“三數”的選用

陳德前

對于一組數據來說，都有平均數和中位數，有時有眾數，但是對于一組表示實際問題的數據來說，這三個數不一定都有意義，應該關心哪個數，取決于所要調查的目標。

例1 （2013年貴州省貴陽市中考題）在端午節到來之前，兒童福利院對全體小朋友愛吃哪幾種粽子作調查，以決定最終買哪種粽子。下面的調查數據中最值得關注的是（ ）

A.方差 B.平均數 C.中位數 D.眾數

解析 本題決定最終買哪種粽子，應該考慮大部分小朋友喜歡的種類，平均數受極值干擾，中位數代表了這組數據值大小的“中點”，都不能反映大部分小朋友喜好，而方差反映喜好人數的波動情況，不能反映喜好的集中趨勢，只有眾數符合要求。故答案選D。

說明 眾數反映一組數據的“多數水平”。眾數并沒有通常意義上的“平均”的含義。但眾數在數據中出現的次數最頻繁，說明該數值在數據中最具有代表性，因而從另一個側面反映了數據的集中化趨勢。眾數不會受到極端值的影響，當一組數據中有不少數據多次重復出現時，我們往往關心眾數。通常的“最佳”“最受歡迎”“最暢銷”等的評選活動都是用投票的方法取眾數得到的。

例2 （2013年山東省濰坊市中考題）在某校“我的中國夢”演講比賽中，有9名學生參加決賽，他們決賽的最終成績各不相同。其中的一名學生要想知道自己能否進入前5名，不僅要了解自己的成績，還要了解這9名學生成績的（ ）

A.眾數 B.方差 C.平均數 D.中位數

解析 9名選手的得分各不相同，則這組得分的中位數為第5名的分數，要想知道自己能否進入前5名，必須將自己的成績與第5名成績相對比，知道第5名的分數和自己的分數，就可判斷能否進入前5名，故答案選D。

說明 中位數代表這組數據的中等水平。

例3 （2013年四川省巴中市中考題）體育課上，某班兩個同學分別進行了5次短跑訓練，要判斷哪一個同學的成績比較穩定，通常需要比較兩個同學成績的（ ）

A.平均數 B.方差 C.頻數分布 D.中位數

解析 由于方差能反映數據的穩定性，需要比較這兩個同學5次短跑訓練成績的方差。故答案選B。

說明 要判斷哪兩個同學的成績比較穩定，通常需要比較這兩個同學的多次成績的方差。

例4 某校舉辦校園歌詠比賽，選出10個同學擔任評委，并事先擬定從如下四種方案中選擇合理方案來確定演唱者的最后得分（每個評委打分最高為10分） 。

方案1：所有評委給分的平均分；

方案2：在所有評委中，去掉一個最高分和一個最低分，再計算剩余評委的平均分；

方案3：所有評委給分的中位數；

方案4：所有評委給分的眾數。

為了探究上述方案的合理性，先對某個同學的演唱成績進行統計實驗，上圖是這個同學的得分統計圖：

（1）分別按上述四種方案計算這個同學演唱的最后得分；

（2）根據（1）中的結果，請用統計的知識說明哪些方案不適合作為這個同學演唱的最后得分？

分析 （1）平均分等于總分數除以總人數，中位數是第5個和第6個分數的平均數，即（8+8）÷2=8，出現次數最多的分數是8和8.4，所以眾數是8和8.4；（2）方案一受極值影響，方案4不符合實際意義。

解 （1）方案1最后得分：×（3.2+7.0+7.8+3×8+3×8.4+9.8）=7.7；方案2最后得分：×（7.0+7.8+3×8+3×8.4）=8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4。

（2）因為方案1中的平均數受極端數值的影響，不能反映這組數據的“平均水平”，所以方案1不適合作為最后得分的方案。因為方案4中的眾數有兩個，眾數失去了實際意義，所以方案4不適合作為最后得分的方案。

說明 解決這類問題，首先讀懂統計圖的橫縱坐標所表示的實際意義。利用“三數”解題時，要看是否受極值影響的同時，還要考慮實際意義。

對于一組數據來說，都有平均數和中位數，有時有眾數，但是對于一組表示實際問題的數據來說，這三個數不一定都有意義，應該關心哪個數，取決于所要調查的目標。

例1 （2013年貴州省貴陽市中考題）在端午節到來之前，兒童福利院對全體小朋友愛吃哪幾種粽子作調查，以決定最終買哪種粽子。下面的調查數據中最值得關注的是（ ）

A.方差 B.平均數 C.中位數 D.眾數

解析 本題決定最終買哪種粽子，應該考慮大部分小朋友喜歡的種類，平均數受極值干擾，中位數代表了這組數據值大小的“中點”，都不能反映大部分小朋友喜好，而方差反映喜好人數的波動情況，不能反映喜好的集中趨勢，只有眾數符合要求。故答案選D。

說明 眾數反映一組數據的“多數水平”。眾數并沒有通常意義上的“平均”的含義。但眾數在數據中出現的次數最頻繁，說明該數值在數據中最具有代表性，因而從另一個側面反映了數據的集中化趨勢。眾數不會受到極端值的影響，當一組數據中有不少數據多次重復出現時，我們往往關心眾數。通常的“最佳”“最受歡迎”“最暢銷”等的評選活動都是用投票的方法取眾數得到的。

例2 （2013年山東省濰坊市中考題）在某校“我的中國夢”演講比賽中，有9名學生參加決賽，他們決賽的最終成績各不相同。其中的一名學生要想知道自己能否進入前5名，不僅要了解自己的成績，還要了解這9名學生成績的（ ）

A.眾數 B.方差 C.平均數 D.中位數

解析 9名選手的得分各不相同，則這組得分的中位數為第5名的分數，要想知道自己能否進入前5名，必須將自己的成績與第5名成績相對比，知道第5名的分數和自己的分數，就可判斷能否進入前5名，故答案選D。

說明 中位數代表這組數據的中等水平。

例3 （2013年四川省巴中市中考題）體育課上，某班兩個同學分別進行了5次短跑訓練，要判斷哪一個同學的成績比較穩定，通常需要比較兩個同學成績的（ ）

A.平均數 B.方差 C.頻數分布 D.中位數

解析 由于方差能反映數據的穩定性，需要比較這兩個同學5次短跑訓練成績的方差。故答案選B。

說明 要判斷哪兩個同學的成績比較穩定，通常需要比較這兩個同學的多次成績的方差。

例4 某校舉辦校園歌詠比賽，選出10個同學擔任評委，并事先擬定從如下四種方案中選擇合理方案來確定演唱者的最后得分（每個評委打分最高為10分） 。

方案1：所有評委給分的平均分；

方案2：在所有評委中，去掉一個最高分和一個最低分，再計算剩余評委的平均分；

方案3：所有評委給分的中位數；

方案4：所有評委給分的眾數。

為了探究上述方案的合理性，先對某個同學的演唱成績進行統計實驗，上圖是這個同學的得分統計圖：

（1）分別按上述四種方案計算這個同學演唱的最后得分；

（2）根據（1）中的結果，請用統計的知識說明哪些方案不適合作為這個同學演唱的最后得分？

分析 （1）平均分等于總分數除以總人數，中位數是第5個和第6個分數的平均數，即（8+8）÷2=8，出現次數最多的分數是8和8.4，所以眾數是8和8.4；（2）方案一受極值影響，方案4不符合實際意義。

解 （1）方案1最后得分：×（3.2+7.0+7.8+3×8+3×8.4+9.8）=7.7；方案2最后得分：×（7.0+7.8+3×8+3×8.4）=8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4。

（2）因為方案1中的平均數受極端數值的影響，不能反映這組數據的“平均水平”，所以方案1不適合作為最后得分的方案。因為方案4中的眾數有兩個，眾數失去了實際意義，所以方案4不適合作為最后得分的方案。

說明 解決這類問題，首先讀懂統計圖的橫縱坐標所表示的實際意義。利用“三數”解題時，要看是否受極值影響的同時，還要考慮實際意義。

對于一組數據來說，都有平均數和中位數，有時有眾數，但是對于一組表示實際問題的數據來說，這三個數不一定都有意義，應該關心哪個數，取決于所要調查的目標。

例1 （2013年貴州省貴陽市中考題）在端午節到來之前，兒童福利院對全體小朋友愛吃哪幾種粽子作調查，以決定最終買哪種粽子。下面的調查數據中最值得關注的是（ ）

A.方差 B.平均數 C.中位數 D.眾數

解析 本題決定最終買哪種粽子，應該考慮大部分小朋友喜歡的種類，平均數受極值干擾，中位數代表了這組數據值大小的“中點”，都不能反映大部分小朋友喜好，而方差反映喜好人數的波動情況，不能反映喜好的集中趨勢，只有眾數符合要求。故答案選D。

說明 眾數反映一組數據的“多數水平”。眾數并沒有通常意義上的“平均”的含義。但眾數在數據中出現的次數最頻繁，說明該數值在數據中最具有代表性，因而從另一個側面反映了數據的集中化趨勢。眾數不會受到極端值的影響，當一組數據中有不少數據多次重復出現時，我們往往關心眾數。通常的“最佳”“最受歡迎”“最暢銷”等的評選活動都是用投票的方法取眾數得到的。

例2 （2013年山東省濰坊市中考題）在某校“我的中國夢”演講比賽中，有9名學生參加決賽，他們決賽的最終成績各不相同。其中的一名學生要想知道自己能否進入前5名，不僅要了解自己的成績，還要了解這9名學生成績的（ ）

A.眾數 B.方差 C.平均數 D.中位數

解析 9名選手的得分各不相同，則這組得分的中位數為第5名的分數，要想知道自己能否進入前5名，必須將自己的成績與第5名成績相對比，知道第5名的分數和自己的分數，就可判斷能否進入前5名，故答案選D。

說明 中位數代表這組數據的中等水平。

例3 （2013年四川省巴中市中考題）體育課上，某班兩個同學分別進行了5次短跑訓練，要判斷哪一個同學的成績比較穩定，通常需要比較兩個同學成績的（ ）

A.平均數 B.方差 C.頻數分布 D.中位數

解析 由于方差能反映數據的穩定性，需要比較這兩個同學5次短跑訓練成績的方差。故答案選B。

說明 要判斷哪兩個同學的成績比較穩定，通常需要比較這兩個同學的多次成績的方差。

例4 某校舉辦校園歌詠比賽，選出10個同學擔任評委，并事先擬定從如下四種方案中選擇合理方案來確定演唱者的最后得分（每個評委打分最高為10分） 。

方案1：所有評委給分的平均分；

方案2：在所有評委中，去掉一個最高分和一個最低分，再計算剩余評委的平均分；

方案3：所有評委給分的中位數；

方案4：所有評委給分的眾數。

為了探究上述方案的合理性，先對某個同學的演唱成績進行統計實驗，上圖是這個同學的得分統計圖：

（1）分別按上述四種方案計算這個同學演唱的最后得分；

（2）根據（1）中的結果，請用統計的知識說明哪些方案不適合作為這個同學演唱的最后得分？

分析 （1）平均分等于總分數除以總人數，中位數是第5個和第6個分數的平均數，即（8+8）÷2=8，出現次數最多的分數是8和8.4，所以眾數是8和8.4；（2）方案一受極值影響，方案4不符合實際意義。

解 （1）方案1最后得分：×（3.2+7.0+7.8+3×8+3×8.4+9.8）=7.7；方案2最后得分：×（7.0+7.8+3×8+3×8.4）=8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4。

（2）因為方案1中的平均數受極端數值的影響，不能反映這組數據的“平均水平”，所以方案1不適合作為最后得分的方案。因為方案4中的眾數有兩個，眾數失去了實際意義，所以方案4不適合作為最后得分的方案。

說明 解決這類問題，首先讀懂統計圖的橫縱坐標所表示的實際意義。利用“三數”解題時，要看是否受極值影響的同時，還要考慮實際意義。