Brown自檢校模型相關性分析與改進

楊韞瀾，韓 玲，胡海彥

(1. 長安大學,陜西 西安710054; 2. 61363部隊，陜西 西安 710054; 3. 信息工程大學地理空間信息學院,河南 鄭州 450052; 4. 地理信息工程國家重點實驗室,陜西 西安 710054; 5. 西安測繪研究所,陜西 西安 710054)

一、引 言

1965年,美國攝影測量學者Duane C. Brown通過大量試驗，對近景相機各種幾何畸變進行了深入分析[1]，給出了改正成像畸變的補償模型

在此基礎上，后續研究者也做了大量卓有成效的工作[2-5]。Brown模型最初是為膠片式相機設計的，但實踐已經表明其對于數字相機也適用。

Brown自檢校模型中的各種自檢校參數，也稱為附加參數。大量附加參數的使用補償了各種確定和不確定誤差，同時也帶來了各種相關性，并在一定程度上有可能降低平差精度，相關研究隨著模型的提出一直未曾中斷。本文在分析Brown模型相關性的基礎上，對模型進行了改進，并進行試驗驗證，結果表明改進模型的自檢校效果更好。

二、Brown自檢校模型改進

Brown提出的自檢校模型在近景攝影測量中作為“標準”已普遍應用，但Brown 模型存在一個問題，即參數間的強相關性。這里分析該模型的強相關性對自檢校的影響，并給出改進后的新模型。

1. Brown自檢校模型

Brown自檢校模型中的參數包括內部定向參數(Δx0,Δy0,Δf)、徑向畸變參數(K1,K2,K3)及偏心畸變參數(P1,P2)等。

(1) 徑向畸變

對于大多數相機而言，徑向畸變是最主要的幾何誤差，它是由每個獨立鏡頭組件間的折射率差異引起的，徑向畸變是對稱的，且有正有負，對應的二維像空間改正量為Δxr、Δyr

(2) 偏心畸變

鏡頭組件偏離主光軸的離心效果會導致偏心畸變，偏心畸變包含徑向和切向兩部分。二維像坐標下的偏心畸變表示為Δxd、Δyd

(3) 面外畸變

焦面的非平整性會導致面外誤差，表示為Δru。二維坐標下的分量Δxu和Δyu表示為

(4)

(4) 面內畸變

面內畸變Δrf的出現是由于膠片相機的膠面伸縮所致。CCD相機的伸縮影響是指x和y坐標間的不同尺度導致的伸縮比。為避免過度參數化，通常Δrf在二維坐標下建模為

式中，B1和B2稱為仿射和裁切系數。該式顧及了像坐標軸間的尺度比例差異及非正交性。

Brown模型即是基于上述徑向畸變和偏心畸變的數學形式建立的。如將式(5)加入到式(1)，即可得到近景數字相機檢校中常用的10參數擴展模型[6]

2. 相關性分析與模型改進

近景相機自檢校中主要關注3種強相關性：內部定向(IO)參數與外部定向(EO)參數間的強相關性；主點偏移和偏心畸變參數P1、P2間的強相關性； Δf和面內畸變參數B1間的強相關性。

第1種強相關性在長焦相機檢校中影響較嚴重，在其他情況下，只要攝影配置得當，其影響很小[6]。第2、3種強相關性經常發生，所以這里重點分析。第2、3種強相關性其實是固有的，這主要是由Brown模型的多項式特性先天決定的。為了說明如何進行模型改進，這里以一個普通的二元多項式為例，取多項式前五項(忽略掉與相關性分析無關的常數項)為

為了最小化相關性，根據多項式逼近原理與Weierstrass定理[7]，如果要進行嚴格逼近，所有ΔxP中的參數都應與ΔyP中的參數相互獨立，b1、b2、b4、b5應被a2、-a1、-a3、-a4相應地代替。強相關公式(7)則改化為如下的低相關公式

為了進一步描述正負號差異的影響，給出以下兩組公式

類似參照式(8)，面內畸變應該寫為

式(11)與式(5)處理縮放影響的效果十分類似，優點是在沒有過度參數化的條件下使得B1和Δf之間的相關性大為降低。如圖1所示，相比式(5)，式(11)更有利于和Δf的幾何效果進行區分，這也直接導致式(11)中Δf和B1兩參數間的相關性更小。

圖1 (a)、(b)、(c)中的仿射參數B1>0時對應的幾何影響效果

三、試驗與結論

1. 試驗數據集

由于希望避免其他誤差對相關性分析的干擾，因此這里采用了模擬數據進行試驗分析與驗證。虛擬相機的焦距為8 mm，像面為7 mm×7 mm，像元大小為4 μm×4 μm，像點量測的高斯噪聲標準差(std.dev)為0.1個像元。

試驗中使用了兩組模擬數據，分別包含10張、4張影像，如圖2所示。在10張影像的攝影構形中，其中兩張是俯視拍攝，其余8張是繞3D測試場每45°拍攝一張。這種高度冗余、高度可靠的攝影構形是按照文獻[8]建議的攝影構形進行模擬攝影的。4張影像的攝影構形類似于文獻[9]所采用的攝影構形，繞3D測試場每90°攝影一次。

圖2 試驗所用的攝影構形

2. 近景測量試驗

近景試驗目的主要是進行相關性分析并驗證所提出偏心畸變及面內畸變改進模型的有效性。試驗所用數據為上述的10張、4張兩組模擬仿真影像。

(1)強相關性驗證分析

對虛擬相機，設定Δx0、Δy0、Δf、K1非零，K2=K3=P1=P2=0。P1、P2為0意味著不存在標稱偏心畸變，且可做到對式(3)、式(9)和式(10)的公平比較。自檢校過程中會一并給出精確EO參數。Δx0和P1以及Δy0和P2的相關性系數見表1。

表1 像主點偏移和不同公式對應的離心畸變間的相關性

從表1可見，式(9)的相關性要比式(3)的相關性小得多,而與式(8)形式相近的式(10)在兩個試驗里相關性都最低。這一結果充分印證了前文的理論分析，即偏心畸變參數與主點之間存在強相關性，這主要是因為式(3)不像式(8)那樣能有效地降低相關性，換言之，這些強相關性本質上是由于Brown模型中偏心畸變自身的多項式表述形式導致的。近景攝影相機定向(3個IO參數Δx0、Δy0、Δf乃至3個角元素ω、φ、κ的確定)中，若采用多項式自檢校模型則會引起明顯的強相關現象，且其幾乎獨立于攝影區域的攝影幾何構形(即采用區域性特殊幾何構型攝影無法消除其影響)。這些強相關性存在于自檢校模型各項中，包括線性項x、y及xy中。只有遵從式(8)中的剔除規則，這種強相關性才有望避免。

(2) 像主點確定

由于Brown模型中偏心畸變是多項式表達形式，所以這種強相關性是必然存在的，因此有必要研究這種相關性對主點位置確定所造成的定量化影響。

設定虛擬相機的Δx0、Δy0、Δf、K1、P1、P2為非零標稱值。考慮到偏心畸變量在像幅的邊緣很少超過10 μm[10]，虛擬相機的偏心畸變設定為從1 μm遞增到10 μm。

高度冗余的10影像攝影網絡設計了兩種檢校策略：第一種策略是平差中僅使用Δx0、Δy0、Δf、K1參數；第二種策略是再追加式(3)中的P1、P2參數。策略一的主要目的是為了描述偏心畸變對主點位置確定所造成的影響；策略二更傾向于分析自檢校中這兩者的相互作用。

(12)

式中，ei為像點殘差；N為多余觀測數量(約束條件數減去未知數個數)。

由于在諸多數字相機物鏡中存在顯著偏心畸變[7，11]，而且自檢校中強相關性所產生的不良影響也是顯著的，因此建議在自檢校中盡量采用偏心畸變參數，這樣不僅可以降低像點量測殘差，而且可以提高主點位置的精度。

圖3 未補償偏心畸變下的檢校結果變化情況

圖4 不同偏心畸變下的檢校結果變化情況

3. 結 論

從數學觀點來看，由于多項式的各項之間存在強相關性，因此自檢校模型采用代數多項式是不適宜的。尤其在近景攝影情況下，采用Brown模型必定會造成極強的相關性，從而給最終結果帶來不確定性影響。這些在采用多項式自檢校模型中必然固有的相關性是獨立于區域性攝影幾何構形的。用模擬試驗對Brown模型的相關性進行了分析，驗證了模型自身存在強相關特性，且這種強相關性會影響到主點標定的精度和可靠度，本文提出的面內畸變改進模型與焦距的相關性很低，從而對獲得更好的檢校結果十分有益。

參考文獻：

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