GPS高程異常擬合研究及精度分析

閆建偉 ，周長江

(1.鐵道第三勘察設計院集團有限公司，天津 300142；2.中國礦業大學環境與測繪學院，江蘇 徐州 221116)

0 引 言

GPS測量具有精度高、實時、快速等優點，廣泛用于工程測量、變形監測等領域，且平面定位精度已經很高，但GPS高程由于精度不高并沒有在生產中得到廣泛的應用。傳統的水準測量方法，需要耗費大量的人力、物力，效率很低。GPS高程現代化就是在這種背景下由美國大地測量局為代表提出，其核心思想就是要用GPS高程代替傳統的水準測量方法。GPS高程是以參考橢球為基準的大地高，而生產常用的是以似大地水準面為基準的正常高，這兩者之間的差值叫做高程異常，若能求出高精度的高程異常值就可以求出正常高H.多項式擬合、基于BP人工神經網絡的方法是高程擬合模型中用得比較多的方法。

1 正交多項式擬合法

假設對于某區域測了一些離散的點，這些點的大地高HG和正常高H是已知的，就可以得到這些點的高程異常。

ζ=HG-H.

(1)

當有n+1個已知點時就可以擬合一個m次(m

(2)

其中x為已知點到參考點的距離，一般認為是已知點到測區坐標平均值的直線距離。由于上述多項式的系數矩陣往往是病態的，矩陣的敏感度非常大，對求解不利。若可以構造一組多項式系數Qj(x) (j=0,1,2……m)，而這組系數是不大于m且在給定點上是正交的函數，則可以先用Qj(x)作為基函數進行最小二乘擬合為

ζm=q0Q0(x)+q1Q1(x)+……qmQm(x),

(3)

系數

(4)

把qj代入到式(3)中，并將其化為一般多項式式(2)的形式。在構造點上的正交多項式Qj(x)的遞推公式如下：

Q0(x)=1

Q1(x)=x-a0

Qj+1(x)=(x-aj)Qj(x)-βjQj-1(x)，

j=0,1,2……m-1,

(5)

根據以上各式求出高程異常ζ關于x的多項式，則就可以通過未知點的坐標插值出測區其它點的高程異常值，再根據對應點的大地高求出正常高。

2 基于BP人工神經網絡GPS高程擬合方法

2.1 標準BP神經網絡

(6)

神經網絡通過對已知部分樣本數據進行學習訓練，不斷的比較網絡輸出和實際輸出的差值，不斷反向調整隱含層和輸入層間的權值使誤差達到最小，從而不斷逼近目標函數。當網絡訓練學習達到既定的精度要求時，就可以對實驗數據進行一個預測，也就是仿真，這就是BP神經網絡的的工作原理。

在用BP神經網絡進行GPS高程異常擬合時，網絡輸入為已知點的平面坐標P(x,y)，輸出為已知點的高程異常ζ,即建立如下的非線性的映射關系。

ζ=f(x,y).

(7)

2.2 附有動量的自適應學習速率調整法

標準的BP算法原理簡單，但是收斂速度很慢容易陷入局部極值點，因為BP算法是以梯度下降為基礎的，只具有線性收斂速度，并且BP網絡算法是一個非線性的優化問題，這就不可避免存在局部極小問題。為了解決這些問題，附加動量的BP網絡通過引入一個動量因子mc(0≤mc≤1)，不僅考慮誤差在梯度上的影響，還考慮誤差曲面上變化趨勢的影響，從而使誤差向著誤差曲面底部的平均方向變化。

BP神經網絡是一種競爭性神經網絡，網絡中權值的調整與學習速率和梯度有很大關系。當網絡中權值調整降低了誤差函數時，說明學習速率變小了，需要增加學習速率的值。而當網絡中權值調整沒有降低誤差函數時，說明速率偏大，應該減小學習速率的值。總之，學習速率應該是動態變化的。但是標準BP網絡中學習速率是不變的，因此有人提出了改進的BP算法，即自適應學習速率調整法，讓學習速率隨網絡的訓練狀態動態調整其值大小。通過將附加動量和自適應學習速率調整結合起來可以大大加快收斂速度，并極大提高轉換精度。

2.3 Levenberg-Marquardt算法

標準BP算法中僅利用了目標函數的一階導數信息，沒有利用目標函數的二階導數信息對網絡訓練精度進行改進。Levenberg-Marquardt算法彌補了這一缺點，通過利用目標函數的二階信息構成了一種超線性收斂的方法。這種方法是以非線性優化理論為基礎，將BP多層網的訓練問題歸結為一個非線性的規劃問題。但這種算法也帶來了一些實際問題，BP多層網是一種并行處理結構，要采用這種算法，必須將網絡的權值展開以構成一個權向量來進行各種向量或矩陣運算，這對與多層網的并行處理有較大的影響，使運算工作量增加。

3 實例計算

根據上述原理采用matlab編制相應的程序對實驗數據進行實驗并分析實驗精度。實驗數據選自某地區聯測了水準的54個點，這些點的正常高和大地高都已經知道，因此可以求出它們的高程異常。將這些已知數據分為兩組，一組34個點作為已知點進行擬合，在神經網絡算法中作為學習樣本進行網絡訓練。另一組20個點作為檢驗點進行誤差檢驗和精度評定。這些GPS點點位分布情況和高程異常值如圖1所示。

圖1 已知數據點位分布情況和高程異常

簡單的BP神經網絡只有2層，即隱含層和輸出層。其中隱含層的層數確定目前還沒有成熟的理論。在編制matlab程序時，把隱含層設為一層，神經元個數為5個。網絡輸入為樣本點的x、y坐標，輸出為相應點的高程異常，即建立一個2×5×1的BP神經網絡。在Matlab程序中，需要對網絡某些參數賦初值。在標準BP算法中，把最大學習次數設為12 000，目標誤差為0.001，附加動量因子mc=0.9，學習速率取為0.8.程序運行后檢驗點的預測高程異常和與已知值的誤差結果如表1所示(其中誤差的單位為cm，高程異常的單位為m)：

表1 檢驗點的預測高程異常和與已知值的誤差

從表1中可以看出，正交多項式擬合法誤差很大，標準BP算法誤差要小于正交多項式擬合法，但是誤差也比較大，在改進的BP算法中，LM算法誤差和附加動量的自適應學習速率調整方法誤差相比前兩種方法有很大提高。

4 精度分析

4.1 內符合精度

GPS高程異常擬合的精度評價應有內符合精度和外符合精度兩部分組成。內符合精度是算法的內在殘差。將參與擬合的34個已知點代入到算法中求出其預測高程異常值ζ與已知值ζ差值，則其殘差為V=ζ′-ζ，則內符合精度為

(8)

4.2 外符合精度

外符合精度指模型的外推精度，通過檢驗模型擬合值與已知值的誤差大小可以了解模型與目標值的逼近情況。實驗中將20個檢驗點代入到程序中求出其擬合高程異常ζ′與其已知的值的ζ差值，則其誤差為V=ζ′-ζ.則外符合精度為

(9)

求出這幾種方法的內外符合中誤差，并繪制出不同算法的內在和外推殘差曲線，由于正交多項式法誤差較大，在此僅繪出標準BP神經、附加動量的自適應算法、Levenberg-Marquardt算法的誤差曲線，結果如表2和圖2、圖3所示。

表2 幾種算法的內外符合精度

圖2 三種模型檢核點內殘差對比

圖3 三種模型外檢核殘差對比

從以上實驗結果可以看出，正交多項式擬合法只能達到分米級精度，精度遠不如標準BP神經網絡。標準BP神經網絡在精度上較多項式擬合法有很大改善，但是收斂速度很慢，需要迭代將近1 000次才能達到目標誤差，擬合后的殘差也比較大。在改進的BP算法中，附加動量的自適應方法和Levenberg-Marguardt方法在網絡預測方面均優于標準BP神經網絡，其中Levenberg-Marguardt收斂速度最快，通過幾十次迭代就可達到目標誤差。對于這兩種模型來說，附加動量的自適應法精度上要略優于LM算法，在實際應用過程中要結合具體實例，當已知的學習訓練樣本數據比較多時，為了達到較高的精度，宜選用Levenberg-Marguardt法。當樣本數據比較少時，選擇附加動量的自適應方法。

5 結束語

GPS高程轉換方法有多種，每種方法針對不同的擬合數據都有其優缺點，在進行應用時要結合測區實際情況選取適合的方法進行計算。本文主要針對多項式擬合和BP 神經網絡及其改進算法進行了論述，并結合具體項目數據進行實驗，對比不同方法的擬合精度，分析了各個方法針對本區域的適用情況，由于文中所選的已知數據是通過GPS處理軟件后處理得到，部分已知數據存在粗差，個別點擬合后精度不是很高。在實際應用中，應盡量選用精度較高的已知數據，這對提高GPS高程轉換精度有很大幫助。

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