確定球近似大地水準面的積分Stokes方法

何風勇+楊吉明

（濟南市勘察測繪研究院，山東 濟南 250013）

摘要：文章介紹了計算求解大地水準面的Stokes公式的一種新方法—積分Stokes方法。給出了積分Stokes函數，通過該函數計算大地水準面時，在計算點處不存在奇異性。作為示例文章采用了連續分布的重力異常函數進行了試算，結果表明，利用該方法計算所得的結果與普通的數值積分方法比較具有較高的精度。

關鍵詞：大地水準面；Stokes公式積分；Stokes函數；計算點處

中圖分類號：P223文獻標識碼：A文章編號：1009-2374（2014）22-0061-02確定地球形狀是大地測量工作者的一項基本任務，通常采用大地水準面來表征地球形狀，它是覆蓋全球的一個重力等位面，其上的位與正常橢球表面的位相等。1849年，Stokes導出了計算大地水準面的積分公式—Stokes公式，為確定地球形狀提供了有力的工具。由于該公式是對全球進行積分，圍繞計算的精度與速度，不同學者進行了廣泛的研究，提出了許多計算方法，如遠近區相結合的方法和譜分析方法，以及Stokes函數的改化。1980年Goad在計算海潮負荷時提出了積分格林函數方法，我國學者吳慶鵬也對此做了更進一步的研究，他們的研究表明該方法具有顯著的優點，特別是能夠使得計算點處的奇異性降低1階。本文提出的方法即是將這一思想運用于由重力異常分布確定大地水準面的計

算中。

1計算理論

Stokes公式具有非常簡潔的形式，

（1）

其中是地球半徑，是平均橢球體表面的正常重力的平均值，是重力異常，被稱為Stokes函數，它是測站與計算點的角距的函數（如圖1），有如下的公式：

（2）

其中：

（3）

分別為計算點的余緯與經度，分別為測站的余緯與經度，表示半徑為的單位球，且有：

（4）

上式中，A為方位角。

圖1?Stokes函數

從（1）式可以看出，計算大地水準面差距也就是計算重力異常與Stokes函數的乘積在整個球面上的積分，因此在某種意義上，Stokes函數可以認為是一種格林函數，即任一測站的重力異常對大地水準面差距的貢獻的響應函數。以下我們所稱的格林函數即為Stokes

函數。

我們定義積分格林函數為：

（5）

δ為積分Stokes函數所處的區間間隔大小，即以該區間的中點代替積分Stokes函數的自變量。通過推導可得積分Stokes函數的解析表達式為：

（6）

其中：

（7）

顯然，在計算點處，y=0，即t=0，由（2）知，Stokes函數表達式中的分母為0，因此產生計算時產生奇異，有許多文獻討論了避免奇異性的方法，如將該點處的重力異常展開為泰勒級數。

而（6）中包含對數函數的部分的值為

（8）

上式中運用了求極限的羅必塔法則。因此，積分Stokes函數在計算點是沒有奇異性的。圖2給出了其隨角距離的變化，可以看出，積分Stokes函數的變化是比較平緩的，而不像Stokes函數那樣在近區的變化比較劇烈（注意圖1中橫軸取了對數），圖中紅色的線表示由（6）式計算的結果，而黑色的線表示由（5）式計算的結果（積分步長為0.001°），很明顯二者具有非常好的一致性，說明（6）式是正確的。

圖2?積分Stokes函數

令DA為沿方位角方向的網格劃分，那么數值積分時，認為重力異常在任一網格內為常數，則將（5）式代入（1）式可得：

（9）

2試驗算例

由于我們僅僅考慮我們提出的方法的優劣，因此采用有解析結果的算例進行驗證。本試驗中，令重力異常在全球的分布滿足

（10）

那么對于北極點（y=q）的大地水準面差距來說，其具有嚴格的解析解：

（11）

這樣我們就可以用來檢核不同方法計算結果的正確性與精度。對于北極此時我們就可以利用重力異常分布的對稱性，并且在這兩點的大地水準面差距具有嚴格的解析解。

從圖1中的Stokes函數可以看出，在角距離較小時（近區），函數變化比較劇烈，因此在積分時，近區的步長取得比較小，而遠區的步長可以大一些。在計算中，具體采用的步長見表1。

由于我們假設的重力異常分布與經度無關，顯然與經度有關的積分值為2p，因此在計算結果的比較中我們忽略這一常數，也就是只對緯度進行積分，另外我們也忽略（9）式中求和符號前的常數，這并不影響結果的比較，計算結果在表2中列出。

由表中的結果可以看出，積分Stokes方法計算結果的精度比普通的數值積分方法的精度提高了1個數量級，這在確定高精度的大地水準面的計算中就顯得尤為重要了。另外我們減小了近區的積分步長，但是對結果的影響甚微，表明所采用的步長已經可以達到最佳的

效果。

3結語

我們提出了一種計算大地水準面差距的新方法—積分Stokes方法，該方法顯著的優點是去除了計算點處的奇異性，并且在計算效率上也優于普通的數值積分方法，該方法使得計算結果的精度提高了一個數量級，這在實際的工作中將發揮重要的作用。

參考文獻

[1]?管澤霖，管錚，黃謨濤，翟國君．局部重力場逼近理

論和方法[M]．北京：測繪出版社，1997．

[2]?Goad，C，C．Gravimetric tidal loading computed from

integrated Greens function，J．G．Res．，85，

2679-2683，1980．

[3]?Wu Qingpeng， Zhu Wenlu．， The load integrated

Greens function （LIGF） for spherical elastic earth

models and their applications． Proceedings of the

twelfth international symposium on earth tides．Science

press， Beijing， New York， 1995．

[4]?吳慶鵬．重力學與固體潮[M]．北京：地震出版社，

1997．

endprint

（濟南市勘察測繪研究院，山東 濟南 250013）

摘要：文章介紹了計算求解大地水準面的Stokes公式的一種新方法—積分Stokes方法。給出了積分Stokes函數，通過該函數計算大地水準面時，在計算點處不存在奇異性。作為示例文章采用了連續分布的重力異常函數進行了試算，結果表明，利用該方法計算所得的結果與普通的數值積分方法比較具有較高的精度。

關鍵詞：大地水準面；Stokes公式積分；Stokes函數；計算點處

中圖分類號：P223文獻標識碼：A文章編號：1009-2374（2014）22-0061-02確定地球形狀是大地測量工作者的一項基本任務，通常采用大地水準面來表征地球形狀，它是覆蓋全球的一個重力等位面，其上的位與正常橢球表面的位相等。1849年，Stokes導出了計算大地水準面的積分公式—Stokes公式，為確定地球形狀提供了有力的工具。由于該公式是對全球進行積分，圍繞計算的精度與速度，不同學者進行了廣泛的研究，提出了許多計算方法，如遠近區相結合的方法和譜分析方法，以及Stokes函數的改化。1980年Goad在計算海潮負荷時提出了積分格林函數方法，我國學者吳慶鵬也對此做了更進一步的研究，他們的研究表明該方法具有顯著的優點，特別是能夠使得計算點處的奇異性降低1階。本文提出的方法即是將這一思想運用于由重力異常分布確定大地水準面的計

算中。

1計算理論

Stokes公式具有非常簡潔的形式，

（1）

其中是地球半徑，是平均橢球體表面的正常重力的平均值，是重力異常，被稱為Stokes函數，它是測站與計算點的角距的函數（如圖1），有如下的公式：

（2）

其中：

（3）

分別為計算點的余緯與經度，分別為測站的余緯與經度，表示半徑為的單位球，且有：

（4）

上式中，A為方位角。

圖1?Stokes函數

從（1）式可以看出，計算大地水準面差距也就是計算重力異常與Stokes函數的乘積在整個球面上的積分，因此在某種意義上，Stokes函數可以認為是一種格林函數，即任一測站的重力異常對大地水準面差距的貢獻的響應函數。以下我們所稱的格林函數即為Stokes

函數。

我們定義積分格林函數為：

（5）

δ為積分Stokes函數所處的區間間隔大小，即以該區間的中點代替積分Stokes函數的自變量。通過推導可得積分Stokes函數的解析表達式為：

（6）

其中：

（7）

顯然，在計算點處，y=0，即t=0，由（2）知，Stokes函數表達式中的分母為0，因此產生計算時產生奇異，有許多文獻討論了避免奇異性的方法，如將該點處的重力異常展開為泰勒級數。

而（6）中包含對數函數的部分的值為

（8）

上式中運用了求極限的羅必塔法則。因此，積分Stokes函數在計算點是沒有奇異性的。圖2給出了其隨角距離的變化，可以看出，積分Stokes函數的變化是比較平緩的，而不像Stokes函數那樣在近區的變化比較劇烈（注意圖1中橫軸取了對數），圖中紅色的線表示由（6）式計算的結果，而黑色的線表示由（5）式計算的結果（積分步長為0.001°），很明顯二者具有非常好的一致性，說明（6）式是正確的。

圖2?積分Stokes函數

令DA為沿方位角方向的網格劃分，那么數值積分時，認為重力異常在任一網格內為常數，則將（5）式代入（1）式可得：

（9）

2試驗算例

由于我們僅僅考慮我們提出的方法的優劣，因此采用有解析結果的算例進行驗證。本試驗中，令重力異常在全球的分布滿足

（10）

那么對于北極點（y=q）的大地水準面差距來說，其具有嚴格的解析解：

（11）

這樣我們就可以用來檢核不同方法計算結果的正確性與精度。對于北極此時我們就可以利用重力異常分布的對稱性，并且在這兩點的大地水準面差距具有嚴格的解析解。

從圖1中的Stokes函數可以看出，在角距離較小時（近區），函數變化比較劇烈，因此在積分時，近區的步長取得比較小，而遠區的步長可以大一些。在計算中，具體采用的步長見表1。

由于我們假設的重力異常分布與經度無關，顯然與經度有關的積分值為2p，因此在計算結果的比較中我們忽略這一常數，也就是只對緯度進行積分，另外我們也忽略（9）式中求和符號前的常數，這并不影響結果的比較，計算結果在表2中列出。

由表中的結果可以看出，積分Stokes方法計算結果的精度比普通的數值積分方法的精度提高了1個數量級，這在確定高精度的大地水準面的計算中就顯得尤為重要了。另外我們減小了近區的積分步長，但是對結果的影響甚微，表明所采用的步長已經可以達到最佳的

效果。

3結語

我們提出了一種計算大地水準面差距的新方法—積分Stokes方法，該方法顯著的優點是去除了計算點處的奇異性，并且在計算效率上也優于普通的數值積分方法，該方法使得計算結果的精度提高了一個數量級，這在實際的工作中將發揮重要的作用。

參考文獻

[1]?管澤霖，管錚，黃謨濤，翟國君．局部重力場逼近理

論和方法[M]．北京：測繪出版社，1997．

[2]?Goad，C，C．Gravimetric tidal loading computed from

integrated Greens function，J．G．Res．，85，

2679-2683，1980．

[3]?Wu Qingpeng， Zhu Wenlu．， The load integrated

Greens function （LIGF） for spherical elastic earth

models and their applications． Proceedings of the

twelfth international symposium on earth tides．Science

press， Beijing， New York， 1995．

[4]?吳慶鵬．重力學與固體潮[M]．北京：地震出版社，

1997．

endprint

（濟南市勘察測繪研究院，山東 濟南 250013）

摘要：文章介紹了計算求解大地水準面的Stokes公式的一種新方法—積分Stokes方法。給出了積分Stokes函數，通過該函數計算大地水準面時，在計算點處不存在奇異性。作為示例文章采用了連續分布的重力異常函數進行了試算，結果表明，利用該方法計算所得的結果與普通的數值積分方法比較具有較高的精度。

關鍵詞：大地水準面；Stokes公式積分；Stokes函數；計算點處

中圖分類號：P223文獻標識碼：A文章編號：1009-2374（2014）22-0061-02確定地球形狀是大地測量工作者的一項基本任務，通常采用大地水準面來表征地球形狀，它是覆蓋全球的一個重力等位面，其上的位與正常橢球表面的位相等。1849年，Stokes導出了計算大地水準面的積分公式—Stokes公式，為確定地球形狀提供了有力的工具。由于該公式是對全球進行積分，圍繞計算的精度與速度，不同學者進行了廣泛的研究，提出了許多計算方法，如遠近區相結合的方法和譜分析方法，以及Stokes函數的改化。1980年Goad在計算海潮負荷時提出了積分格林函數方法，我國學者吳慶鵬也對此做了更進一步的研究，他們的研究表明該方法具有顯著的優點，特別是能夠使得計算點處的奇異性降低1階。本文提出的方法即是將這一思想運用于由重力異常分布確定大地水準面的計

算中。

1計算理論

Stokes公式具有非常簡潔的形式，

（1）

其中是地球半徑，是平均橢球體表面的正常重力的平均值，是重力異常，被稱為Stokes函數，它是測站與計算點的角距的函數（如圖1），有如下的公式：

（2）

其中：

（3）

分別為計算點的余緯與經度，分別為測站的余緯與經度，表示半徑為的單位球，且有：

（4）

上式中，A為方位角。

圖1?Stokes函數

從（1）式可以看出，計算大地水準面差距也就是計算重力異常與Stokes函數的乘積在整個球面上的積分，因此在某種意義上，Stokes函數可以認為是一種格林函數，即任一測站的重力異常對大地水準面差距的貢獻的響應函數。以下我們所稱的格林函數即為Stokes

函數。

我們定義積分格林函數為：

（5）

δ為積分Stokes函數所處的區間間隔大小，即以該區間的中點代替積分Stokes函數的自變量。通過推導可得積分Stokes函數的解析表達式為：

（6）

其中：

（7）

顯然，在計算點處，y=0，即t=0，由（2）知，Stokes函數表達式中的分母為0，因此產生計算時產生奇異，有許多文獻討論了避免奇異性的方法，如將該點處的重力異常展開為泰勒級數。

而（6）中包含對數函數的部分的值為

（8）

上式中運用了求極限的羅必塔法則。因此，積分Stokes函數在計算點是沒有奇異性的。圖2給出了其隨角距離的變化，可以看出，積分Stokes函數的變化是比較平緩的，而不像Stokes函數那樣在近區的變化比較劇烈（注意圖1中橫軸取了對數），圖中紅色的線表示由（6）式計算的結果，而黑色的線表示由（5）式計算的結果（積分步長為0.001°），很明顯二者具有非常好的一致性，說明（6）式是正確的。

圖2?積分Stokes函數

令DA為沿方位角方向的網格劃分，那么數值積分時，認為重力異常在任一網格內為常數，則將（5）式代入（1）式可得：

（9）

2試驗算例

由于我們僅僅考慮我們提出的方法的優劣，因此采用有解析結果的算例進行驗證。本試驗中，令重力異常在全球的分布滿足

（10）

那么對于北極點（y=q）的大地水準面差距來說，其具有嚴格的解析解：

（11）

這樣我們就可以用來檢核不同方法計算結果的正確性與精度。對于北極此時我們就可以利用重力異常分布的對稱性，并且在這兩點的大地水準面差距具有嚴格的解析解。

從圖1中的Stokes函數可以看出，在角距離較小時（近區），函數變化比較劇烈，因此在積分時，近區的步長取得比較小，而遠區的步長可以大一些。在計算中，具體采用的步長見表1。

由于我們假設的重力異常分布與經度無關，顯然與經度有關的積分值為2p，因此在計算結果的比較中我們忽略這一常數，也就是只對緯度進行積分，另外我們也忽略（9）式中求和符號前的常數，這并不影響結果的比較，計算結果在表2中列出。

由表中的結果可以看出，積分Stokes方法計算結果的精度比普通的數值積分方法的精度提高了1個數量級，這在確定高精度的大地水準面的計算中就顯得尤為重要了。另外我們減小了近區的積分步長，但是對結果的影響甚微，表明所采用的步長已經可以達到最佳的

效果。

3結語

我們提出了一種計算大地水準面差距的新方法—積分Stokes方法，該方法顯著的優點是去除了計算點處的奇異性，并且在計算效率上也優于普通的數值積分方法，該方法使得計算結果的精度提高了一個數量級，這在實際的工作中將發揮重要的作用。

參考文獻

[1]?管澤霖，管錚，黃謨濤，翟國君．局部重力場逼近理

論和方法[M]．北京：測繪出版社，1997．

[2]?Goad，C，C．Gravimetric tidal loading computed from

integrated Greens function，J．G．Res．，85，

2679-2683，1980．

[3]?Wu Qingpeng， Zhu Wenlu．， The load integrated

Greens function （LIGF） for spherical elastic earth

models and their applications． Proceedings of the

twelfth international symposium on earth tides．Science

press， Beijing， New York， 1995．

[4]?吳慶鵬．重力學與固體潮[M]．北京：地震出版社，

1997．

endprint