試論高中數學概念的教學

◆張嘉瑜

(廣東省梅州市梅江區樂育中學)

數學是一門具有高度抽象性、嚴密邏輯性、廣泛應用性的學科。數學概念是反映現實世界空間形式和數量關系本質屬性的思維形式，是數學知識體系的基石，是理解和掌握數學理論和方法的基礎。

數學概念教學的目的，是幫助學生建立數學概念、理解數學概念、進而運用數學概念，并在這個過程中學習數學的方法、體會數學的思想、感受數學文化。數學概念因客觀現實的或數學自身發展的需要而產生。它是數學命題、數學推理的基礎成分。學生學習數學概念就意味著學習、掌握一類數學對象的本質屬性。正確理解數學概念，是學習和掌握數學知識的前提。學生學習數學所碰見的諸多困難，大部分是由于沒有很好掌握相關數學概念所造成的。因此，要重視數學概念的教學，本文就針對這個問題來作一些探討。

一、概念形成與概念同化相結合

從教育心理學角度看，學生獲得概念的基本方式有兩種:一是概念形成，二是概念同化。

概念形成是指在教學條件下，從大量具體例子出發，從學生實際經驗的肯定例證中，以歸納的方法概括出一類事物的本質屬性。而學生學習直接用定義形式陳述的概念時，他們就主動地與其認知結構中原有的有關概念相互聯系、相互作用，并領會新概念的本質屬性，從而獲得新概念，這種獲得概念的方式叫做概念同化。概念形成主要依靠的是對具體事物的抽象，更接近于人類自發形成概念的方式，而概念同化則主要靠學生對經驗的概括及新舊知識的聯系，是在主體達到一定背景知識和思維能力后掌握概念的主要方式。當學生思維水平與知識經驗達不到概念同化的要求時，采用概念形成的方式比較多，效果也比較好。但是如果教師僅用概念形成方式，那么教學有可能落在學生思維發展之后，不利于學生思維能力的發展，也提不起學生的學習興趣。反之，一味地用概念同化也是行不通的，如碰到較難理解的或新內容開始時的一些概念，若此時還采用概念同化的方式，教學就可能超過了學生的知識經驗與思維水平，從而使學生難以理解概念的內涵和外延。這時若采用概念形成的方式，反而會收到更好的效果。由此，在數學概念的實際學習過程中，概念形成與概念同化這兩種方式往往是結合使用的，這樣既符合學生學習概念時由具體到抽象的認識規律，掌握形式的數學概念背后的事實，又能使學生在有限的時間內較快地理解概念所反映的事物的本質屬性，掌握更多的數學概念，提高學習效率。

二、創設學習數學概念的情境，利用概念引入明確學習的目的性，調動學生的學習主動性與積極性

概念的引入是使學生了解建立概念的必要性，明確學習的目的性，對所學數學概念形成初步的感性認識，從而調動學生學習的主動性、積極性，使學生具有強烈的求知欲望，迫不及待地參與概念的建立活動。這是學生能否學好概念的關鍵一步。

1.通過對現實材料的分析抽象引入概念，使學生獲得豐富的和切合實際的感性材料。引導學生從分析日常生活和生產實際中的實例入手，通過觀察有關的實物、圖示、模型，在形成充分感性認識的基礎上引入概念。例如，通過觀察一系列特殊函數圖象的“周而復始”的特征，引入函數的周期的概念。

2.通過數學自身發展的內在需要引入概念。數學自身發展的內在需要，既是推動數學發展的動力之一，也是調動學生學習積極性，激發其內在需求的重要素材之一。通過揭示數學自身發展過程中的矛盾、問題，打破學生的原有認知結構，再引導學生探索化解矛盾和解決問題的途徑，從而引入數學概念。例如，由方程x2+1=0沒有實數解的問題引入復數的概念。

3.通過類比引入概念。通過類比能使相比較的客體的本質更加明確，更能防止知識間的混淆與割離。例如，等比數列可類比等差數列引入，雙曲線可類比橢圓引入。

三、發展學生的抽象概括能力，實現從對數學對象的感性認識到理性認識的飛躍

學生要真正形成數學概念，必須實現從對數學對象的具體的感性認識到數學對象的抽象的理性認識的飛躍。這個過程需要經歷一個從片面到全面，從模糊到清晰，從表象聯系到實質聯系的復雜的思維過程，絕不可能一步到位。因此，在教學過程中，教師應引導學生進行觀察、分析、綜合、探索、猜想、創造，決定取舍，形成概括，讓學生在交流中、反思中逐步實現對數學對象的感性認識到理性認識的過渡，從而形成概念。

1.采用恰當的方法使本質屬性明顯一些，使學生區分本質屬性與非本質屬性，從而有利于學生抽象概括。例如，對于棱錐的高，有的學生認為棱錐的頂點在它底面的射影一定在底面的多邊形內才有高，把非本質屬性(頂點在底面的射影在底面多邊形內、形外)誤認為本質屬性。因此，及時指出概念所反映事物的非本質屬性，有利于突出本質屬性，讓學生正確掌握概念。

2.通過舉出概念的否定例證，從而讓學生更容易理解數學概念。例如，“異面直線”這一概念，有的學生往往認為沒有公共點的兩條直線就是異面直線，這時若舉出否定例證:“兩條平行直線沒有公共點，但它們不是異面直線”。說明“沒有公共點”不是異面直線的本質屬性，這樣學生理解這個概念就容易多了。

3.注意概念的比較，有助于學生抓住概念的本質，提高抽象概括能力。如對“(a+b)n的展開式的第r項的二項式系數”與“(a+b)n的展開式的第r項的系數”，教學時可引導學生對這兩個概念進行對比辨析，找出它們之間有何關系，從而加深對這兩個概念的理解，使抽象概括能力也得到了提高。

四、剖析鞏固概念，深化概念的理解，感受數學文化

在數學概念的教學中，不能僅僅滿足于學生獲得概念，形式地背誦概念而不理解它們的實際含義。學生雖然對概念有了一定的理性認識，但面對新的數學術語和新的數學符號都需要有一個解讀、理解、吸收的過程，這就需要教師及時地引導學生來“解剖”定義，分析它的結構特征，揭示它的關鍵詞的含義，探討它的內涵和外延，尋求它的表示方法，對它所包含的對象進行分類，從而實現對概念的透徹理解。

在概念形成和剖析之后，應及時讓學生閱讀教材、復述概念，并用不同的方式描述概念、表示概念，從而加深對概念的印象。然后進行鞏固性地練習，設計有一定層次的、體現概念本質特征的練習，讓學生在識別、判斷、推理、計算的過程中，加深對概念的理解，達到鞏固概念的目的。

在真正理解概念、掌握概念后，引導學生運用所學概念來解決問題，由易到難，由簡單到復雜，讓學生在解決問題的過程中深化對概念的認識，理解概念的本質，領悟數學思想方法，積累對數學知識聯系的整體感知，從而將其同化到已有的知識結構之中。