把兒童思維帶到高速公路的入口處

施劉霞

“運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考”是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)。特級教師湯衛(wèi)紅所倡導(dǎo)的“兒童數(shù)學(xué)”教學(xué)主張認(rèn)為：數(shù)學(xué)思維的抽象性、嚴(yán)密性、深刻性與兒童思維發(fā)展的階段性特征之間的矛盾是“兒童數(shù)學(xué)”所要解決的一對主要矛盾。如何基于兒童的思維特征，促進(jìn)兒童在數(shù)學(xué)思維本質(zhì)特征方面的初步發(fā)展是“兒童數(shù)學(xué)”必須作出實(shí)踐應(yīng)答的問題。湯衛(wèi)紅老師用自身的課堂實(shí)踐詮釋了如何幫助兒童找到發(fā)展數(shù)學(xué)思維的“高速公路入口處”，給兒童“帶得走”的東西，讓兒童一路走得順暢，不斷向目標(biāo)勝利邁進(jìn)。下面就以他在宿遷舉行的2013年江蘇省“教海領(lǐng)航”活動中執(zhí)教的“用‘倒推的策略解決問題”一課為例，欣賞他對發(fā)展兒童數(shù)學(xué)思維的精彩課堂演繹。

師：湯老師這次到同學(xué)們美麗的家鄉(xiāng)來玩，得帶些錢。帶了多少錢呢？（出示“佰”）這些錢還不夠，看看還帶了多少錢？（出示“仟”）。

師：上完課，我特別想去兩處名勝。（出示項(xiàng)王故里、乾隆行宮圖片）誰來介紹介紹？（生介紹略）

師：聽了同學(xué)們的介紹，我恨不得現(xiàn)在就去看看。湯老師也給同學(xué)們帶來了禮物。這就是猜字游戲。想猜嗎？這兩張畫片背后分別藏著一個漢字，第一個字去掉部首剩下的就是“佰”。猜猜是什么字？

生：我猜是“宿”。給“佰”添上“宀”，就是“宿”。

師：第二個字去掉部首，又添上另一個部首是“仟”。猜猜是什么字？

生：我先去掉“亻”，再添上“辶”，就是“遷”。

師：看來宿遷真是藏金納寶之地啊！（眾笑）剛才的游戲中，同學(xué)們與其說是猜中的字，還不如說是推理得到了字。說說你們是怎么推理的。

生1：畫片背后的字去掉部首是“佰”，我就反過來給它添上部首。

生2：第二個字去掉部首，再添上部首是“仟”。就要先去掉部首，再添上另一部首。我發(fā)現(xiàn)這種推理與正過來推理的方向正好相反。（掌聲）

■鄭毓信教授指出：“數(shù)學(xué)思維與一般思維之間存在著相互依賴、互相促進(jìn)的關(guān)系。”推理（包括逆向推理）并不只是數(shù)學(xué)所獨(dú)有的思維方式。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需要以兒童生活為其廣闊背景，兒童在生活中和其他課程的學(xué)習(xí)中已經(jīng)或多或少地應(yīng)用過推理。推理在兒童的思維中具有普遍意義。湯老師深諳“倒推”策略與推理這一般思維之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，不著痕跡地以猜字游戲?yàn)檩d體，充分激活兒童的已有推理經(jīng)驗(yàn)，并引導(dǎo)兒童通過對思維過程的梳理、反思強(qiáng)化逆向推理的思維意識，提升了思維的元認(rèn)知水平，有機(jī)滲透了接下來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中即將使用的思維方式，為“倒推”策略的學(xué)習(xí)與已有思維經(jīng)驗(yàn)的對接提供了“綠色通道”。湯老師在選擇猜字游戲的題材時可謂獨(dú)具匠心。他自然、巧妙地通過與兒童的“常規(guī)”交流引出“謎面”，而“謎底”又恰恰是兒童的家鄉(xiāng)地名，給人以渾然天成之感。由此激起的家鄉(xiāng)親切感、內(nèi)容親近感、教師親和感無疑成為教學(xué)成功的情感基調(diào)。

■逐級抽象中建立思維模型

學(xué)生用畫圖、列表等方法對例1（圖文大意：甲、乙兩杯果汁共400毫升，從甲杯倒入乙杯40毫升后，兩杯果汁同樣多。原來兩杯果汁各有多少毫升？）進(jìn)行了表征。

師：用畫圖、列表的辦法來表達(dá)題意、幫助思考有什么優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？

生1：畫圖的好處是能讓我們看出倒回去的過程，但比較麻煩。

生2：列表的好處是簡潔、明了，但看不出思考的過程。

生3：它們都有一個缺點(diǎn)，沒有表示出原來到現(xiàn)在的變化情況。

師：那你有什么想法？

生3：有沒有一種辦法能克服這個缺點(diǎn)而且能把畫圖和列表的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合起來？

師：咱們來試試看！請同學(xué)們試著結(jié)合的方法把圖和表進(jìn)行簡化和加工，把甲杯的變化過程和倒回去推想的過程表達(dá)清楚。

師：現(xiàn)在還能看懂嗎？（能！）“-40”表示什么？“+40”呢？

生4：“-40”表示倒出40毫升，“+40”表示倒進(jìn)40毫升。

師：其實(shí)，果汁量只經(jīng)過了一次變化，我們卻用了兩個箭頭。能不能把“倒出”和“倒進(jìn)”的情況分別寫在箭頭的上面和下面，再做進(jìn)一步的簡化。

■兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，思考過程是直觀思維、具體形象思維和抽象邏輯思維三個方面的結(jié)合。兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是他們生活常識的系統(tǒng)化。弗賴登塔爾認(rèn)為，兒童與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，倒不如說是學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)化”。因此，湯老師注重引導(dǎo)兒童從已有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”出發(fā)，經(jīng)過反思，逐步達(dá)到“數(shù)學(xué)化”，也即實(shí)現(xiàn)由具體到抽象的過程。湯老師所創(chuàng)設(shè)的“倒果汁問題”是生活情景的再現(xiàn)，與兒童的生活體驗(yàn)和積累的直觀思維相關(guān)聯(lián)。“倒回去”便是“倒推”策略的直觀化的形象表達(dá)。借助直觀示意圖這一表征方式，很容易喚醒兒童 “倒回去”的具體表象，使策略植根于兒童的經(jīng)驗(yàn)思維。而在此基礎(chǔ)上的表格表征，則是一種半抽象的結(jié)構(gòu)化，能夠讓兒童篩選并把握問題中的關(guān)鍵信息。但對于學(xué)習(xí)“倒推”策略來說，僅僅借助于畫圖、列表遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。適合用“倒推”解決的問題特征是已知事情發(fā)展變化的過程和結(jié)果，求事物的原來狀態(tài)。因此，倒推的關(guān)鍵是要能正確、合適地表征變化過程。湯老師基于兒童的已有表征逐步抽象、建構(gòu)起“箭頭圖”這一具有一般性的數(shù)學(xué)模型，并最終內(nèi)化為兒童的表征方式。課堂中，師生共同建立起箭頭圖與直觀圖、表格等其他表征方式之間的聯(lián)系，并使箭頭圖直觀地包攝其他表征，且自然地由兒童經(jīng)驗(yàn)中生長出來。湯老師把符號化的數(shù)學(xué)模型與學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的互動作為策略學(xué)習(xí)的基本途徑。兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在湯老師的課堂上是一個有指導(dǎo)的再創(chuàng)造過程，實(shí)現(xiàn)了由外部活動向內(nèi)部活動的轉(zhuǎn)化，表征模型也逐步實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化、嚴(yán)格化和形式化。兒童驚喜地體會到：一旦用箭頭圖表征成功，還原的過程便是一種近乎機(jī)械的程式化操作。創(chuàng)造后的舊題再現(xiàn)，讓兒童產(chǎn)生了一種“熟悉的陌生感”，賦予了原有知識更為豐富和深刻的思維含量。例2中的研究則是兒童獨(dú)立地應(yīng)用模型，作出解釋的過程。湯老師已經(jīng)把兒童帶到了能夠正確應(yīng)用逆向思維解決問題的高速公路入口處。endprint

■辨析比較中深化思維本質(zhì)

出示：小軍收集了一些郵票，他拿出郵票的一半還多1張送給小明，自己還剩25張。小軍原有多少張郵票？

師：送出一半還多1張，怎么送？能不能做一個分解動作？（學(xué)生上前演示）

師：同學(xué)們可以選擇箭頭圖、線段圖、方形圖（用一正方形表示“原有張數(shù)”）等來表達(dá)題意，然后再列式解答。

學(xué)生完成后匯報，但出現(xiàn)了“（25+1）×2=52”和“25×2+1=51”兩種不同做法。

師：真好！課堂上出現(xiàn)了兩種不同的聲音。咱們雙方代表可以展開對話，互相提問、質(zhì)疑、回答。

正方：我先來！你們說原來有51張，那請你們檢驗(yàn)一下，“一半多1張”怎么送？

反方：就是送25+1張啊！

正方：對方辯友（眾笑），你慢著，先說說這送出一半是多少？

反方：51÷2=25.5張啊！

正方：難道要把郵票撕成兩半不成？

反方（漲紅了臉）：那我們可能不對。如果你能說出我們錯在哪里，我們才心服口服！

正方：哈哈！我來告訴你們吧！你們是倒推的順序錯了。請看箭頭圖，原來是先除以2，再減1，倒回去就應(yīng)該是先加1，再乘2。也就是小軍反悔時（眾笑），先要回1張，再要回另一半。

正方：你們也可以看看線段圖或方形圖，25先加1才是一半，然后乘2才得到原有張數(shù)。

反方：謝謝！我明白了！

師：錯誤也是一種資源。想想看，如果用這樣的算式解決，題目應(yīng)該怎么出？（生畫出箭頭圖思考并回答）

師：比較兩道題，你想提醒同學(xué)們注意什么？（生答略）

師：如果原來題中的“還剩25張”改成“一共送出25張”，又怎么表達(dá)題意和思考呢？

…………

■倒推策略的上位思想是可逆思想。在倒推策略學(xué)習(xí)中，兒童較高層次的逆向思維的形成需要經(jīng)歷一個過程，而且這個過程并不一定一帆風(fēng)順。受順向思維的影響，看似簡單、容易理解的問題往往容易出錯。湯老師給學(xué)生出錯的機(jī)會，引發(fā)的反省思維恰恰促進(jìn)了兒童對倒推策略應(yīng)用的進(jìn)一步體悟。盡管是千人公開課，湯老師卻能大膽暴露兒童的錯誤及其思維過程，直面問題，放大正誤對比效應(yīng)，果斷地引導(dǎo)雙方展開辯論，生成出一段“意外”的精彩對話，可謂“藝高人膽大”。對話的過程對正方來說，是一個思維反芻、深化的過程，是對逆向思維本質(zhì)的再把握，是策略意識的再提升；而對反方來說，則是一個思維激烈沖突、箭頭圖價值凸顯、逆向思考中順序意識強(qiáng)化的過程。雙方最終形成共識則充分體現(xiàn)了群體性學(xué)習(xí)的價值。更為絕妙的是，湯老師殺個“回馬槍”：讓兒童根據(jù)錯誤算式出題！這本身就是可逆思想的一種體現(xiàn)：算式→箭頭圖→問題原型。這個過程更讓兒童體會到箭頭圖作為解題和問題之間的橋梁所起到的重要表征作用，深刻領(lǐng)會到模型的意義。而重構(gòu)后的問題與原題的比較又進(jìn)一步深化了逆向思維的本質(zhì)要義。將“還剩25張”變式為“一共送出25張”則讓兒童和聽課老師都注意到一個十分容易忽略的問題要素——變化的目標(biāo)，從而意識到變化的目標(biāo)變了，變化的方向也隨之變化，表征及倒推也應(yīng)相應(yīng)變化。湯老師高屋建瓴的處理無疑讓我們對逆向思維的本質(zhì)屬性有了更深層次的認(rèn)識，無論對于兒童學(xué)習(xí)還是教師教學(xué)都有深刻的啟迪。湯老師留給兒童的思維智慧是能夠“帶得走”的東西，并且能夠自信地在高速公路上快速行走。（作者單位：江蘇省如皋市安定小學(xué)）■

□責(zé)任編輯 湯金娥

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■辨析比較中深化思維本質(zhì)

出示：小軍收集了一些郵票，他拿出郵票的一半還多1張送給小明，自己還剩25張。小軍原有多少張郵票？

師：送出一半還多1張，怎么送？能不能做一個分解動作？（學(xué)生上前演示）

師：同學(xué)們可以選擇箭頭圖、線段圖、方形圖（用一正方形表示“原有張數(shù)”）等來表達(dá)題意，然后再列式解答。

學(xué)生完成后匯報，但出現(xiàn)了“（25+1）×2=52”和“25×2+1=51”兩種不同做法。

師：真好！課堂上出現(xiàn)了兩種不同的聲音。咱們雙方代表可以展開對話，互相提問、質(zhì)疑、回答。

正方：我先來！你們說原來有51張，那請你們檢驗(yàn)一下，“一半多1張”怎么送？

反方：就是送25+1張啊！

正方：對方辯友（眾笑），你慢著，先說說這送出一半是多少？

反方：51÷2=25.5張啊！

正方：難道要把郵票撕成兩半不成？

反方（漲紅了臉）：那我們可能不對。如果你能說出我們錯在哪里，我們才心服口服！

正方：哈哈！我來告訴你們吧！你們是倒推的順序錯了。請看箭頭圖，原來是先除以2，再減1，倒回去就應(yīng)該是先加1，再乘2。也就是小軍反悔時（眾笑），先要回1張，再要回另一半。

正方：你們也可以看看線段圖或方形圖，25先加1才是一半，然后乘2才得到原有張數(shù)。

反方：謝謝！我明白了！

師：錯誤也是一種資源。想想看，如果用這樣的算式解決，題目應(yīng)該怎么出？（生畫出箭頭圖思考并回答）

師：比較兩道題，你想提醒同學(xué)們注意什么？（生答略）

師：如果原來題中的“還剩25張”改成“一共送出25張”，又怎么表達(dá)題意和思考呢？

…………

■倒推策略的上位思想是可逆思想。在倒推策略學(xué)習(xí)中，兒童較高層次的逆向思維的形成需要經(jīng)歷一個過程，而且這個過程并不一定一帆風(fēng)順。受順向思維的影響，看似簡單、容易理解的問題往往容易出錯。湯老師給學(xué)生出錯的機(jī)會，引發(fā)的反省思維恰恰促進(jìn)了兒童對倒推策略應(yīng)用的進(jìn)一步體悟。盡管是千人公開課，湯老師卻能大膽暴露兒童的錯誤及其思維過程，直面問題，放大正誤對比效應(yīng)，果斷地引導(dǎo)雙方展開辯論，生成出一段“意外”的精彩對話，可謂“藝高人膽大”。對話的過程對正方來說，是一個思維反芻、深化的過程，是對逆向思維本質(zhì)的再把握，是策略意識的再提升；而對反方來說，則是一個思維激烈沖突、箭頭圖價值凸顯、逆向思考中順序意識強(qiáng)化的過程。雙方最終形成共識則充分體現(xiàn)了群體性學(xué)習(xí)的價值。更為絕妙的是，湯老師殺個“回馬槍”：讓兒童根據(jù)錯誤算式出題！這本身就是可逆思想的一種體現(xiàn)：算式→箭頭圖→問題原型。這個過程更讓兒童體會到箭頭圖作為解題和問題之間的橋梁所起到的重要表征作用，深刻領(lǐng)會到模型的意義。而重構(gòu)后的問題與原題的比較又進(jìn)一步深化了逆向思維的本質(zhì)要義。將“還剩25張”變式為“一共送出25張”則讓兒童和聽課老師都注意到一個十分容易忽略的問題要素——變化的目標(biāo)，從而意識到變化的目標(biāo)變了，變化的方向也隨之變化，表征及倒推也應(yīng)相應(yīng)變化。湯老師高屋建瓴的處理無疑讓我們對逆向思維的本質(zhì)屬性有了更深層次的認(rèn)識，無論對于兒童學(xué)習(xí)還是教師教學(xué)都有深刻的啟迪。湯老師留給兒童的思維智慧是能夠“帶得走”的東西，并且能夠自信地在高速公路上快速行走。（作者單位：江蘇省如皋市安定小學(xué)）■

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■辨析比較中深化思維本質(zhì)

出示：小軍收集了一些郵票，他拿出郵票的一半還多1張送給小明，自己還剩25張。小軍原有多少張郵票？

師：送出一半還多1張，怎么送？能不能做一個分解動作？（學(xué)生上前演示）

師：同學(xué)們可以選擇箭頭圖、線段圖、方形圖（用一正方形表示“原有張數(shù)”）等來表達(dá)題意，然后再列式解答。

學(xué)生完成后匯報，但出現(xiàn)了“（25+1）×2=52”和“25×2+1=51”兩種不同做法。

師：真好！課堂上出現(xiàn)了兩種不同的聲音。咱們雙方代表可以展開對話，互相提問、質(zhì)疑、回答。

正方：我先來！你們說原來有51張，那請你們檢驗(yàn)一下，“一半多1張”怎么送？

反方：就是送25+1張啊！

正方：對方辯友（眾笑），你慢著，先說說這送出一半是多少？

反方：51÷2=25.5張啊！

正方：難道要把郵票撕成兩半不成？

反方（漲紅了臉）：那我們可能不對。如果你能說出我們錯在哪里，我們才心服口服！

正方：哈哈！我來告訴你們吧！你們是倒推的順序錯了。請看箭頭圖，原來是先除以2，再減1，倒回去就應(yīng)該是先加1，再乘2。也就是小軍反悔時（眾笑），先要回1張，再要回另一半。

正方：你們也可以看看線段圖或方形圖，25先加1才是一半，然后乘2才得到原有張數(shù)。

反方：謝謝！我明白了！

師：錯誤也是一種資源。想想看，如果用這樣的算式解決，題目應(yīng)該怎么出？（生畫出箭頭圖思考并回答）

師：比較兩道題，你想提醒同學(xué)們注意什么？（生答略）

師：如果原來題中的“還剩25張”改成“一共送出25張”，又怎么表達(dá)題意和思考呢？

…………

■倒推策略的上位思想是可逆思想。在倒推策略學(xué)習(xí)中，兒童較高層次的逆向思維的形成需要經(jīng)歷一個過程，而且這個過程并不一定一帆風(fēng)順。受順向思維的影響，看似簡單、容易理解的問題往往容易出錯。湯老師給學(xué)生出錯的機(jī)會，引發(fā)的反省思維恰恰促進(jìn)了兒童對倒推策略應(yīng)用的進(jìn)一步體悟。盡管是千人公開課，湯老師卻能大膽暴露兒童的錯誤及其思維過程，直面問題，放大正誤對比效應(yīng)，果斷地引導(dǎo)雙方展開辯論，生成出一段“意外”的精彩對話，可謂“藝高人膽大”。對話的過程對正方來說，是一個思維反芻、深化的過程，是對逆向思維本質(zhì)的再把握，是策略意識的再提升；而對反方來說，則是一個思維激烈沖突、箭頭圖價值凸顯、逆向思考中順序意識強(qiáng)化的過程。雙方最終形成共識則充分體現(xiàn)了群體性學(xué)習(xí)的價值。更為絕妙的是，湯老師殺個“回馬槍”：讓兒童根據(jù)錯誤算式出題！這本身就是可逆思想的一種體現(xiàn)：算式→箭頭圖→問題原型。這個過程更讓兒童體會到箭頭圖作為解題和問題之間的橋梁所起到的重要表征作用，深刻領(lǐng)會到模型的意義。而重構(gòu)后的問題與原題的比較又進(jìn)一步深化了逆向思維的本質(zhì)要義。將“還剩25張”變式為“一共送出25張”則讓兒童和聽課老師都注意到一個十分容易忽略的問題要素——變化的目標(biāo)，從而意識到變化的目標(biāo)變了，變化的方向也隨之變化，表征及倒推也應(yīng)相應(yīng)變化。湯老師高屋建瓴的處理無疑讓我們對逆向思維的本質(zhì)屬性有了更深層次的認(rèn)識，無論對于兒童學(xué)習(xí)還是教師教學(xué)都有深刻的啟迪。湯老師留給兒童的思維智慧是能夠“帶得走”的東西，并且能夠自信地在高速公路上快速行走。（作者單位：江蘇省如皋市安定小學(xué)）■

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