底點緯度的一種便捷算法

2014-08-16 03:10:08李澤球

測繪通報 2014年3期

李澤球

(武漢電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北武漢 430079)

一、引言

高斯投影正反算中需要計算子午線弧長和底點緯度，其計算公式對于不同的參考橢球稍有差別，但都比較復(fù)雜。相對而言，子午線弧長計算比較容易，是推導(dǎo)精度很高的實用公式；而底點緯度計算公式的推導(dǎo)則困難得多。不少學(xué)者曾花費了大量精力，采用不同方法，推導(dǎo)了多種底點緯度的計算公式。到目前為止，這些公式大多需要編程計算，過程復(fù)雜，操作麻煩。因此，底點緯度計算成為高斯投影計算中的一大難點。本文介紹應(yīng)用單變量求解計算底點緯度的方法，其不需要底點緯度計算公式，更不需要編寫計算程序，而是直接用子午線長度公式計算，精度高，速度快，操作簡單，非常方便。

二、應(yīng)用單變量求解計算底點緯度

單變量求解是Excel中“工具”下拉菜單中的一個功能項。單變量求解的實質(zhì)是解一個未知數(shù)的方程：對于一個確定的函數(shù)式y(tǒng)=f(x)，已知y，求x的值。

在某一單元格中輸入公式f(x)；點擊“工具”下拉菜單中的“單變量求解”，在彈出的對話框中，輸入目標單元格、目標值和可變單元格，點擊“確定”；彈出“確認”對話框，再點擊“確定”，確認計算結(jié)果；在目標單元格中顯示目標值，在可變單元格中顯示解算結(jié)果。目標單元格就是存放函數(shù)公式的單元格，目標值就是函數(shù)值y，可變單元格就是存放自變量x的單元格；輸入y值，反求x值。

在高斯投影正反算中，子午線弧長計算和底點緯度計算互為逆運算。因此，應(yīng)用單變量求解這一功能，借助于子午線弧長計算公式，就能快速計算出底點緯度。1975國際橢球子午線長度X計算公式為

X=6 367 452.132 73B-16 038.528 2sin 2B+

16.832 6sin 4B-0.022 0sin 6B

(1)

式中，B為緯度，以弧度為單位。其根據(jù)被積函數(shù)展開級數(shù)逐項積分求得，并舍去對計算結(jié)果無明顯影響的高次項，與文獻[1]中的公式基本相同，只是系數(shù)多取了1位，更精確。對于式(1)，如果已知X，反求B，就是反算底點緯度，即單變量求解。下面以實例說明應(yīng)用單變量求解計算底點緯度的方法。

三、計算實例

已知高斯平面坐標x=3 275 611.188，試計算底點緯度Bf。

打開一張Excel工作表，選擇B1為目標單元格，B2為可變單元格。在單元格B1中輸入：“=6 367 452.132 73*B2-16 038.528 2*SIN(2*B2)+16.832 6*SIN(4*B2)-0.022*SIN(6*B2)”，并確認。此時，單元格B1顯示0，因為B2單元格無數(shù)據(jù)。

點擊“工具”下拉菜單中的“單變量求解”，在彈出的對話框中，目標單元格欄輸入B1、目標值欄輸入3 275 611.188，可變單元格欄輸入B2，點擊“確定”，瞬間完成計算；并彈出確認對話框，再點擊“確定”，確認計算結(jié)果。此時目標單元格B1中顯示目標值3 275 611.188，可變單元格B2中顯示解算結(jié)果0.516 591 619 52，如圖1所示。B2中顯示的就是反算的底點緯度(以弧度為單位)，設(shè)定B2顯示11位小數(shù)(相當于百萬分之一秒的精度)，但實際上算到了15位小數(shù)，其精度足以滿足任何高精度的需要。

在B3單元格中輸入一個將弧度值換算成度分秒角度的計算公式，得到以度分秒為單位的底點緯度29°35′54.″670 3。圖1中B3單元格中顯示格式為：小數(shù)點代表度，小數(shù)點后兩位為分位，小數(shù)點后三、四位為秒位，再后面是秒的小數(shù)位。