一類廣義變分不等式組的迭代算法

張麗娟，佟慧

(河北大學 數學與計算機學院，河北 保定 071002)

1 預備知識

變分不等式是由Stampacchia[1]在1964年導出的，在工業生產、金融學、社會學等方面有廣泛應用，變分不等式理論成為重要的數學分支，它的理論和方法仍在不斷發展和創新，許多數學家和工程技術人員都對此問題進行研究[1-9].近來Noor[3]考慮了多個不同非線性算子的變分不等式組，利用投影算子方法，提出并分析迭代算法，在適當的條件下證明迭代序列的收斂性.本文主要是在Banach空間下討論多個不同非線性算子的變分不等式組，得到的結果能夠運用到Lp,Wm,p(p>1)等更為廣泛的空間.

設B是實Banach空間，B*是它的對偶空間，〈.,.〉是B和B*的偶對(泛函的取值)，2B記為B的子集全體.廣義對偶映射Jq(x):B→2B*定義為

Jq(x) = {f*∈B*:〈x,f*〉=‖x‖q,‖f*‖=‖x‖q-1},

q>1是常數.J2稱為正規對偶映射，對所有的x∈B，Jq=‖x‖q-2J2.當空間B*是嚴格凸時,Jq(x)是單值的.假設空間B*是嚴格凸的，則Jq(x)是單值的.記J2=J,若B=H是Hilbert空間，J2=I是H上的恒等映射.

設C是B的非空閉凸子集.映射Q:B→C稱為向陽的，如果

Q(Qx+t(x-Qx))=Qx,?x∈B,?t≥0,

映射Q:B→C稱為保核的,如果對x∈C有x=Qx.若B是光滑的，則B映為C的向陽非擴張保核映射是唯一確定的.

引理1[10]設B是實光滑的Banach空間,C是B的非空閉凸子集.設QC:B→C是保核的,J,Jq是B上的正規對偶映射和廣義對偶映射，則以下結論等價：

a)QC是向陽非擴張的.

b)‖QCx-QCy‖2≤〈x-y,J(QCx-QCy)〉,?x,y∈B.

c)〈x-QCx,Jq(QCx-y)〉≥ 0,?y∈C,x∈B.

(1)

引理2[11]設B是實q(q>1)一致光滑的Banach空間,則存在常數cq>0,使得

‖x+y‖q≤‖x‖q+q〈y,Jqx〉+cq‖y‖q,?x,y∈B.

特別的，B是2-一致光滑的Banach空間，則存在常數c2>0,使得

‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,Jx〉+c2‖y‖2,?x,y∈B.

設C是B的非空閉凸子集，Ti:C×C→B,fi:C→B,gi:C→C,i=1,2是給定的非線性映射，考慮變分問題：求點(x*,y*)∈C×C,使得

〈π1T1(y*,x*)+g1(x*)-f1(y*),Jq(x-g1(x*))〉≥0,?x∈C,π1>0;

(2)

〈π2T2(x*,y*)+g2(y*)-f2(x*),Jq(x-g2(y*))〉≥0,?x∈C,π2>0.

(3)

這個問題稱為廣義變分不等式組，其中π1和π2是2個參數，它在研究迭代法的收斂性分析時起重要作用.廣義變分不等式組包含了一些特殊型的變分不等式和優化問題.

定理1 設B是光滑Banach空間,Ti(i=1,2):C×C→B是2個任意算子，π1和π2是2個任意正數，則(x*,y*)∈C×C是變分不等式組(2),(3)的解當且僅當(x*,y*)滿足算子方程

g1(x*)=QC[f1(y*)-π1T1(y*,x*)],π1>0,

(4)

g2(y*)=QC[f2(x*)-π2T2(x*,y*)],π2>0.

(5)

證明：變分不等式(2)可以寫成

〈[f1(y*)-π1T1(y*,x*)]-g1(x*),Jq(g1(x*)-x)〉≥0,?x∈C,π1>0.

由QC的性質(1),上述公式等價于

g1(x*)=QC[f1(y*)-π1T1(y*,x*)],π1>0.

類似地，變分不等式(3)等價于以下公式

g2(y*)=QC[f2(x*)-π2T2(x*,y*)],π2>0.

2 迭代算法和收斂性分析

利用定理1的2個等價公式，構造變分不等式組解的迭代算法.

算法對任意的初值x0,y0∈C,計算序列{xn}和{yn}，使得

(6)

其中QC是B映為C的向陽非擴張保核映射，π1>0和π2>0是常數，{αn}是(0,1]的序列.

下面用隱迭代序列討論變分不等式組解的逼近問題.首先給出以下定義.

定義1 映射T:C×C→B稱為r強增生的，如果存在常數r>0,使得

〈T(x1,y)-T(x2,y),Jq(x1-x2)〉≥r‖x1-x2‖q,?x1,x2,y∈C.

定義2 映射T:C×C→B稱為γ松弛協強制的，如果存在常數γ>0,使得

〈T(x1,y)-T(x2,y),Jq(x1-x2)〉≥-γ‖T(x1，y)-T(x2,y)‖q,?x1,x2,y∈C.

定義3 映射T:C×C→B稱為(γ,r)松弛協強制的，如果存在常數γ>0,r>0,使得

〈T(x1,y)-T(x2,y),Jq(x1-x2)〉≥-γ‖T(x1，y)-T(x2,y)‖q+r‖x1-x2‖q,?x1,x2,y∈C.

(γ,r)松弛協強制算子類比強增生算子類廣.

定義4 映射T:C×C→B稱為關于第1變量μ李普希茲連續，如果存在常數μ>0,使得

‖T(x1,y)-T(x2,y)‖≤μ‖x1-x2‖，?x1,x2,y∈C.

引理3[12]{sn}是滿足下列條件的非負序列：

sn+1≤(1-λn)sn+βn,?n≥0.

b)0 ≤ω1+π1μ12<1,0≤ω2+π2μ22<1;

c)(θ1+ξ1)(θ2+ξ2)<(1-ω1-π1μ12)(1-ω2-π2μ22),

其中

(9)

則對任意的初值x0,y0∈C，由算法得到的xn，yn分別強收斂到x*和y*.

證明：由式(4)可得

x*=(1-αn)x*+αn{x*-g1(x*)+QC[f1(y*)-π1T1(y*,x*)]},π1>0.

由式(6)和QC的向陽非擴張保核性質可得.

‖xn+1-x*‖=
‖(1-αn)xn+αn{xn-g1(xn)+QC[f1(yn)-π1T1(yn,xn)]}-(1-αn)x*-αn{x*-g1(x*)+
QC[f1(y*)-π1T1(y*,x*)]}‖ ≤
(1-αn)‖xn-x*‖+αn‖xn-x*-[g1(xn)-g1(x*)]‖+
αn‖f1(yn)-π1T1(yn,xn)-[f1(y*)-π1T1(y*,x*)]‖≤
(1-αn)‖xn-x*‖+αn‖xn-x*-[g1(xn)-g1(x*)]‖+
αn‖yn-y*-[f1(yn)-f1(y*)]‖+αn‖yn-y*-π1[T1(yn,xn)-T1(y*,x*)]‖,

其中

‖yn-y*-π1[T1(yn,xn)-T1(y*,x*)]‖≤

‖yn-y*-π1[T1(yn,xn)-T1(y*,xn)]‖+π1‖T1(y*,xn)-T1(y*,x*)‖.

T1關于第2變量μ12李普希茲連續性，得‖T1(y*,xn)-T1(y*,x*)‖≤μ12‖xn-x*‖.由引理2，T1的(γ1,δ1)松弛協強制性且關于第1變量μ11李普希茲連續性，得

因此

‖yn-y*-π1[T1(yn,xn)-T1(y*,xn)]‖≤θ1‖yn-y*‖,其中θ1由式(7)定義.類似地，利用f1的(η1,ρ1)松弛協強制性且λ1李普希茲連續性，得到

‖yn-y*-[f1(yn)-f1(y*)]‖≤ξ1‖yn-y*‖.

‖xn-x*-[g1(xn)-g1(x*)]‖≤ω1‖xn-x*‖.

其中ξ1和ω1由式(8)和式(9)定義.綜上可得

‖xn+1-x*‖≤[1-αn(1-ω1-π1μ12)]‖xn-x*‖+αn(θ1+ξ1)‖yn-y*‖.

(10)

由式(5)、式(6)和QC的向陽非擴張保核性質可得，

‖g2(yn+1) -g2(y*)‖=
‖QC[f2(xn+1)-π2T2(xn+1,yn+1)]-QC[f2(x*)-π2T2(x*，y*)]‖≤
‖f2(xn+1)-π2T2(xn+1,yn+1)-[f2(x*)-π2T2(x*,y*)]‖≤
‖xn+1-x*-[f2(xn+1)-f2(x*)]‖+‖xn+1-x*-π2[T2(xn+1,yn+1)-T2(x*,y*)]‖,

其中

‖xn+1-x*-π2[T2(xn+1,yn+1)-T2(x*,y*)]‖≤
‖xn+1-x*-π2[T2(xn+1,yn+1)-T2(x*,yn+1)]‖+π2‖T2(x*,yn+1)-T2(x*,y*)‖.

T2關于第2變量μ22李普希茲連續性，得‖T2(x*,yn+1)-T2(x*,y*)‖≤μ22‖yn+1-y*‖.由引理2，T2的(γ2,δ2)松弛協強制性且關于第1變量μ21李普希茲連續性，得

從而‖xn+1-x*-π2[T2(xn+1,yn+1)-T2(x*,yn+1)]‖≤θ2‖xn+1-x*‖,其中θ2由式(7)定義.類似地，利用f2的(η2,ρ2)松弛協強制性且λ2李普希茲連續性，得到

‖xn+1-x*-[f2(xn+1)-f2(x*)‖≤ξ2‖xn+1-x*‖.

‖yn+1-y*-[g2(yn+1)-g2(y*)]‖≤ω2‖yn+1-y*‖.

其中ξ2和ω2由式(8)和式(9)定義.綜上可得

‖yn+1-y*‖≤
‖yn+1-y*-[g2(yn+1)-g2(y*)]‖+‖g2(yn+1)-g2(y*)‖≤
ω2‖yn+1-y*‖+ξ2‖xn+1-x*‖+θ2‖xn+1-x*‖+π2μ22‖yn+1-y*‖.

因此

(11)

把式(11)代入式(10)得出

根據條件(a),(c)由引理3得出

由式(11)可得

參 考 文 獻:

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