基于Prony算法的發電機組間功率低頻振蕩在線辨識新方法

劉 森，于贊梅，桑天松

(1.河北省電力勘測設計研究院，石家莊 050031；2.國網河北省電力公司石家莊供電分公司，石家莊 050051；3.國網冀北電力有限公司，北京 100053)

基于Prony算法的發電機組間功率低頻振蕩在線辨識新方法

劉 森1，于贊梅2，桑天松3

(1.河北省電力勘測設計研究院，石家莊 050031；2.國網河北省電力公司石家莊供電分公司，石家莊 050051；3.國網冀北電力有限公司，北京 100053)

針對Prony算法抑噪能力差、計算效率低的問題，分析Prony算法的原理和主要參數的選擇策略，提出一種基于Prony算法的發電機組間功率低頻振蕩在線辨識新方法，從模型有效階數確定、AR參數估計、數據預處理等方面說明該方法的計算步驟，通過算例仿真及結果分析，認為該方法能夠滿足電力系統低頻振蕩在線辨識的需要。

Prony算法；發電機組；低頻振蕩；在線辨識

電力系統在動態過程中有時會出現發電機組間功率的動態振蕩，其振蕩頻率一般為0.1～2.5 Hz，稱為低頻振蕩。隨著電網互聯及電力電子等非線性元件的大量使用，區域間的低頻振蕩成為威脅系統穩定的關鍵因素之一，快速而有效地對低頻振蕩特性進行監視，對實現有效阻尼控制，進而提高電網穩定性具有重要的現實意義[1]。常用的實測信號的分析方法主要有Fourier變換、小波分析(或結合人工神經網絡)等。Fourier分析方法與各種改進的FFT和DFT已成為現代頻譜分析和諧波分析的基礎，但其并不適用于突變信號和非穩定信號的分析；小波變換具有時域局部化和頻域局部化性質，其對突變信號非常敏感，可以準確檢測擾動的發生時刻，有良好的消噪能力等，但小波變換也存在著不足，如小波基函數選取的不同，對結果會產生很大的影響，同時小波變換尺度的選擇也是重要的影響因素；神經網絡(ANN)方法具有不必對被研究對象建立明確的數學模型，能進行自學習等特點，但ANN存在理想的訓練樣本提取困難，網絡結構不易優化，擴展性差等缺點。近年來，Prony算法在大規模動態系統辨識中的應用研究得到了廣泛的重視[2]。在最小方差意義下，Prony算法可以獲得對系統動態特性曲線的最佳擬合；通過分析系統響應信號，可以直接估計出系統的頻率、相位和振幅。Prony算法的優點之一是在線應用，可以及時辨識系統低頻振蕩的頻率和幅值等。但用于Prony在線分析的數據不可避免要受到噪聲的污染，傳統的Prony算法對噪聲敏感，抑噪能力弱，計算效率低，不適于在線應用[3]。同時，現場信號直流分量和高頻諧波分量的影響，會使Prony算法辨識精度下降。以下提出一種基于Prony算法的發電機組間功率低頻振蕩在線辨識新方法，其具有良好的抗噪性、精確度和計算速度。

1 Prony 算法分析

Prony算法是采用指數函數的線性組合來描述等間距采樣數據的數學模型，其是在自回歸模型(AR)或自回歸滑動(ARMA)模型的基礎上，利用最小二乘法估算給定信號的頻率、幅值和相位。利用Prony算法能直接提取信號的特征量，同時可對結果進行特征分析。

1.1 Prony算法的原理

Prony算法的實質是用一組復指數項的線性組合來擬合等間距采樣數據，形如

(1)

式中：zi=eλiΔt。Prony算法證明式(1)規定的信號過程服從N階自回歸過程，即有

(2)

可以用來確定信號的自回歸系數{ak}。zi是下列代數方程的根

(3)

zi求出后，根據最小二乘法即可求解Bi。至此，Prony算法所要辨識的參數λi、Bi均已得到。

1.2 Prony算法主要參數的選擇策略

抽樣頻率：要獲得正確的估計，信號抽樣應滿足Nyquist抽樣定理，即抽樣頻率應大于信號最高頻率的2倍，以避免頻譜發生混疊。但抽樣頻率也不能過大，否則，在數據長度N已確定的情況下，信號長度將很短，勢必使參數估計精度下降。在實際應用中，抽樣頻率大于2倍最高頻率一般不夠，還應留有一定裕度。在低頻振蕩分析中，振蕩頻率一般為0.1～2.5 Hz，按4倍最高頻率采樣，采樣周期為0.1 s即可。

時間長度：在噪聲水平和抽樣頻率確定的情況下，一般信號長度越大，參數估計精度越高，時間長度至少應該包括2個周期最低頻率的振蕩。在低頻振蕩分析中， 一般取10～20 s的時間長度數據進行分析，而過長的時間長度可能無法辨識出衰減快的分量。同時，在時間間隔一定的情況下，時間長度過長將增加計算的復雜度，降低計算效率。

模型階數：由于電力系統動態過程中系統階數很高，不可能建立系統的全階模型，擬合模型都只是降階的近似模型。通常情況下，模型的階數是未知的。Prony方法最常用的定階描述為：選取初始階數pe，使其遠大于信號中實際包含的指數項個數，然后從pe個分量中選取p個分量的最優子集，使這p個分量在最小平方意義上逼近觀察到的數據。

2 發電機組間功率低頻振蕩在線辨識新方法

基于Prony算法的發電機組間功率低頻振蕩在線辨識新方法在對現場抽樣數據進行降噪處理的基礎上，對Prony模型進行降價，而降價模型仍能滿足數據高擬合精度的特點，該方法關鍵步驟為“模型有效階數確定”、“AR參數估計”和“數據預處理”三方面。

2.1 模型有效階數確定

奇異值分解(SVD)主要用于求解線性方程組。與該方程組相關聯的矩陣不僅表征所期望的解的特征，而且還常常傳達動態性能的信息。定義觀測數據的二階矩樣本函數

(4)

并構造擴展階的樣本矩陣

為使樣本矩陣包含全部的信號特征，取計算階數pe為[N/2]([·]表示取整)，N為采樣點數。AR參數{ak}的估計就是求解線性方程組

Re*[1a1…ape]T=[εp0…0]T

(6)

在低頻振蕩在線分析中，能夠辨識出系統的主導振蕩模式即可。若觀測信號是實數，則Prony分析得到的振蕩特征λi、Bi必以共軛形式成對出現。對樣本矩陣進行奇異值分解Re=U∑VH，對于階數為p的理想信號，存在如下的奇異值分布

σ1≥σ2≥…≥σp≥σp+1=…=σpe=0

(7)

即無噪聲擾動時樣本矩陣的值等于信號的實際階數p。稱由奇異值矩陣∑的前p個奇異值組成的矩陣∑p為信號子空間。由于噪聲的存在，奇異值矩陣∑的后pe-p維零空間將被噪聲子空間取代。通過劃分信號子空間和噪聲子空間的方法，可以獲得樣本矩陣Re的有效值估計值。定義歸一化比值

(8)

為單調遞增函數，比值隨k的增大而逼近1。預先確定一個非常接近1的閾值，當p是C(k)大于或等于該閾值的最小整數時，將p確定為樣本矩陣Re的有效秩。在低頻振蕩分析中，觀測信號子空間對應的奇異值遠大于噪聲空間對應的奇異值，可以快速有效確定模型有效階數。

2.2 AR參數估計

確定模型有效秩后，將奇異值矩陣∑的噪聲子空間以零空間取代，得到樣本矩陣在秩p下的最佳逼近Rp。樣本矩陣的有效秩意味著未知參數相量中只有p個待定參數是獨立的，于是，預測方程等價為

R(p)A=0

(9)

R(p)=[Rp(1:P+1),Rp(2:P+2),…,]

Rp(Pe+1-p:p+1)

(10)

(11)

式中：uj是酉矩陣U的第j列；vjk是酉矩陣V第j列的一個加窗段，定義為

(12)

根據最小二乘原理，方程式的最小二乘解等價于代價函數

S(p)a=αe

(13)

式中：e=[1,0,…,0]T，歸一化常數的選擇應使AR參數向量a的第一個元素為1。易知，S(p)必然存在逆矩陣S-(p)，則待求AR參數可由下式估計

ai=S-(p)(i+1,1)/S-(p)(1,1)

i=1,…,p

(14)

2.3 數據預處理

現場的抽樣數據包含有大量的噪聲，而且電力系統的低頻振蕩一般不是嚴格的平穩過程，特別是當發生故障而引發低頻振蕩時，采集的信號還會包括劇烈的突變過程。為了降低信號中高頻雜散分量的影響，在對數據進行Prony分析前應首先對其進行降噪預處理[4]。降噪的基本目的是減小噪聲部分的值，使降噪后信號盡可能逼近原始信號。

用各種方法采集的空間數據往往是按用戶自己的要求獲取的采樣觀測值，但有時用戶卻需要獲取未觀測點上的數據，同時，采樣的時間間隔對于Prony算法的分析精度有較大影響，如果實際應用中采樣頻率較低，可以通過一定的插值方法來彌補分析精度的不足。以下采用線性插值，其能夠保持較快速度，又有足夠精度；考慮一個隨時間變化的電信號，在數學上它是一個隨時間變化的函數，直流分量就是這個函數中不隨時間變化的部分，也就是該函數的平均值。去直流處理，這相當于放大了信號的振蕩部分；為了降低高頻雜散信號的影響，需要增加低通濾波環節。

3 算例仿真

為對仿真數據進行Prony分析，以下采用IEEE四機系統建立仿真模型，四機系統的電氣接線示意見圖1。

在系統正常運行條件下，模擬系統受到小擾動，1號發電機組機端輸入機械功率pm在0.5 s由0.7795(p.u.)躍變到1.0(p.u.)，仿真時間為15 s。對機端輸出的有功功率pi(i=1,2,3,4)數據預處理后進行Prony分析。對1、2號機組分析時，選擇采樣間隔為0.1 s，分析1～10 s間數據，91點。對3號、4號機組分析時，選擇采樣間隔為0.1 s，分析1～6 s間數據，51點。四機系統Prony分析結果見表1。

圖1 IEEE四機系統

表1 四機系統Prony分析結果

由表1可知，所有發電機組有功功率輸出都包含0.58 Hz頻率分量，振蕩模式頻率較低，屬于區域間振蕩模式。1、2號機組都包含1.10 Hz頻率分量，3號、4號機組都包含1.16 Hz頻率分量，符合就地機組振蕩模式的振蕩頻率。結果還顯示，對1號機組分析時，數據預處理階段耗時約81 ms，Prony分析階段耗時約165 ms，計算效率較高，效果也比較好，擬合后信噪比為42.93 db。

以1號機組為例，給出有功功率曲線擬合的對比結果。實線為仿真輸出曲線，虛線為采用Prony算法提取的特征參數進行擬合的結果。0.58 Hz振蕩模式在整個10 s分析時間都占有較大比重，見圖2。而1.10 Hz的振蕩模式主要存在于前6 s，如圖3所示。究其原因，由表1可看出1號機組1.10 Hz振蕩模式阻尼較好，明顯高于0.58 Hz振蕩模式阻尼，所以比0.58 Hz模式衰減的快，這2種振蕩模式的綜合與仿真曲線基本一致。

圖2 1號機組0.58 Hz分量與仿真值比較

在對1號機組有功功率分析中看出，雖然Prony算法不能完全辨識出所有的機電模式，但能夠辨識出系統的主導模式，并且擬合效果相當好，如圖4所示。

圖3 1號機組1.10 Hz分量與仿真值比較

圖4 1號機組主導分量與仿真值比較

算例仿真結果表明該方法本身具有良好的抑噪性，能夠正確估計出符合系統機電模式數目的模型有效階數，提高了計算速度，能夠滿足電力系統低頻振蕩在線辨識的需要。

4 結論

發電機組間功率低頻振蕩在線辨識新方法的擬合結果與其參數選擇有很大關系，如果參數選擇不當，該方法可能無法擬合，或者得到錯誤的結果，同時可能還會嚴重影響該方法的分析速度。主要參數的選擇不是完全獨立的，需要注意以下幾個方面：

a. 采樣頻率的選取。要獲得正確的估計，信號采樣應滿足Nyquist采樣定理，以避免頻譜發生混疊。但采樣頻率也不能過大，否則，在數據長度N已確定的情況下，信號長度將很短，勢必使參數估計精度下降。

b. 時間長度選取。在噪聲水平和采樣頻率確定的情況下，一般信號長度越大，參數估計精度越高，時間長度至少應該包括2個周期最低頻率的振蕩。時間長度應選擇合適，過小丟失數據信息，致使分析結果有重大誤差，甚至失敗。過長的時間長度可能無法辨識出衰減快的分量。

c. 數據預處理。采樣的時間間隔對分析精度有較大影響，如果實際應用中采樣頻率較低，可以通過一定的插值方法來彌補分析精度的不足。

[1] 倪以信，陳壽孫，張寶霖，等．動態電力系統的理論與分析[M].北京：清華大學出版社，2002．

[2] 郭權利.電力系統低頻振蕩[J]．電力系統保護與控制，2008，36(22)：114-116,119.

[3] 劉國平.基于Prony法的電力系統低頻振蕩分析與控制[D]．杭州：浙江大學，2004．

[4] 張賢達.現代信號處理[M]．北京：清華大學出版社，2002．

本文責任編輯：楊秀敏

New Method of Low-frequency Oscillation Online Identification of Power Generators Based on Prony Algorithm

As the traditional algorithm is sensitive to noise and has ineffective calculation，the basic principle of Prony algorithm is introduced in this paper，a new Prony method for online analysis of low-frequency oscillations between power generators is discussed in this paper．The calculation steps of the method are described by way of the identification of the practical order of the model,estimation of the parameters and the preprocess of the signal．The simulation results show that this method can meet the needs of low-frequency oscillations online identification.

prony algorithm；power generators；low frequency oscillation；online identification

2013-12-04

劉 森(1982-)，男，工程師，主要從事電力系統規劃與電氣設計研究工作。

TM743

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1001-9898(2014)01-0021-04