能量估計在偏微分方程中的應用

杜保營

(宜賓學院數學研究所，四川宜賓644007)

能量估計在偏微分方程中的應用

杜保營

(宜賓學院數學研究所，四川宜賓644007)

介紹了一般形式二階n維雙曲型方程初邊值問題解的能量估計、一般形式二階n維拋物型方程初邊值問題解的能量估計以及一般形式二階n維橢圓型方程邊值問題解的能量估計,探討了能量估計在這幾類方程的(初)邊值問題的一些應用,并得出一些結論.關鍵詞：能量估計；雙曲型方程；拋物型方程；橢圓形方程

能量估計又稱能量不等式，它在偏微分方程中有著廣泛的應用．曹洪鋒等[1]研究了熱傳導方程中能量估計的一些應用；楊金林[2]研究了二階波動方程中的能量估計與應用．一些特殊的偏微分方程的初邊值問題解的唯一性和穩定性可用極值原理[3]或最大模估計[4]來處理．但是對于一般形式n維雙曲型偏微分方程的初邊值問題解的唯一性和穩定性，一般形式的n維拋物型偏微分方程初邊值問題解的唯一性和穩定性以及一般形式n維橢圓型偏微分方程邊值問題解的唯一性和穩定性用極值原理或最大模估計處理就會很困難，而用能量估計處理這幾類偏微分方程解的唯一性及穩定性就能夠很好地解決．本文就能量估計在這幾類偏微分方程中的應用做一些探討，并得出一定的結論．

1 基本概念

定義1[5]設Ω是Rn中的一個子集，u是Ω上的可測函數，而且|u(x)|p在Ω上可積，這種函數的全體記做Lp(Ω)，即

Lp(Ω)稱為Ω上的p方可積函數空間．在Lp(Ω)中定義范數如下

定義2[5]在定義1中,若p=2,則

在L2(Ω)中定義范數為

定義3[6]設T＞0,Ω為Rn中的一個可測集,則中的范數如下定義

引理1(Green公式)[7]三維空間有界閉體Ω是由光滑或逐片光滑的閉曲面Γ圍成,函數P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)及其偏導數在有界閉體Ω上連續,則

(1)式的另一種形式為

其中dΩ是Ω的體積微元，n是Γ的外法線方向，ds是Γ的面積微元.偏微分方程中常用Green公式的(2)式,該公式可以推廣到有限維的形式．

2 雙曲型方程中能量估計的應用

設Ω為Rn中的有界區域,且具有光滑邊界Γ．T＞0,在區域QT=Ω×() 0,T中考察一般形式的二階雙曲型方程

其中系數滿足以下兩個條件：

①系數aij,bi,b0,c及右端項f都是-QT上的連續函數,且aij在上具有一階連續偏導數.

②對一切i,j=1,2…n，成立aij=aji,且存在正常數α＞0,使得對一切及任意實向量都有

現在給定如下初始條件和邊界條件:

其中ΣT=?！?) 0,T為QT的側邊界.在雙曲型方程初邊值問題(3)(5)(6)引入該問題的能量函數:

對(3)兩邊同時乘ut并在Ω上關于x積分,利用Green公式及Friedrichs不等式[6]，可得到雙曲型方程初邊值問題(3)(5)(6)如下能量估計.

引理2[3]設u是雙曲型方程初邊值問題(3)(5)(6)的解,則成立下面的能量估計

其中c是一個不依賴于u的正常數.

定理1雙曲型方程初邊值問題(3)(5)(6)的解是唯一的.

證明：考察下面的雙曲方程的初邊值問題

令

其中α為(4)式中的α．設u是雙曲型方程初邊值問題(7)(8)(9)的解,則

在雙曲型方程初邊值問題(7)(8)(9)中

在不等式(10)中右端項為零，即E1(t)≤0,又E1(t)≥0,所以E1(t)=0．故ut=uxi=0,i=1,2…n.

所以u=const,又u(x,0)=0,因而u≡0,即雙曲型方程初邊值問題(7)(8)(9)的解必為零解．

設u1,u2為雙曲型方程初邊值問題(3)(5)(6)的任意兩個解，則u=u1-u2為雙曲型方程初邊值問題(7)(8)(9)的解，所以u=0，即u1=u2．定理證畢．

定理2雙曲型方程初邊值問題(3)(5)(6)的解連續依賴于初始資料及右端項(關于初始資料及右端項具有穩定性)．

即

其中E1(t)為定理1證明過程中所設．以e-t同乘(11)式兩邊,并在0到t積分，整理得

又

即

(12)+(13)整理得

又

由(14)(15)整理得

其中c,c1,c0是正常數．設u1是以φ1,ψ1,f1為初始資料和右端項的解，設u2是以φ2,ψ2,f2為初始資料和右端項的解，則u1-u2是以φ1-φ2,ψ1-ψ2,f1-f2為初始資料和右端項的解，由(16)式可知：?ε＞0,?僅依賴于ε,T的η＞0，只要

就有

定理證畢．

3 拋物型方程能量估計的應用

在QT中考察下面的二階拋物型方程

其中系數及右端項仍滿足前面雙曲型方程的條件①②．方程(18)滿足下面的初始條件及邊界條件：

引理3[3]設u拋物型方程初邊值問題(17)(18)(19)的解，構造能量函數則成立能量估計式：

其中c是一個不依賴于u的正常數．

定理3拋物型方程初邊值問題(17)(18)(19)的解是唯一的．

證明：考察下面的拋物型方程的初邊值問題

設u是拋物方程初邊值問題(20)(21)(22)的解．則

在拋物方程初邊值問題(20)(21)(22)中

在不等式(23)中右端項為零，即E(t)≤0,又E(t)≥0,所以E(t)=0.故ut=uxi=0,i=1,2…n.所以u=const．

又u(x,0)=0,因而u≡0．即拋物方程初邊值問題(20)(21)(22)的解的解必為零解．設u1,u2為拋物型方程初邊值問題(17)(18)(19)的任意兩個解，則u=u1-u2為拋物型方程初邊值問題(20)(21)(22)的解，所以u=0,即u1=u2．定理證畢．

定理4拋物型方程初邊值問題(17)(18)(19)的解連續依賴于初始資料及右端項(關于初始資料及右端項具有穩定性)．

證明：設u拋物型方程初邊值問題(17)(18)(19)的解，由引理3知：

即

整理得

其中c1是正常數．設u1是以φ1,f1為初始資料和右端項的解，設u2是以φ2,f2為初始資料和右端項的解，則u1-u2是以φ1-φ2,f1-f2為初始資料和右端項的解，由(24)式可知：?ε＞0,?僅依賴于ε,T的η＞0，只要

就有

定理證畢．

4 橢圓型方程能量估計的應用

在Ω中考察下面的二階橢圓型方程

其中系數及右端項仍滿足前面雙曲型方程的條件①②．方程(25)滿足下面的邊界條件:

引理4[3]存在一個僅依賴于區域Ω,α以及的最大值的正常數λ0，在c(x)≤-λ0時，橢圓型方程邊值問題(25)(26)的解u,滿足能量估計式:

其中c是一個不依賴于u的正常數．

定理5橢圓型方程邊值問題(25)(26)的解是唯一的．

證明：考察下面的拋物型方程的邊值問題

設u是橢圓型方程邊值問題(27)(28)的解．則由引理4知

即

又

所以

故

所以u(x)=0,因而u≡0.即橢圓型方程邊值問題(27) (28)的解必為零解.設u1,u2為橢圓型方程邊值問題(25) (26)的任意兩個解，則u=u1-u2為橢圓型方程邊值問題(27)(28)的解，所以u=0,即u1=u2.

定理證畢.

定理6橢圓型方程邊值問題(25)(26)的解連續依賴于右端項(關于右端項具有穩定性)．

證明：設u橢圓型方程邊值問題(25)(26)的解，由引理4知:

整理得：

其中c1是正常數．設u1是以f1為右端項的解,設u2是以f2為右端項的解,則u1-u2是以f1-f2為右端項的解.由(29)(30)式可知：?ε＞0,?僅依賴于ε的η＞0,只要，就有

定理證畢.

5 結語

一些特殊的偏微分方程(初)邊值問題解的唯一性和穩定性用(強)極值原理[8]處理會更容易,但是本文所討論的一般形式n維偏微分方程(初)邊值問題解的唯一性和穩定性的證明如果用(強)極值原理處理會很困難,而用能量估計處理就會容易很多．但是能量估計在偏微分方程中的應用也有一定的局限性，比如本文所討論的三類方程系數和右端項必須要滿足條件①②,邊值條件必須為零等,橢圓方程還必須要滿足引理4的條件．如果突破這些限制條件偏微分方程的(初)邊值問題解的唯一性和穩定性是否仍成立，如果成立應該怎樣證明?這些問題計劃在以后的工作中研究解決.

[1]曹洪鋒.熱傳導方程的能量估計[J].價值工程,2011(13):52-54.

[2]楊金林,楊勤榮.二階波動方程的一種能量估計[J].包頭鋼鐵學院學報,1996(4):34-36.

[3]谷超豪,李大潛,陳恕行,等.數學物理方程[M].第二版.北京:高等教育出版社,2002.

[4]崔志勇,金德俊,盧喜觀.線性偏微分方程引論[M].長春:吉林大學出版社,1991.

[5]張恭慶,林源渠.泛函分析講義:上冊[M].北京:北京大學出版社, 1987.

[6]曹廣福,嚴從荃.實變函數與泛函分析:下冊[M].北京:高等教育出版社,2011.

[7]劉玉蓮,傅沛仁.數學分析講義:下冊[M].第三版.北京:高等教育出版社,2001.

[8]陳恕行.現代偏微分方程導論[M].北京:科學出版社,2005.

【編校：許潔】

The Application of Energy Estimation in Partial Differential Equation

DU Baoying
(Institute of Mathematical Science,Yibin University,Yibin,Sichuan 644007,China)

The energy estimation of the initial boundary value in 2-order hyperbolic equations in the general form,in 2-order parabolic equations in the general form and in 2-order elliptic equations in the general form were introduced.Some application problems about the estimation of energy of the(initial)boundary value in these equations were discussed,then some conclusions were drawn.

energy estimation;hyperbolic equation;parabolic equation;elliptic equation

O175.2

A

1671-5365(2014)06-0003-04

2014-03-02修回：2014-03-05

宜賓學院科研啟動項目碩士啟動金(2012Q13)

杜保營(1981-)，男，助教，理學碩士，研究方向為微分方程

時間：2014-03-27 17:44

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20140327.1744.005.html