi)
其中N為足夠大的正整數，εi是［0,2π］上均勻分布的隨機變量。
在MATLAB/SIMULINK環境下建立仿真模型，仿真結果如圖2、3所示，其中圖2為垂蕩位移曲線，圖3為縱搖角曲線。各圖中虛線表示未加控制器的情況，實線表示采用滑模控制后的情況。
圖2 滑模控制器作用前后的垂蕩位移仿真曲線
圖3 滑模控制器作用前后的縱搖角仿真曲線
由上述仿真結果不難看出，采用滑模控制器后的減搖效果可達到70%以上，效果非常可觀。
5 結 論
本文對穿浪雙體船縱向運動控制模型進行了介紹，并基于滑模控制理論設計了減縱搖控制器，為避免常規滑模控制中存在的抖振問題，對控制律中的符號函數進行了柔化處理。仿真結果表明，所設計的滑模控制器減搖效果明顯，具有一定實用價值。
參考文獻
［1］ 吳倫楷,羅建明.穿浪型高速雙體船技術特點及其發展概況［J］.船舶,2000,3:15-18.
［2］ 杜擁軍.穿浪雙體船加裝組合附體優化設計［D］.哈爾濱:哈爾濱工程大學,2004.
［3］ 陳正超.小水線面雙體船縱向運動控制系統研究［D］.大連:大連理工大學,2005.
［4］ 朱炳泉,眭愛國 魏納新.小水線面雙體船縱向運動控制系統的試驗研究［J］.中國造船, 2005,46(4):1-10.
［5］ 高為炳.變結構控制的理論及設計方法［M］.北京:科學出版社,1998.
