變焦距鏡頭高斯光學設計的新方法

徐麗

摘 要：變焦距鏡頭是在連續變焦過程中，仍保持成像面固定不動的一種光學系統。變焦距鏡頭不同于一般光學物鏡，主要在于這種物鏡不僅能連續變焦，且在變焦過程中，物和像之間的距離仍保持不變。要達到這些要求，必須連續滑動系統中的某些鏡組。從事變焦系統設計時，必定預先安排高斯結構，結構的好壞往往影響光學設計的最后結果。

關鍵詞：變焦距鏡頭；高斯；光學設計；新方法

引言

由于光信息和光通訊科技快速的進步與廣泛的應用，使得光電方面的產品不斷的推陳出新，并迅速成為市場上需求龐大的消費性產品，例如激光打印機、掃描儀、投影電視、攝錄放影機、數碼相機、望眼鏡、顯微鏡、光纖通訊等產品，因而近年來光電相關產業的發展十分蓬勃，在國內也是極有發展遠景的明星產業。居于關鍵性地位的光電零部件，將是影響產業發展的最重要因素，也是革新走向的風向標，尤其是光學透鏡可說是光信息與光電系統中不可或缺的關鍵性零部件。光學變焦能力取決于光學設計與機構設計，光學設計限制了變焦機構的選擇空間。一般運動機構不外乎齒輪、凸輪、螺旋與連桿等機構，又以凸輪機構為主，而且可經由機械補償來修正焦點的誤差。而光學變焦就是經由直流馬達帶動減速齒輪組，讓凸輪傳動機構轉動，借助兩組鏡群間距離改變達到變焦的動作。

傳統的光學變焦系統必須以為數頗多的球面鏡片組合而成，才能達到預期的效果，這樣非但所制成的產品十分笨重，制作成本也高。相對的，非球面鏡片一方面可提高光學變焦系統的性能，另一方面可以減少鏡片的數目，并使產品輕量化。因此，非球面光學系統有下列優點：有效的消除像差，提高影像光學品質；簡化復雜的多元結構，系統元件數量和尺寸滅少，重量減輕；使光學產品的應用范圍加大；制造成本降低。因此，非球面設計勢必會取代現存的大部分光學元件的球面設計。在幾何上，球面只要用到曲率一個參數便可表示或說明清楚。但非球面的表示可能要用到無窮級數來表達，因此有無限參數的可能，這在計算的處理上便很困難。由此可知，一般可以處理的非球面相當有限，而光學界面更局限在拋物面一類的二次曲面（Quadraticsurface）之中，文章的目的是探討高聚焦的非球面變焦距鏡頭的光學設計。

1 變焦距鏡頭高斯光學設計的新方法

1.1 非球面通用方程式的透鏡設計

首先固定投射透鏡的折射率與相關的幾何參數，在變焦距鏡頭其中，常被應用到的透鏡材質多為玻璃、壓克力或PC（Polycarbonate），其中投射透鏡一般為玻璃材質，所以取折射率為1.58，投射透鏡的口徑約為72mm，并取頂點曲率半徑R=36mm。通過非球面的通用方程式中參數的改變，便可得到各種非球面透鏡的幾何外形，再借助折射定律、數學計算推導及電腦程序設計模擬平行光束通過透鏡的光跡路徑，分析聚焦情形及一系列完整的測試，以設計出能將球差現象減到最低的透鏡幾何外形。

在設計之后，還需要注重變焦鏡頭組裝。根據非球面通用方程式進行的設計，變焦鏡頭系統組裝主要分為兩部分，一為氣壓回路組裝，另一為變焦鏡頭組裝，最后將兩系統結合即為氣壓控制變焦鏡頭系統。變焦鏡頭組裝過程首先將氣壓接頭纏上止泄帶并鎖在外套筒上，接著將非球面鏡片置入外套筒內側，套入內部支撐套環固定，然后套上O形環并裝配BK7玻璃鏡片。O形環功能主要是協助固定玻璃鏡片及避免漏氣，接著鎖上固定套環將BK7玻璃鏡片固定，最后組裝外部保護鏡片及光闌。氣壓系統分為兩部分，分為變焦系統進氣端與排氣端，進氣端包含氣壓幫浦、調壓閥與進氣開關，最后將變焦鏡頭一端接上進氣端另一端接上排氣端，所有氣壓控制非球面變焦鏡頭系統即完成。

1.2 高聚焦的透鏡設計

從聚焦情形方面來看，平行入射光經球面透鏡后，距離光軸越遠的平行光束聚焦越近，距離光軸越近的光束聚焦越遠，而平行光束經拋物面透鏡則有相反的趨勢，這對于尋找高聚焦的透鏡設計提供一個思考的方向，也即曲面外形若介于球面與拋物面之間便可能有折衷效應，使得平行光束經此透鏡后不論離光軸遠近的光束皆可在光軸上匯聚于一點。因此，可建立如下的球面方程式：

其中第一項為拋物面方程式，意即球面方程式可視為拋物面方程式再加上高次項，因此文章提出的高聚焦非球面變焦距鏡頭設計方程式為：

其中Coef為可調整的系數，Coef=0時為拋物面，而Coef=1時接近球面，所以本方程式設計出來的透鏡的幾何外形將可介于球面與拋物面之間。經過一系列測試得知當Coef=0.54時對于光束的會聚效果最好，其光軸上最大的球差值僅0.5mm，比橢圓面透鏡的聚焦能力要好。將其幾何外形與各種二次圓錐面進行比較可知，曲面外形確實介于球面與拋物面之間，所以曲面透鏡也有很好的聚焦能力。

進而可以測試透鏡的頂點曲率半徑R大小改變時對于像差現象的影響，可取R=72mm，而投射透鏡的折射率與口徑均可不變。實驗操作中，球面透鏡與拋物面透鏡的厚度分別變為9.6mm與9mm，可見R變大導致透鏡厚度減小而更能符合薄透鏡的假設，所以各種透鏡的球差現象均可獲改進，但焦距變大。其中，雙曲面透鏡的k值仍取-1.5，橢圓面透鏡的k=-0.61才能得到最佳的光束集中，光軸上最大的球差值僅0.2mm。文章提出的曲面透鏡的Coef=0.42，光軸上最大的球差值僅0.lmm，由此也可知R變動時，K及Coef值也需重新調整以獲得最佳的球差改進。因此，文章認為在設計使用上，以曲面透鏡最好、橢圓面次之、拋物面再次之、雙曲面與球面則排在最后。

2 結束語

文章提出了高聚焦變焦距透鏡的高斯光學設計方程式，由于本曲面幾何外形介于球面與拋物面之間，因而具有該兩曲面光學特性的折衷優點。由一系列結果證實，借助非球面通式設計出的各種二次圓錐面透鏡及高次曲面透鏡為最好，現將各種曲面透鏡設計的參數探討、聚焦測試結果與比較情形簡述如下：二次圓錐面中以橢圓面的聚焦效果最好；非球面通用方程式中的高次曲面透鏡未能優于橢圓面透鏡的聚焦能力；在投射透鏡的口徑固定下，當透鏡的頂點曲率半徑R越大時聚光效果越好但焦距變長；當透鏡的口徑或厚度改變時，文章提出的曲面透鏡調整系數Coef或橢圓面透鏡的圓錐常數k均須重新尋找以獲得最佳的聚焦結果；各種曲面透鏡的聚焦能力分別為曲面透鏡>橢圓面透鏡>拋物面透鏡>雙曲面透鏡>球面透鏡。

參考文獻

[1]梁來順.變焦距系統設計的快速求解[J].應用光學，2004（01）.

[2]吳秀麗.快速變焦鏡頭的光學設計[J].光機電信息，2000（01）.

摘 要：變焦距鏡頭是在連續變焦過程中，仍保持成像面固定不動的一種光學系統。變焦距鏡頭不同于一般光學物鏡，主要在于這種物鏡不僅能連續變焦，且在變焦過程中，物和像之間的距離仍保持不變。要達到這些要求，必須連續滑動系統中的某些鏡組。從事變焦系統設計時，必定預先安排高斯結構，結構的好壞往往影響光學設計的最后結果。

關鍵詞：變焦距鏡頭；高斯；光學設計；新方法

引言

由于光信息和光通訊科技快速的進步與廣泛的應用，使得光電方面的產品不斷的推陳出新，并迅速成為市場上需求龐大的消費性產品，例如激光打印機、掃描儀、投影電視、攝錄放影機、數碼相機、望眼鏡、顯微鏡、光纖通訊等產品，因而近年來光電相關產業的發展十分蓬勃，在國內也是極有發展遠景的明星產業。居于關鍵性地位的光電零部件，將是影響產業發展的最重要因素，也是革新走向的風向標，尤其是光學透鏡可說是光信息與光電系統中不可或缺的關鍵性零部件。光學變焦能力取決于光學設計與機構設計，光學設計限制了變焦機構的選擇空間。一般運動機構不外乎齒輪、凸輪、螺旋與連桿等機構，又以凸輪機構為主，而且可經由機械補償來修正焦點的誤差。而光學變焦就是經由直流馬達帶動減速齒輪組，讓凸輪傳動機構轉動，借助兩組鏡群間距離改變達到變焦的動作。

傳統的光學變焦系統必須以為數頗多的球面鏡片組合而成，才能達到預期的效果，這樣非但所制成的產品十分笨重，制作成本也高。相對的，非球面鏡片一方面可提高光學變焦系統的性能，另一方面可以減少鏡片的數目，并使產品輕量化。因此，非球面光學系統有下列優點：有效的消除像差，提高影像光學品質；簡化復雜的多元結構，系統元件數量和尺寸滅少，重量減輕；使光學產品的應用范圍加大；制造成本降低。因此，非球面設計勢必會取代現存的大部分光學元件的球面設計。在幾何上，球面只要用到曲率一個參數便可表示或說明清楚。但非球面的表示可能要用到無窮級數來表達，因此有無限參數的可能，這在計算的處理上便很困難。由此可知，一般可以處理的非球面相當有限，而光學界面更局限在拋物面一類的二次曲面（Quadraticsurface）之中，文章的目的是探討高聚焦的非球面變焦距鏡頭的光學設計。

1 變焦距鏡頭高斯光學設計的新方法

1.1 非球面通用方程式的透鏡設計

首先固定投射透鏡的折射率與相關的幾何參數，在變焦距鏡頭其中，常被應用到的透鏡材質多為玻璃、壓克力或PC（Polycarbonate），其中投射透鏡一般為玻璃材質，所以取折射率為1.58，投射透鏡的口徑約為72mm，并取頂點曲率半徑R=36mm。通過非球面的通用方程式中參數的改變，便可得到各種非球面透鏡的幾何外形，再借助折射定律、數學計算推導及電腦程序設計模擬平行光束通過透鏡的光跡路徑，分析聚焦情形及一系列完整的測試，以設計出能將球差現象減到最低的透鏡幾何外形。

在設計之后，還需要注重變焦鏡頭組裝。根據非球面通用方程式進行的設計，變焦鏡頭系統組裝主要分為兩部分，一為氣壓回路組裝，另一為變焦鏡頭組裝，最后將兩系統結合即為氣壓控制變焦鏡頭系統。變焦鏡頭組裝過程首先將氣壓接頭纏上止泄帶并鎖在外套筒上，接著將非球面鏡片置入外套筒內側，套入內部支撐套環固定，然后套上O形環并裝配BK7玻璃鏡片。O形環功能主要是協助固定玻璃鏡片及避免漏氣，接著鎖上固定套環將BK7玻璃鏡片固定，最后組裝外部保護鏡片及光闌。氣壓系統分為兩部分，分為變焦系統進氣端與排氣端，進氣端包含氣壓幫浦、調壓閥與進氣開關，最后將變焦鏡頭一端接上進氣端另一端接上排氣端，所有氣壓控制非球面變焦鏡頭系統即完成。

1.2 高聚焦的透鏡設計

從聚焦情形方面來看，平行入射光經球面透鏡后，距離光軸越遠的平行光束聚焦越近，距離光軸越近的光束聚焦越遠，而平行光束經拋物面透鏡則有相反的趨勢，這對于尋找高聚焦的透鏡設計提供一個思考的方向，也即曲面外形若介于球面與拋物面之間便可能有折衷效應，使得平行光束經此透鏡后不論離光軸遠近的光束皆可在光軸上匯聚于一點。因此，可建立如下的球面方程式：

其中第一項為拋物面方程式，意即球面方程式可視為拋物面方程式再加上高次項，因此文章提出的高聚焦非球面變焦距鏡頭設計方程式為：

其中Coef為可調整的系數，Coef=0時為拋物面，而Coef=1時接近球面，所以本方程式設計出來的透鏡的幾何外形將可介于球面與拋物面之間。經過一系列測試得知當Coef=0.54時對于光束的會聚效果最好，其光軸上最大的球差值僅0.5mm，比橢圓面透鏡的聚焦能力要好。將其幾何外形與各種二次圓錐面進行比較可知，曲面外形確實介于球面與拋物面之間，所以曲面透鏡也有很好的聚焦能力。

進而可以測試透鏡的頂點曲率半徑R大小改變時對于像差現象的影響，可取R=72mm，而投射透鏡的折射率與口徑均可不變。實驗操作中，球面透鏡與拋物面透鏡的厚度分別變為9.6mm與9mm，可見R變大導致透鏡厚度減小而更能符合薄透鏡的假設，所以各種透鏡的球差現象均可獲改進，但焦距變大。其中，雙曲面透鏡的k值仍取-1.5，橢圓面透鏡的k=-0.61才能得到最佳的光束集中，光軸上最大的球差值僅0.2mm。文章提出的曲面透鏡的Coef=0.42，光軸上最大的球差值僅0.lmm，由此也可知R變動時，K及Coef值也需重新調整以獲得最佳的球差改進。因此，文章認為在設計使用上，以曲面透鏡最好、橢圓面次之、拋物面再次之、雙曲面與球面則排在最后。

2 結束語

文章提出了高聚焦變焦距透鏡的高斯光學設計方程式，由于本曲面幾何外形介于球面與拋物面之間，因而具有該兩曲面光學特性的折衷優點。由一系列結果證實，借助非球面通式設計出的各種二次圓錐面透鏡及高次曲面透鏡為最好，現將各種曲面透鏡設計的參數探討、聚焦測試結果與比較情形簡述如下：二次圓錐面中以橢圓面的聚焦效果最好；非球面通用方程式中的高次曲面透鏡未能優于橢圓面透鏡的聚焦能力；在投射透鏡的口徑固定下，當透鏡的頂點曲率半徑R越大時聚光效果越好但焦距變長；當透鏡的口徑或厚度改變時，文章提出的曲面透鏡調整系數Coef或橢圓面透鏡的圓錐常數k均須重新尋找以獲得最佳的聚焦結果；各種曲面透鏡的聚焦能力分別為曲面透鏡>橢圓面透鏡>拋物面透鏡>雙曲面透鏡>球面透鏡。

參考文獻

[1]梁來順.變焦距系統設計的快速求解[J].應用光學，2004（01）.

[2]吳秀麗.快速變焦鏡頭的光學設計[J].光機電信息，2000（01）.

摘 要：變焦距鏡頭是在連續變焦過程中，仍保持成像面固定不動的一種光學系統。變焦距鏡頭不同于一般光學物鏡，主要在于這種物鏡不僅能連續變焦，且在變焦過程中，物和像之間的距離仍保持不變。要達到這些要求，必須連續滑動系統中的某些鏡組。從事變焦系統設計時，必定預先安排高斯結構，結構的好壞往往影響光學設計的最后結果。

關鍵詞：變焦距鏡頭；高斯；光學設計；新方法

引言

由于光信息和光通訊科技快速的進步與廣泛的應用，使得光電方面的產品不斷的推陳出新，并迅速成為市場上需求龐大的消費性產品，例如激光打印機、掃描儀、投影電視、攝錄放影機、數碼相機、望眼鏡、顯微鏡、光纖通訊等產品，因而近年來光電相關產業的發展十分蓬勃，在國內也是極有發展遠景的明星產業。居于關鍵性地位的光電零部件，將是影響產業發展的最重要因素，也是革新走向的風向標，尤其是光學透鏡可說是光信息與光電系統中不可或缺的關鍵性零部件。光學變焦能力取決于光學設計與機構設計，光學設計限制了變焦機構的選擇空間。一般運動機構不外乎齒輪、凸輪、螺旋與連桿等機構，又以凸輪機構為主，而且可經由機械補償來修正焦點的誤差。而光學變焦就是經由直流馬達帶動減速齒輪組，讓凸輪傳動機構轉動，借助兩組鏡群間距離改變達到變焦的動作。

傳統的光學變焦系統必須以為數頗多的球面鏡片組合而成，才能達到預期的效果，這樣非但所制成的產品十分笨重，制作成本也高。相對的，非球面鏡片一方面可提高光學變焦系統的性能，另一方面可以減少鏡片的數目，并使產品輕量化。因此，非球面光學系統有下列優點：有效的消除像差，提高影像光學品質；簡化復雜的多元結構，系統元件數量和尺寸滅少，重量減輕；使光學產品的應用范圍加大；制造成本降低。因此，非球面設計勢必會取代現存的大部分光學元件的球面設計。在幾何上，球面只要用到曲率一個參數便可表示或說明清楚。但非球面的表示可能要用到無窮級數來表達，因此有無限參數的可能，這在計算的處理上便很困難。由此可知，一般可以處理的非球面相當有限，而光學界面更局限在拋物面一類的二次曲面（Quadraticsurface）之中，文章的目的是探討高聚焦的非球面變焦距鏡頭的光學設計。

1 變焦距鏡頭高斯光學設計的新方法

1.1 非球面通用方程式的透鏡設計

首先固定投射透鏡的折射率與相關的幾何參數，在變焦距鏡頭其中，常被應用到的透鏡材質多為玻璃、壓克力或PC（Polycarbonate），其中投射透鏡一般為玻璃材質，所以取折射率為1.58，投射透鏡的口徑約為72mm，并取頂點曲率半徑R=36mm。通過非球面的通用方程式中參數的改變，便可得到各種非球面透鏡的幾何外形，再借助折射定律、數學計算推導及電腦程序設計模擬平行光束通過透鏡的光跡路徑，分析聚焦情形及一系列完整的測試，以設計出能將球差現象減到最低的透鏡幾何外形。

在設計之后，還需要注重變焦鏡頭組裝。根據非球面通用方程式進行的設計，變焦鏡頭系統組裝主要分為兩部分，一為氣壓回路組裝，另一為變焦鏡頭組裝，最后將兩系統結合即為氣壓控制變焦鏡頭系統。變焦鏡頭組裝過程首先將氣壓接頭纏上止泄帶并鎖在外套筒上，接著將非球面鏡片置入外套筒內側，套入內部支撐套環固定，然后套上O形環并裝配BK7玻璃鏡片。O形環功能主要是協助固定玻璃鏡片及避免漏氣，接著鎖上固定套環將BK7玻璃鏡片固定，最后組裝外部保護鏡片及光闌。氣壓系統分為兩部分，分為變焦系統進氣端與排氣端，進氣端包含氣壓幫浦、調壓閥與進氣開關，最后將變焦鏡頭一端接上進氣端另一端接上排氣端，所有氣壓控制非球面變焦鏡頭系統即完成。

1.2 高聚焦的透鏡設計

從聚焦情形方面來看，平行入射光經球面透鏡后，距離光軸越遠的平行光束聚焦越近，距離光軸越近的光束聚焦越遠，而平行光束經拋物面透鏡則有相反的趨勢，這對于尋找高聚焦的透鏡設計提供一個思考的方向，也即曲面外形若介于球面與拋物面之間便可能有折衷效應，使得平行光束經此透鏡后不論離光軸遠近的光束皆可在光軸上匯聚于一點。因此，可建立如下的球面方程式：

其中第一項為拋物面方程式，意即球面方程式可視為拋物面方程式再加上高次項，因此文章提出的高聚焦非球面變焦距鏡頭設計方程式為：

其中Coef為可調整的系數，Coef=0時為拋物面，而Coef=1時接近球面，所以本方程式設計出來的透鏡的幾何外形將可介于球面與拋物面之間。經過一系列測試得知當Coef=0.54時對于光束的會聚效果最好，其光軸上最大的球差值僅0.5mm，比橢圓面透鏡的聚焦能力要好。將其幾何外形與各種二次圓錐面進行比較可知，曲面外形確實介于球面與拋物面之間，所以曲面透鏡也有很好的聚焦能力。

進而可以測試透鏡的頂點曲率半徑R大小改變時對于像差現象的影響，可取R=72mm，而投射透鏡的折射率與口徑均可不變。實驗操作中，球面透鏡與拋物面透鏡的厚度分別變為9.6mm與9mm，可見R變大導致透鏡厚度減小而更能符合薄透鏡的假設，所以各種透鏡的球差現象均可獲改進，但焦距變大。其中，雙曲面透鏡的k值仍取-1.5，橢圓面透鏡的k=-0.61才能得到最佳的光束集中，光軸上最大的球差值僅0.2mm。文章提出的曲面透鏡的Coef=0.42，光軸上最大的球差值僅0.lmm，由此也可知R變動時，K及Coef值也需重新調整以獲得最佳的球差改進。因此，文章認為在設計使用上，以曲面透鏡最好、橢圓面次之、拋物面再次之、雙曲面與球面則排在最后。

2 結束語

文章提出了高聚焦變焦距透鏡的高斯光學設計方程式，由于本曲面幾何外形介于球面與拋物面之間，因而具有該兩曲面光學特性的折衷優點。由一系列結果證實，借助非球面通式設計出的各種二次圓錐面透鏡及高次曲面透鏡為最好，現將各種曲面透鏡設計的參數探討、聚焦測試結果與比較情形簡述如下：二次圓錐面中以橢圓面的聚焦效果最好；非球面通用方程式中的高次曲面透鏡未能優于橢圓面透鏡的聚焦能力；在投射透鏡的口徑固定下，當透鏡的頂點曲率半徑R越大時聚光效果越好但焦距變長；當透鏡的口徑或厚度改變時，文章提出的曲面透鏡調整系數Coef或橢圓面透鏡的圓錐常數k均須重新尋找以獲得最佳的聚焦結果；各種曲面透鏡的聚焦能力分別為曲面透鏡>橢圓面透鏡>拋物面透鏡>雙曲面透鏡>球面透鏡。

參考文獻

[1]梁來順.變焦距系統設計的快速求解[J].應用光學，2004（01）.

[2]吳秀麗.快速變焦鏡頭的光學設計[J].光機電信息，2000（01）.