基于分形理論超輕中空二次粒子纖維壁的有效導熱系數計算方法

，，

(1. 海軍工程大學 艦船高溫結構復合材料研究室，武漢 430033;2. 海軍工程大學 動力工程學院，武漢 430033)

0 引 言

硬硅鈣石晶體纖維纏繞形成的超輕中空二次粒子是一種新型的多孔絕熱材料，具有超輕的密度、優良的絕熱保溫性能、人體友好性和高利用率的特點，近年來得到高度重視，發展非常迅速[1]。硬硅鈣石型硅酸鈣絕熱材料按制品密度可分為220 kg/m3左右的普通型和小于135 kg/m3的超輕型兩類，其中孔隙率分別為0.919和大于0.95，屬于高孔隙率的多孔絕熱材料。

多孔絕熱材料的導熱系數是衡量其絕熱性能的重要參數。建立起計算其導熱系數的模型，并分析各個因素對其導熱性能的影響，對于提高材料的絕熱性能具有十分重要的意義[2]。在研究過程中，多孔材料內部幾何結構的不規律性導致其物性參數的不確定性，在理論研究時，很難用傳統方法對其導熱性能進行準確的描述。以往的研究大都基于連續介質假設和容積平均的方法，僅用孔隙率這一個參數描述多孔材料的空間結構，但事實上，孔隙率相同的多孔材料，內部固相尺度和分布不同，其導熱系數也不同。

20世紀80年代以來，分形理論開始被引入多孔介質的傳熱研究中來[3]。Yongjin Feng、Boming Yu等[4]基于分形理論，利用Sierpinski地毯模擬連續孔隙的兩相多孔介質，推導了其有效熱導率數學模型。王唯威等[5]基于分形理論，構造了不同分形模型來模擬分形介質，采用有限容積法對導熱問題進行了數值模擬與分析。以上分形模型不含經驗常數，參數較少，計算簡便，但不同種多孔介質材料內部結構的分形特征不同，因此針對某種特定的材料，推導反映其內部微尺度結構特征的傳熱模型具有重要意義。施明恒[6]等利用分形方法對聚氨酯泡沫塑料微觀泡孔結構和導熱特性進行了研究，提出了計算聚氨酯泡沫塑料導熱的簡化分形模型。徐平[7]采用分形理論對泡沫鋁材料的微觀結構進行了研究，利用面積-周長分維算法證明了其微觀結構在一定尺度內具有自相似特點。本文的主要工作是針對所研究的硬硅鈣石超輕中空二次粒子，證明其纖維分布具有分形特征，并建立反映其纖維微觀分布特點的分形導熱模型。

1 硬硅鈣石超輕中空二次粒子纖維壁的微尺度空間結構及分形描述

1.1 微尺度空間結構

硬硅鈣石型硅酸鈣絕熱材料是一種高孔隙率的絕熱材料，是由針狀硬硅鈣石晶體纖維纏繞組成的球狀團聚體，外殼密實，內部中空，這種球形聚合體被成為硬硅鈣石二次粒子。

如圖1所示為硬硅鈣石二次粒子表面纖維及孔隙微觀結構的電子顯微鏡掃描圖，可以看出晶體纖維相互交錯，形成的幾何結構復雜多變，且纖維呈隨機排列，因此，很難用數學方法對其真實導熱情況加以準確描述。利用分形的相似性對其復雜結構進行簡化，建立簡化的分形導熱模型，根據等效熱阻方法，可以推導出其有效導熱系數的分形計算式。

圖1 硬硅鈣石二次粒子及纖維壁纏繞的纖維形貌

1.2 分形描述

分形幾何學是一門以非規則幾何形狀為研究對象的幾何學，如土壤、海岸線、多孔材料等，其內部發生的過程不能用簡單的線性近似方法來認識和描述。分形理論為描述自然界中非線性現象和幾何形狀、物體內部的復雜結構和空間分布提供了一種行之有效的手段，從而為精確研究復雜結構內部客觀規律開辟了一條新路[8]。根據分形理論，存在于df維歐氏空間中的一個多孔分形體的面積、體積或長度等物理量N(r)與物體度量尺度r有以下自相似標度關系：

N(r) ∝rdf。

(1)

式中：N為分形物體的空間占有積(線、面或體)；r為度量尺度；df為分形維數，可以是整數也可以是非整數，兩物體只要滿足分形維數相等，那么這兩個物體是自相似的。根據分形理論，硬硅鈣石超輕中空二次粒子纖維壁的纖維分布若滿足分形特征，須滿足以下關系式：

N(r)=Crdf。

(2)

式中：C為比例常數。等號兩邊取對數得：

logN(r)=logC+dflogr。

(3)

查找硬硅鈣石纖維的場發射掃描電鏡照片可以發現，二次粒子纖維直徑最大特征尺寸B=100 nm，最小特征尺寸A=35 nm，對于在B→A的不同長度度量尺度r，對硬硅鈣石二次粒子殼體表面纖維電鏡掃描照片進行計盒維數計算。采用差分計盒維數算法，此算法在計算灰度圖像時，簡單、快速、精確。經計算可以看出硬硅鈣石二次粒子纖維壁的纖維分布滿足分形特征，對于被測樣品(表觀密度ρ=125 kg·m-3)其分形維數為df=2.516 8。

實際硬硅鈣石二次粒子纖維及孔隙的幾何結構是復雜多變的，纖維排列既可能是有序的，又可能是無序排列。利用分形的相似性對其復雜的幾何結構進行簡化，假定硬硅鈣石二次粒子纖維壁的纖維排列呈多邊形結構，建立分形等效模型如圖3所示，圖3為硬硅鈣石二次粒子纖維壁截面簡化模型，進而可把每一個多邊形簡化為具有相同截面積的正方形網格，即分形單元體。

圖2 硬硅鈣石二次粒子纖維壁電鏡掃描照片分形維數計算

圖3 二次粒子纖維壁截面簡化模型與分形單元體模型

2 分形模型的有效導熱系數

硬硅鈣石二次粒子纖維壁有效導熱系數Ke除與組成材料的各相自身導熱系數有關外，還與其空間結構(孔隙率、分形維數)有關，這里用孔隙率和分形維數作為描述材料的空間結構的主要參數。根據分形理論，有效導熱系數可以表示為：

Ke=f(∑Ki,Φ,df,T)。

(4)

式中：Ki為硬硅鈣石二次粒子纖維壁的氣相、固相的導熱系數；φ為硬硅鈣石二次粒子纖維壁纖維的體孔隙率；df為硬硅鈣石二次粒子纖維壁孔隙分形維數；T為材料的溫度。

根據孔隙率定義，孔隙率為孔隙體積和總體積的比值，結合文獻[9]、[10]給出的計算分形體孔隙率的方法，孔隙率φ為：

(5)

式中：φ為材料的體孔隙率；L為度量尺度。

在纖維長度方向、熱流方向、熱流垂直方向上同時取長度為L的尺度，構成立方體導熱單元體，于是硬硅鈣石二次粒子纖維壁的熱傳遞模型可簡化為如圖4所示。假設為一維穩態傳熱，熱流方向自上而下，單元體上下邊界溫度分別為T1和T2，其他邊界取絕熱條件。

圖4 單元體導熱模型和等效熱阻網絡

從圖4可以看出，左側通道的氣體熱阻R1為：

R1=L/(KgA1)=2/[Kg(L-D)]。

(6)

中間通道的總熱阻R2為：

R2=R21+R22+R23= (L-D)/(KgA2)+

D/(KsA2)=(L-D)/(KgDL)+1/(KsL)。

(7)

右側通道的熱阻R3為：

R3=R1=2/[Kg(L-D)]。

(8)

單元體的總熱阻為：

R總=(R1R2R3)/(R2R3+R1R3+

R1R2)= [L(L-D)Ks+LDKg]/{LDKsKg+

Kg(L-D)[Ks(L-D)+KgD]}。

(9)

式中：D為單元體內纖維截面的等效正方形的邊長；A1，A2分別左側通道和中間通道在熱流方向上的傳熱面積；Kg為氣相導熱系數；Ks為固相導熱系數。

由傅立葉定律，總熱流Q為：

Q=(T1-T2)/總=KcA(T1-T2)/L。

(10)

式中：A為單元體總傳熱面積。

分形單元體模型的有效導熱系數為：

Ke=L/(AR總)=1/(LR總) =(1-D/L)Kg+

1/[(L/D-1)( 1/Kg) +1/Ks)]。

(11)

將(5)式帶入(11)，可得：

Ke=[1-(1-φ)1/df]Kg+1/ {(1/Kg)

[ (1-φ)-1/df-1] +1/Ks)}。

(12)

從(12)式可以看出，硬硅鈣石二次粒子纖維壁的有效導熱系數與各相自身的導熱系數有關，也與材料的微觀結構(分形維數、孔隙率)有關。因此在對材料的熱物性進行優化設計時，不僅要考慮材料自身的熱物性參數，還要考慮材料的孔隙率與微觀結構。

3 影響硬硅鈣石二次粒子纖維壁有效導熱系數的因素分析

3.1 參數的確定

固相導熱系數Ks為硬硅鈣石針狀晶體的導熱系數，采用來估計。這里f1、f2、f3分別是二氧化硅、氧化鈣和水的摩爾百分數。魏高升[11]對文獻[11]中的數據進行多項式擬合，得到了二氧化硅、氧化鈣和水的導熱系數關于溫度的表達式：

KSiO2=0.752 33+0.003 13T-4 052 647×

10-6T2+3.526 37×10-9T3。

(13)

KCaO=1.290 23-9.241 18×10-5T-

1.271 45×10-7T2。

(14)

KH2O=-1.088 92+0.011 13T-2.266 28×

10-5T2+1.477 69×10-8T3。

(15)

式中:Kg為環境壓力下空氣隨溫度變化的導熱系數，單位為W·m-1·K-1，計算公式為：

Kg=3.954×10-3+7.720 8×10-5T-

1.608 2×10-8T2。

(16)

將各參數的表達式帶入式(12)即可計算出硬硅鈣石二次粒子纖維壁有效導熱系數Ke。

3.2 溫度與硬硅鈣石二次粒子纖維壁有效導熱系數的關系

圖5 硬硅鈣石二次粒子纖維壁有效導熱系數隨溫度變化的關系

取硬硅鈣石二次粒子纖維壁的孔隙率為0.45[12]，取溫度變化范圍為200～1 000 K,得到材料有效導熱系數隨溫度變化曲線如圖5所示，可以看出隨溫度的升高，有效導熱系數增大。

3.3 孔隙率與硬硅鈣石二次粒子纖維壁有效導熱系數的關系

孔隙率與硬硅鈣石二次粒子纖維壁有效導熱系數的關系，如圖6所示。

圖6 硬硅鈣石二次粒子纖維壁有效導熱系數隨孔隙率變化的關系

計算得到材料的分形維數為df=2.51 68，當溫度為T=300 K時，可得到硬硅鈣石二次粒子纖維壁有效導熱系數隨孔隙率變化曲線如圖6所示。由圖6所示，材料的有效導熱系數隨孔隙率的增大而減小，這是因為氣相的導熱系數遠小于固相的導熱系數。當材料的孔隙率較小時，其有效導熱系數隨之增加而減小的幅度大；當材料的孔隙率較大時，其有效導熱系數隨之增加而減小的幅度小。

3.4 分形維數與硬硅鈣石二次粒子纖維壁有效導熱系數的關系

分形維數與硬硅鈣石二次粒子纖維壁有效導熱系數的關系，如圖7所示。

圖7 硬硅鈣石二次粒子纖維壁有效導熱系數隨分形維數變化的關系

圖7給出了T=300 K，φ=0.45時，材料有效導熱系數隨分形維數的變化曲線。由圖7可以得出即使是孔隙率相同的同種材料，當內部固相的尺度或者分布(分形維數描述)不同時，其有效導熱系數也不同。

4 結束語

(1)采用分形理論分析硬硅鈣石二次粒子纖維壁的有效導熱系數，建立有效導熱系數關于材料孔隙率、分形維數以及氣固導熱系數的函數關系式。

(2)基于硬硅鈣石二次粒子殼體表面纖維及孔隙微尺度電鏡掃描照片，采用差分盒維數算法，得到纖維的分布符合分形特征，并計算了材料的分形維數，結合材料的孔隙率，較為精確地描述了材料的微觀空間結構。

(3)硬硅鈣石二次粒子纖維壁的有效導熱系數不僅與材料固相的自身性能有關，還與其內部的微尺度空間結構(纖維的分布、孔隙率)、材料的使用溫度等因素相關。

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