橋梁用三角形鋼板阻尼器恢復力模型的參數確定

劉騰飛 沈 星 葉愛君

1 引 言

金屬阻尼器具有構造簡單、滯回耗能能力好、形式多樣、堅實耐用、經濟性好等優點，是國內外廣泛研究的一種結構耗能減震裝置[1,2]。在各種金屬阻尼器中，X形和三角形軟鋼阻尼器具有沿高度范圍內各截面等厚度處同時屈服的優點，因而很多學者對其進行了大量的研究，并在建筑工程中得到了一定應用[3,4]。

然而，三角形鋼板阻尼器在橋梁抗震中的研究和應用還較少。同濟大學沈星、葉愛君等(專利公開號：CN102953327A)以三角形鋼板為基本構件，提出了新型的橋梁橫向鋼阻尼器，使得三角形鋼板阻尼器可以很方便地應用于橋梁減震。在橋梁減隔震體系中，三角形鋼板阻尼器通常與活動支座組合使用，對阻尼器本身的強度和位移能力有較高的要求，但設置空間有限。因此，在橋梁減震優化設計中，必須要能較準確而且方便地確定鋼阻尼器的力學參數。

三角形鋼板阻尼器一般采用雙線性恢復力模型[5]模擬其彈塑性性能，關鍵的力學參數包括屈服前剛度、等效屈服力、屈服后剛度和設計變形能力，而這些參數均要在得到鋼板從彈性到塑性破壞全過程的力-位移曲線后才能確定，而且鋼板進入塑性階段后，應力重分布非常復雜，應變分布的均勻性也不符合理想狀態，其變形隨三角形板尺寸的變化規律也與彈性狀態有所不同。基于這些原因，應用彈塑性力學的基本理論推導就難以滿足橋梁減震設計的需求，而需要采用較為精確的板殼有限元方法來計算，這對于實際工程應用來說過于復雜了。

為了給橋梁工程界提供一個實用的簡化估算鋼阻尼器彈塑性力學參數的方法，本文結合了彈塑性理論推導和有限元模擬分析的各自優勢展開研究。首先從三角形鋼板阻尼器的工作原理出發，推導鋼板首次屈服力和首次屈服剛度的理論公式，然后，針對橋梁工程中可能的選型尺寸，基于ABAQUS有限元軟件，建立大量鋼板三維板殼模型，得到鋼板的雙線性恢復力模型曲線，重點研究了鋼板幾何尺寸對于鋼板的恢復力模型力學參數(屈服后剛度、等效屈服力和位移能力)的影響，并用線性統計回歸法處理各參數的數據，建立近似計算公式。最后對比有限元值和公式值，驗證近似計算公式的正確性。

2 三角形鋼板首次屈服力、首次屈服剛度理論公式

三角形鋼板的底邊寬度為B，高度為H，鋼板厚度為t，三角形鋼板頂點處受到的水平力為F，離三角形鋼板頂點x處截面邊緣的應力為

(1)

可見，三角形鋼板沿高度范圍內各截面最外緣點的應力相同。當鋼板首次屈服時，σ恰好達到屈服應力σy，根據彈性力學理論，臨界地震水平力即鋼板首次屈服力

(2)

此時，對應的三角形鋼板的屈服曲率

(3)

對屈服曲率進行兩次積分得到頂點的水平位移

(4)

根據式(2)和式(4)可以得到三角形鋼板各截面的首次屈服剛度

(5)

3 三角形鋼板恢復力模型參數確定方法

除鋼板的首次屈服剛度外，三角形鋼板阻尼器的其他力學參數采用較為精確的有限元模擬計算結果來回歸計算公式，為此建立了大量不同幾何尺寸的鋼板模型進行彈塑性有限元破壞分析，并得到了不同尺寸三角形鋼板的力—位移關系圖，進而得到各模型的主要力學參數值，最后對所得數據進行統計回歸，得到了各參數的近似計算公式。

3.1 三角形鋼板彈塑性性能有限元分析

3.1.1有限元計算模型

三角形鋼板的尺寸如圖1所示。材料為Q345鋼材，應力—應變關系偏保守地采用理想彈塑性模型，如圖2所示。主要參數如下：彈性模量E=2.05×105MPa，泊松比ν=0.3，屈服應力σy=345 MPa，屈服應變εy=0.001 683。而鋼材極限應變εu的取值則與鋼阻尼器的最大位移能力直接相關。《低合金高強度結構鋼》[6]規定厚度6 cm以下的Q345鋼材的斷后伸長率在20%以上，即Q345鋼材的斷裂應變大于0.20。但在地震這種往復荷載作用下，鋼材的極限應變取值要有所折減。文獻[7]給出了AASHTO規范中grade 40(屈服應力300 MPa)，鋼筋的有效極限應變為0.122左右，而鋼材斷裂應變為0.20，屈服應變約為0.03。本文中，Q345鋼材的極限應變εu偏保守地取為屈服應變的40倍，即εu=0.067 32。

圖1 模型尺寸示意圖Fig.1 Diagrammatic sketch of model dimensions

圖2 鋼材本構曲線Fig.2 Steel constitutive curve

單塊三角形鋼板的三維實體有限元模型(殼單元)如圖3所示，在有限元分析中利用短時間內的頂點位移模擬地震作用，三角形鋼板底端固定，頂端自由。模擬分析完成后，提取時間歷程內節點1處水平力和水平位移，提取節點2處Mises等效應力和最大主應變。

3.1.2均勻性分析

理論上，三角形鋼板阻尼器的特點是：地震作用下，沿鋼板高度范圍內，鋼板各截面同時屈服耗能，能夠充分利用鋼板的塑性變形能力，以實現最佳抗震效果。

圖3 邊界條件與網格劃分Fig.3 Boundary condition and mesh generation

但實際上，三角形鋼板的彈塑性性能并不能達到這么理想的效果。圖4所示分別為2個代表性幾何尺寸的模型在首次屈服時的應力分布情況。圖5所示分別為2個代表性幾何尺寸的模型在鋼板破壞時的最大主應變分布情況。

圖4 鋼板首次屈服時Mises應力分布圖Fig.4 Mises stress distribution at steel plate first time yielding

通過對比分析，可以發現：在有限元分析中，首次屈服時不同尺寸模型的Mises應力分布均勻性有很大差異，且與模型的寬高比B/H有關：B/H越大，應力均勻性越差。這種情況與理論設想的“全截面屈服”有所不同。當B/H在一定范圍時，可以保證大部分截面同時屈服，但是最后破壞時截面應變的同步性很差。此外，鋼板達到位移能力時，不同模型的鋼板最大主應變分布狀況相差不大，應變最大值均出現在節點2附近區域，與理論分析設想一致。但應變分布均勻性在B/H接近1時，比B/H取其他值時有明顯改善。

從上述現象分析中，可以得出如下結論：三角形鋼板在大位移作用下，為獲得良好的鋼板屈服耗能效果，應控制寬高比B/H在合理范圍內。通過對大量鋼板模型的屈服時應力圖和破壞時應變圖分析，得到寬高比B/H的合理范圍為0.67～1.50。如果采用等強度梁理論進行阻尼器初步設計，由于各截面應力、應變的不均勻性，會產生很大的計算誤差，無法滿足工程需要。因而采用基于有限元方法計算阻尼器恢復力模型各力學參數是必要的。

3.1.3力—位移關系曲線

圖6所示為2個代表性幾何尺寸的三角形鋼板阻尼器模型的力—位移關系曲線。從圖6中可知：三角形鋼板阻尼器的力—位移曲線呈現明顯的“雙線性”，且有限元分析結果與基于等能量原理的雙線性模擬曲線具有很好的吻合效果。利用力—位移關系曲線，三角形鋼板恢復力模型的關鍵力學參數也可以容易地得到，為進一步研究幾何尺寸對阻尼器恢復力參數的影響提供了方便。

Ky—首次屈服剛度；Kh—屈服后剛度；Feff—等效屈服力；Du—極限位移圖6 三角形鋼板阻尼器的力—位移曲線Fig.6 Force-displacement curve of the steel triangular plate damper

3.2 阻尼器恢復力模型參數的近似計算公式

在建立三角型鋼板有限元模型時，根據橋梁墩頂的構造特點，選取了可能的金屬阻尼器尺寸：板寬B分別取0.4 m、0.5 m、0.6 m、 0.7 m、0.8 m、0.9 m、1.0 m；板高H分別取0.3 m、0.4 m、0.5 m、0.6 m；板厚t分別取0.01 m、0.02 m、0.03 m。根據不同尺寸的取值組合，共建立84個模型，得到各模型恢復力曲線，研究幾何尺寸對各力學參數的影響，并用線性統計回歸法得到各參數的近似計算公式，以便用于橋梁減震設計。

3.2.1鋼板的位移能力

在橋梁抗震設計中，橫向金屬阻尼器需要具有足夠的變形能力以適應抗震的需要。本文偏安全地認為三角形鋼板在地震力作用下，橫截面最外緣點最大主應變達到40倍屈服應變時，頂點水平位移達到極限值，此時節點1極限水平位移即為鋼板的位移能力。圖7給出了位移能力有限元分析值與鋼板尺寸的關系曲線。從圖7可以發現：

(1) 板高對位移能力影響顯著，板高增大，位移能力迅速提高，位移能力隨板高線性增長；

(2) 板寬對位移能力影響為板寬增大，位移能力緩慢變化(有升有降)；

(3) 板厚對位移能力影響為板厚增大，位移能力減小。

圖7 位移能力與鋼板尺寸關系曲線Fig.7 Relation between the displacement and steel plate dimension

統計所有尺寸鋼板的位移能力有限元分析值，并采用線性回歸法擬合，得到在建議寬高比范圍內(0.67～1.5)三角形鋼板位移能力Du近似計算公式為

t=0.01 m，

Du=-106BH+90B+843H-101

(6a)

t=0.02 m，

Du=163BH-90B+387H+23

(6b)

t=0.03 m，

Du=-197BH+44B+545H-57

(6c)

式中，Du單位為mm；B，H單位為m。

3.2.2鋼板的屈服后剛度

《城市橋梁抗震設計規范》(CJJ 166—2011)中條文說明9.24提出：地震作用下，為控制減隔震裝置發生過大的位移，除要求提供減隔震裝置阻尼外，同時要求減隔震裝置具有一定的屈服后剛度，提供自恢復力。因而三角形鋼板阻尼器應具有足夠的屈服后剛度。圖8給出了鋼板屈服后剛度有限元分析值與鋼板尺寸的關系曲線。從圖8可以看出：

(1) 板高對鋼板屈服后剛度的影響顯著：板高越大，屈服后剛度迅速越小，屈服后剛度與板高平方近似成反比。

(2) 板寬對鋼板屈服后剛度的影響：板寬越大，屈服后剛度越大，屈服后剛度隨板寬增大，近似呈線性增長。

(3) 板厚對鋼板屈服后剛度的影響：板厚增加，屈服后剛度迅速提高，屈服后剛度與板厚平方近似成正比。

圖8 屈服后剛度與鋼板尺寸關系曲線Fig.8 Relation between the post yield stiffness and steel plate dimension

統計有限元分析中所有尺寸鋼板的屈服后剛度，并采用線性回歸法擬合數據，得到在建議寬高比范圍內(0.67～1.5)，鋼板的屈服后剛度近似計算公式：

(7)

式中，B，H，t單位為m。

3.2.3鋼板的等效屈服力

在利用三角形鋼板阻尼器進行橋梁抗震設計時，鋼板的等效屈服力是很重要的設計參數。其余條件確定時，等效屈服力越小，鋼阻尼器耗能越早，對橋梁上部結構的保護作用越強,但為滿足橋梁正常使用狀態約束的需求，金屬阻尼器的等效屈服力也不宜太小，一般可控制在固定支座噸位的10%左右。圖9給出了三角形鋼板等效屈服力的有限元分析值與鋼板幾何尺寸的關系曲線。從圖9可得以下規律：

(1) 板高對等效屈服力影響為：板高增大，等效屈服力迅速減小，等效屈服力與板高近似成反比。

(2) 板寬對等效屈服力影響顯著，板寬越大，等效屈服力越大，等效屈服力與板寬近似成正比關系。

(3) 板厚對等效屈服力影響顯著，板厚增大，等效屈服力迅速增大，等效屈服力與板厚的平方近似成正比。

圖9 等效屈服力與鋼板尺寸關系圖Fig.9 Relation between the equivalent yield force and steel plate dimension

根據等效屈服力隨鋼板尺寸的變化規律，本文對式(4)進行修正得到等效屈服力Feff在建議寬高比范圍內(0.67～1.5)的近似計算公式，其中γ=1.3是采用線性回歸法對等效屈服力有限元分析數據擬合得到的。

(8)

3.3 各參數近似計算公式的正確性驗證

鋼板阻尼器恢復力模型參數的近似計算式(6)、式(7)、式(8)都是應用線性回歸法對有限元數據分析得出的。線性回歸法對于數據的良好性有較高要求，而且有參數不穩定的缺點。為滿足工程中的應用，必須對近似計算式(6)、式(7)、式(8)進行驗證，保證近似計算的穩定性和可靠性。

(1) 圖10的計算結果表明：在建議寬高比范圍內(0.67～1.5)，利用式(6)得到的位移能力值與有限元數據相比，除個別數據點外，誤差均在-5%～5%之間。式(6)可以很好地吻合位移能力的有限元數據。

(2) 圖11計算結果表明：在建議寬高比范圍內(0.67～1.5)，式(7)與有限元分析數據可以很好地吻合：除個別數據點外，公式值與有限元分析值誤差均在-12%～12%之間。

(3) 圖12計算結果表明：在建議寬高比范圍內(0.67～1.5)，式(8)與有限元分析數據可以很好地吻合：除去個別數據點外，公式值與有限元分析值誤差均在-10%～10%之間。

4 結 論

本文針對三角形鋼板阻尼器的優化設計中恢復力模型力學參數的確定問題，首先基于彈性力學理論，推導了鋼板首次屈服剛度理論公式。然后采用有限元方法，建立大量不同尺寸鋼板模型進行鋼板破壞的彈塑性分析，得到各模型力—位移曲線，并用線性回歸方法確定了各力學參數的近似計算公式，最后對公式的正確性進行驗證。本文主要結論如下：

圖10 位移能力公式值與有限元值誤差Fig.10 Displacement capacity comparison between empirical formula and FEM analysis

圖11 屈服后剛度公式值與有限元值誤差Fig.11 Post yield stiffness comparison betweenempirical formula and FEM analysis

圖12 等效屈服力公式值與有限元值誤差Fig.12 Equivalent yield force comparison between empirical formula and FEM analysis

(1) 鋼板的應力均勻性與寬高比B/H有關。B/H越大，應力均勻性越差。為較好發揮鋼材屈服耗能能力，建議三角形鋼板寬高比B/H限制在0.67～1.5。

(2) 有限元分析結果表明，尺寸的變化對于三角形鋼板阻尼器各參數的影響非常顯著。

(3) 本文中給出的首次屈服剛度理論公式以及其他各力學參數近似計算公式，很好地反映了不同參數隨鋼板尺寸變化的規律。與有限元計算結果對比表明，各公式可以滿足工程中的精度要求。

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