分形理論及其在綿陽市地質災害研究中的應用★

盧 江 董宏戈 王 哲 李家明

(1.四川省地質礦產勘查開發(fā)局108地質隊，四川 崇州 611230； 2.四川省地質礦產勘查開發(fā)局909地質隊，四川 綿陽 621000；3.西南科技大學，四川 綿陽 621000； 4.四川正基巖土工程有限公司，四川 綿陽 621000)

分形理論及其在綿陽市地質災害研究中的應用★

盧 江1董宏戈2王 哲3*李家明4

(1.四川省地質礦產勘查開發(fā)局108地質隊，四川 崇州 611230； 2.四川省地質礦產勘查開發(fā)局909地質隊，四川 綿陽 621000；3.西南科技大學，四川 綿陽 621000； 4.四川正基巖土工程有限公司，四川 綿陽 621000)

在介紹分形、分維涵義和分維測定方法以及分維在地學領域研究的方法的基礎上，以綿陽市地質災害空間分布為依據，采用網格等分加密覆蓋法對綿陽市地質災害系統(tǒng)進行了初步分析，得出了綿陽市地質災害空間分布的分維值為0.893 9。

分形，分維，地質災害，網絡覆蓋法

0 引言

分形理論(fractal theory)是一門新興邊緣學科，是由美籍法國學者曼德布羅特20世紀70年代中期建立的分形幾何學[1，2]。他使人們對自然界中復雜現象的數學描述發(fā)生了革命性的變化，提出了定量描述自然界中不規(guī)則、復雜現象的強有力工具。因此，分形(fractal)與分維(fractal dimension)廣泛應用于眾多領域[3]。

1 分形與分維的涵義

1.1 分形的定義

所謂分形(fractal)，就是自然界中沒有特征長度(即無標度)，不規(guī)則、無限復雜的不可微分的幾何形體、構造以及現象的總稱，其內部存在著自相似性或自仿射，即局部與整體相似。

1.2 分維的概念

分維(fractal dimension)是分形幾何學定量描述分形集合特征和幾何復雜程度的參數，其分維值不一定是整數，故稱其為分數維，又叫分形維數。

歐氏幾何中的空間是3維的，平面是2維的，直線是1維的，點是0維的，而在研究分形集的幾何性質時，傳統(tǒng)的“長度”“面積”“體積”的概念已經不夠用了。在分形幾何學中主要采用了“分數維”的計算方法。所謂“分數維”是指在更深、更廣泛的意義上定義n維空間中超越了“長度、面積、體積”舊概念的新度量。它度量的是一個分形集“充滿空間的程度”。例如，一個線團的維數，與觀察方法有關，遠看，它是一個點，是0維；近些看像球，有空間3維感；再近看，就看到了繩子，又成為1維的了；又如，一個分形集圖案的分數維為1.6，是指它在空間的分布比1維空間復雜一些，而比2維空間簡單一些。在歐氏空間中，把空間看成3維的，平面或球面看成2維，而把直線或曲線看成1維。引發(fā)人們注意到幾何中也具有“相對關系”，以及維數的多樣性。Benoit B. Mandelbrot“越過”傳統(tǒng)幾何學中的維數只能是整數0，1，2，3…的“傳統(tǒng)整數維”(同時也超越了傳統(tǒng)觀念)，進入了看起來像是不可能的“分數維數”，分維出現了，它可以是任意正實數。

由于分形集的復雜性及其廣泛應用性，因而對于不同的分形集需要用不同的測量方法，這導致了分形維數有多種定義，最有代表性的是Hausdorff維數和Box維數。

1)Hausdorff維數。對于任何一個有確定維數的幾何體，若用與它相同維數的尺度r去度量，則可得到一確定的數值N；若用低于它維數的尺度r去量它,結果為無窮大；若用高于它維數的尺度r去量它，結果為0。其數學表達式為：N(r)∝r-Dh。上式兩邊取自然對數，整理后可得：

其中的Dh就稱為Hausdorff維數，它可以是整數，也可以是分數。

Hausdorff維數是眾多分維數中最重要的一個，它對一般的集合都有定義，在理論上意義重大。但是，在很多情形下很難計算或估計它的值，應用它來描述自然界復雜形態(tài)的幾何特征，幾乎是不可能的。實際中常用的分維數是Box維數。

2)Box維數。假設A是Rn上任意非空的有界子集，用尺度為r的n維盒Nr(A)是直徑最大為r可以覆蓋A的最少個數，則集合A的Box維數N(A)定義為:

1.3 分形維數的測量

由于分形維數的定義有很多，故計算分數維的方法也很多，不同的人采用不同的計算方法所得到的計算結果可能是不同的。總的要求是：分數維必須能夠反映“在不斷縮小直徑的很小的比例下，去觀測一個分形集，找出這個集的一個代表維數”，使它能夠反映出圖形的復雜程度，或“不規(guī)則程度的量度”，或“充滿空間的程度”。測定分形維數的方法主要有以下幾種[4]：

1)改變觀察尺度求維數：用具有特征長度的基本圖形去近似分形圖形。

2)根據測度關系求維數：利用分形具有非整數維數的測度來定義維數。

3)根據相關函數求維數：C(r)∝r-a，冪指數a與分形維數D的關系:a=d-D，其中，d為歐氏空間維數。

5)根據頻譜求維數：從頻率的觀點來看，所謂改變觀察的尺度就是改變截止的頻率。此處的截止頻率是把較此更細小的震動成分舍去的界限頻率。因此，如果某變動是分形，那么變換截止頻率，不會改變頻譜的形狀。

1.4 分形理論在地學領域中的研究方法

在地球科學的研究工作中一般有三種分維的定義[5]，分別是：

1)容量維(Dk)。一般來說，如果已知某個分形體的自相似比，就可以采用Hausdorff維數的計算方法計算其維數。但是大自然中存在大量的在統(tǒng)計意義下的自相似體，它們的自相似比往往并不知道。這時采用上面的Hausdorff維數方法來計算其分形維數就比較困難了，為了解決這個問題，人們發(fā)展了一種計算容量的分維計算方法，即：

若N(d)是能覆蓋住一個點集的直徑為d的小球的最小數目，則該點集的容量維為：

2)信息維(Di)。設pi(d)為研究對象落在第i個球中的概率，其定義：

若概率分布均勻，則pi(d)=1/N，Di=Dk，多數情況下，Di≤Dk，可見信息維是容量的一種推廣。

3)相似維(Ds)。對于某一具有相似的研究對象，若其可以分為N個單元，且每一單元相似比r與整體相似，其定義：

Ds=-lnN(r)/ln(r)。

本文主要是結合容量維和相似維兩種方法，選用網格等分加密覆蓋的手段進行分形分維分析。

2 分形理論在地質災害系統(tǒng)研究中的應用

2.1 地質災害系統(tǒng)及分形分維特征

地質災害一般不是孤立的，而是與外界環(huán)境相互關聯、相互作用的，彼此交織在一起構成了復雜的地質災害系統(tǒng)。這個系統(tǒng)具有開放性、非線性和復雜性的特點。因此，對地質災害系統(tǒng)的評價就難以運用定量化的方法加以研究。然而分形理論的提出和引入，就為地質災害系統(tǒng)的定量化研究提供了新方法和新思路。

正是由于地質災害系統(tǒng)具有分形分維特征，而地質災害系統(tǒng)內各個子系統(tǒng)之間的相互作用和影響結果的宏觀表現就是在某地某處發(fā)生地質災害或出現地質災害隱患點。因此本文力圖從分形理論入手，研究綿陽市地質災害系統(tǒng)的復雜程度。

2.2 地質環(huán)境條件背景及其地質災害現狀

綿陽市處于四川盆地西北部，介于盆地向丘陵、山地的過渡地帶，研究區(qū)內地質構造復雜且地層巖性變化較大，進而導致巖體破碎。目前，區(qū)內已查明的災害類型有滑坡、崩塌、泥石流、潛在不穩(wěn)定斜坡及地面塌陷等地質災害，其中滑坡275處，崩塌59處，泥石流55處，潛在不穩(wěn)定斜坡13處和地面塌陷2處，共計災害點404處[6]。

2.3 基于分形理論的綿陽市地質災害系統(tǒng)研究

將綿陽市所有的地質災害點以點的形式展布在地形圖上，運用GIS的網格剖分功能將研究區(qū)分成若干個邊長為r的正方形格子，計算出有災害點落入的格子數N(r)，然后按照1/2的倍數縮小r值，并數出相應的格子數N(r)，擬合出一條直線，即：lnN(r)=a+blnr。

r分別取64 km,32 km,16 km,8 km,4 km,2 km,1 km,0.5 km，于是N(r)分別為10個,26個,63個,147個,267個,406個,548個,794個(見圖1～圖6。由于r=1和r=0.5時的網格太密，影響了圖件的閱讀效果，故文中未插入)。

繪制lnN(r)—lnr雙對數圖(見圖7)，并擬合直線：lnN(r)=6.458-0.893 9lnr，其相關系數為0.956 7。

由上述關系式可以看出，綿陽市地質災害點空間分布的分維值D=0.893 9，介于0和1之間說明綿陽市地質災害具有空間分維的特征，且分維值較大，反映了綿陽市地質災害系統(tǒng)較復雜。作為表征研究對象幾何復雜程度和幾何分布關系的參數，分形理論的提出具有重要的研究意義，既解決了用整數維無法對地質災害系統(tǒng)進行定量描述的瓶頸，又為分析地質災害系統(tǒng)間的關系提供了研究手段，也為數值模擬提供了依據。同時，我們也應該意識到地質災害系統(tǒng)的復雜性、數據的多樣性和海量性等的特點，單純依靠傳統(tǒng)手段和數學方法進行地質災害區(qū)劃研究已經不能滿足處理海量數據和生產實踐的要求，應充分利用計算機技術和現代信息技術，特別是借助3S技術與分形理論的交叉融合，通過利用RS和GPS的數據收集提取等功能來實時地獲得研究區(qū)域的地質環(huán)境和地質災害現狀等資料，借助于GIS的數據存儲技術和專家系統(tǒng)對數據信息進行數據挖掘、融合和處理分析功能，對地質災害系統(tǒng)的分維值的變化作出分析，并對地質災害的發(fā)生、發(fā)展和演化規(guī)律作出預測。

[1] Mandelbrot B B.The Fractal Geometry of Nature[M].SanFrancisco:Freeman，1983.

[2] Mandelbrot B B.Fractal:Fom,Chance and Dimensions[M].SanFrancisco:Freeman，1977.

[3] 辛厚文.分形理論及其應用[M].北京:中國科學技術大學出版社,1993.

[4] 張濟忠.分形[M].北京:清華大學出版社,1995：57-73.

[5] 夏玉成,陳練武,薛喜成.地學信息數字技術概論[M].西安：西安科技學院出版社,1999.

[6] 四川省地質工程集團公司.四川省綿陽市地質災害調查與區(qū)劃報告[R].2005.

Fractal theory and applications of geological hazards research in Mianyang city★

LU Jiang1DONG Hong-ge2WANG Zhe3*LI Jia-ming4

(1.SichuanBureauofGeologyandMineralResourcesof108GeologicalBrigade,Chongzhou611230,China;2.SichuanBureauofGeologyandMineralResourcesof909GeologicalBrigade,Mianyang621000,China;3.SouthwestUniversityofScienceandTechnology，Mianyang621000,China;4.SichuanZhengjiGeotechnicalEngineeringCo.,Ltd,Mianyang621000,China)

The paper introduces the concept of fractal and fractal dimension, the calculation of fractal dimension, the methodology and fractal theory of research method in geoscience. The paper preliminarily analyses hazards system research of Mianyang city on a foundation of the reference spatial distribution of geological hazards and gridding methods, then draws fractal dimension which is 0.893 9.

fractal， fractal dimension， geological hazards， gridding methods

1009-6825(2014)34-0066-03

2014-09-20★：科技部支撐計劃項目“龍門山地震帶小流域滑坡泥石流災害監(jiān)測預警技術研究與示范”(項目編號：2011BAK12B02)；國家自然科學基金項目(項目編號：41402248)；四川省教育廳科技創(chuàng)新團隊項目(項目編號：12zd1106)；四川省非金屬復合與功能材料重點實驗室開放基金(項目編號：11zxfk06)

盧 江(1971- )，男，工程師； 董宏戈(1981- )，男，工程師； 李家明(1981- )，男，工程師

王 哲(1979- )，男，博士，講師；

P694

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