線性代數向量組正交化的教學改革

石新華

(中國民航學院理學院 天津300300)

線性代數向量組正交化的教學改革

石新華

(中國民航學院理學院 天津300300)

線性代數課程中的向量組正交化的傳統方法，即施密特正交化過程。多年來，很多教材都是沿用施密特正交化過程方法，但其計算量比較大。論述了使用齊次線性方程組求非零解的方法，將向量組正交化，產生一種新的構思。

向量組正交化 施密特正交化過程 齊次線性方程組 非零解

0 引 言

近年來，大學一年級第二學期的線性代數課程使用的教材是同濟大學數學系第五版。其中第五章相似矩陣與二次型內，一個重要的內容是向量組的正交化。多年來很多教材都是沿用施密特正交化過程方法。5-1向量的內積、長度及正交性中，使用向量的內積概念定義了兩個向量正交的概念，即當[x，y]＝0時，稱向量 x與 y正交。[1]所謂正交向量組是指一組兩兩正交的非零向量。

在線性代數應用問題中，向量組的正交性具有重要意義。

設給定一個線性無關的向量組 A：α1，α2，…，αm，則一定存在另一個向量組 B：β1，β2，…，βm。滿足：①向量組B是正交向量組；②向量組A和向量組B等價。

設 a1，a2，…，ar是向量空間 V的一個基，要求 V的一個規范正交基。這也就是要找一組兩兩正交的單位向量 e1，e2，…，er，使之與上一組等價。這樣一個問題，稱為把這個基規范正交化。

這個問題是線性代數課程知識結構和教學中的重要內容。一般教材的核心思想就是施密特(Schimidt)正交化過程。

施密特(Schimidt)正交化過程，即取：

可以驗證向量組 b1，b2，…，br兩兩正交，且向量組 b1，b2，…，br與向量組 a1，a2，…，ar等價。

再將 b1，b2，…，br單位化，即取：

就是V的一個規范正交基。

經過多年教學認為使用施密特正交化過程求出與給定向量組正交的向量組，計算量比較大。

1993—2013年[2-6]關于正交化的改進和創新，使用的是矩陣并行QR分解算法。

本文利用求解齊次線性方程組求非零解的方法非常便捷。

1 解題方法和過程

以下通過兩道習題解答，敘述具體的解題思路和方法。

解答完畢。

下面繼續求解上述題，本文不使用施密特正交化過程，利用求齊次線性方程組非零解的方法解答此題。

為了求出與 a1，a2同時正交的向量，再求下面線性方程組的非零解：

本文使用的方法與施密特正交化過程的解題結果相同。

教材 5-5二次型及其標準型解，在題過程中，如果實對稱矩陣的特征根出現重根，一般題目都要求求正交變換，所以仍然需要向量的正交化。一道典型例題如下。

例題2：設給定一個二次型f(x)＝2,x1,x2＋2,x1,x3–2,x1,x4–2,x2,x3＋2,x2,x4＋2,x3,x4試求一個正交變換x＝Py，把二次型化為標準形。

本文解法從一個線性方程組開始，求非零解，每次僅僅求出一個非零解。由線性方程：

2 結 語

利用線性方程組求非零解的方法求已知向量的正交向量，將已知的向量作為齊次線性方程組的系數矩陣的行，每次只求一個非零解，繼續使用剛剛求得的向量將系數矩陣再添加一行，再繼續求下一個非零解。直至自由變量僅有一個的時候，就是最后一個正交向量。如果需要，下一步再將正交向量組單位化。

［1］同濟大學數學系. 工程數學線性代數[M]. 北京：高等教育出版社，2007：111-116.

［2］馮秀紅. 關于向量組的 Schimidt正交化的教學思考[J]. 廣西教育學院學報，2008(5)：147-148.

［3］門永江. Schmidt正交化方法的改進[J]. 工科數學，1993(4)：15-18.

［4］宋永順. 線性無關向量組正交化的矩陣解法[J]. 吉林工學院學報，1998(4)：77-80.

［5］黃麗嫦. 基于 Schmidt正交法的矩陣并行 QR分解算法[J]. 佛山科學技術學院學報，2013(3)：44-47.

［6］熊明. 對克萊姆-斯密特正交化方法的兩點改進[J]. 大學數學，2013(4)：137-138.

On Teaching Reform of Vector Group Orthogonalization in Linear Algebra Course

SHI Xinhua
(College of Science，Civil Aviation University of China，Tianjin 300300，China)

Over the years，traditional method of Vector Group Orthogonalization，which is also called Schmidt Orthogonalization Process，has been used in Linear Algebra course. However, it needed a large amount of calculations. In this paper，a new method called nonzero homogeneous linear equations was used for vector group orthogonalization，which may provide a new solution.

vector group orthogonalization；Schmidt Orthogonalization Process；homogeneous linear equations；nonzero solution

O151.23

A

1006-8945(2014)08-0071-03

2014-07-09