“數據的代表”考點例析

洪飛

平均數、中位數和眾數都是數據的代表，它們刻畫了一組數據的“平均水平”。我們要根據實際問題的具體內容和考查目標，靈活選用平均數、中位數和眾數來反映一組數據某個方面的特征。數據的代表要求掌握平均數、中位數、眾數等基本概念，并能夠合理應用它們解決實際問題。下面對這部分內容的考點進行分類解析。

考點1 平均數的求法

平均數反映的是一組數據中各個數據的平均大小。作為“一般水平”的平均數可以通過計算得到，一般的計算方法是：用一組數據的總和除以數據的個數。

例1 某班在一次數學測試后，成績統計如下表：

該班這次數學測試的平均成績是（ ）

A.82 B.75 C.65 D.62

解析 本題要根據加權平均數公式計算，

=82。故答案選A。

點評 本題考查加權平均數公式，是總和除以總人數而得到平均成績，這種加權思想值得大家重視，比如統計學校八年級（6個班）的數學平均成績，就不能簡單地對6個班的平均分求平均數，而應該把6個班的總分除以6個班總人數才能得出八年級數學平均分。

考點2 眾數和中位數的求法

求解此類問題時應認真觀察，明確各數出現的次數，再根據定義求解。

例2 某學校四個綠化小組在植樹節這天種下白楊樹的棵數如下：10、10、x、8，已知這組數據的眾數和平均數相等，那么這組數據的中位數是_______。

解析 根據眾數的定義，當x=10時，這組數據的眾數是10；當x=8時，這組數據沒有眾數；當x為其他數時，這組數據的眾數還是10。所以，這組數據的眾數必定是10。

由這組數據的眾數和平均數相等，得=10，x=12。

把數據從小到大排序，得8、10、10、12，所以這組數據的中位數是=10。

點評 眾數就是一組數據中出現次數最多的那個數。有時候，一組數據中的眾數不止一個；有時候，一組數據中也可能沒有眾數。比如數據1、2、2、3、3中，2和3都是眾數，而數據2、2、3、3中就沒有眾數。作為一組數據的代表，眾數是“屈指可數的”。

例3 某中學為了解某年級1 200名學生每學期參加社會實踐活動的時間，隨機對該年級50名學生進行了調查，結果如下表：

在這個統計中，眾數是__________，中位數是__________。

解析 從調查數據可知，參加實踐活動9天的次數最多，即眾數為9天，而中位數從4天開始到最多13天中，50人參加了調查，中位數應為第25、26人，恰好都為9天，故中位數也為9天。

點評 將一組數據按從大到小（或從小到大）的順序排列時，處在最中間位置的一個數（奇數個數據時）或兩個數據（偶數個數據時）的平均數叫做這組數據的中位數。中位數代表著一組數據的“中等水平”。

考點3 利用眾數、平均數的關系求字母的值

這類題目在中考題中經常出現，求解時應認真分析題意后列方程求解。

例4 一組數據5、7、7、x的中位數與平均數相等，則x的值為______。

解析 數據5、7、7、x的平均數x==。

①當x≤5時，數據從小到大排列為：x、5、7、7，則中位數是=6。根據已知得=6，所以x=5。

②當5

③當x≥7時，數據從小到大排列為：5、7、7、x，則中位數是。根據已知得=7，所以x=9。

所以x的值為5或9。

點評 中位數是將數據按大小順序依次排列（即使相等的數也應全部參加排序），當數據的個數是奇數時，中位數就是最中間的那個數；當數據的個數是偶數時，就取最中間的兩個數的平均數為中位數。

考點4 創新情境應用題

例5 某校九年級（1）班積極響應校團委的號召， 每位同學都向“希望工程”捐獻圖書，全班40名同學共捐圖書320冊。特別值得一提的是小李、小王兩位同學在父母的支持下各捐獻了50冊圖書。班長統計了全班捐書情況如下表（被粗心的馬小虎用墨水污染了一部分）：

（1）分別求出該班級捐獻7冊圖書和8冊圖書的人數；

（2）請計算出捐書冊數的平均數、中位數和眾數， 并判斷其中哪些統計量不能反映該班同學捐書冊數的一般狀況，說明理由。

分析 本題是一道集方程組、平均數、中位數和眾數于一體的表格信息題，根據已知條件及表格數據信息可知：捐7冊書人數+捐8冊書人數=40-（6+8+15+2）=9；捐7冊書總數+捐8冊書總數=320-（4×6+5×8+6×15+50×2）。由此可設未知數列方程組，求出捐獻7冊圖書和8冊圖書的人數，進而計算出平均數、眾數和中位數。

解 （1）設捐7冊書有x人，捐8冊書有y人，根據題意得

x+y=40-（6+8+15+2）=9，7x+8y=320-（4×6+5×8+6×15+50×2）=66， 解得x=6，y=3。

所以捐7冊圖書有6人，捐8冊圖書有3人。

（2）捐書的平均數為320÷40=8（冊），捐書的中位數為6冊，捐書的眾數為6冊。

中位數或眾數可以用來反映全班同學的一般捐書情況，而平均數為8冊不能反映該班同學捐書冊數的一般狀況。因為多數同學的捐書在6本左右，而捐書8冊的只有3人。

例6 閱讀理解：市盈率是某種股票每股市價與每股盈利的比率（即某只股票的市盈率=該股票當前每股市價÷該股票上一年每股盈利）。市盈率是估計股票價值的最基本、最重要的指標之一。一般認為，該比率保持在30以下是正常的，風險小，值得購買；過大則說明股價高，風險大，購買時應謹慎。

應用：某日一股民通過互聯網了解到如下三方面的信息：

①甲股票當日每股市價與上年每股盈利分別為5元、0.2元，乙股票當日每股市價與上年每股股盈利分別為8元、0.01元。

②該股民所購買的15只股票的市盈率情況如下表：

③丙股票最近10天的市盈率依次為：

20 20 30 28 32 35 38 42 40 44

根據以上信息，解答下列問題：

（1）甲、乙兩只股票的市盈率分別是多少？

（2）該股民所購買的15只股票中風險較小的有幾只？

（3）求該股民所購15只股票的市盈率的平均數、中位數與眾數。

分析 這是一個社會熱點問題，解決問題的關鍵是要理解題意，看清所給信息的含義。

解 （1）甲股票的市盈率為5÷0.2=25，乙股票的市盈率為8÷0.01=800；

（2）市盈率小于30時，風險較小，因而有5只；

（3）平均數為100，中位數為59，眾數為80；

平均數、中位數和眾數都是數據的代表，它們刻畫了一組數據的“平均水平”。我們要根據實際問題的具體內容和考查目標，靈活選用平均數、中位數和眾數來反映一組數據某個方面的特征。數據的代表要求掌握平均數、中位數、眾數等基本概念，并能夠合理應用它們解決實際問題。下面對這部分內容的考點進行分類解析。

考點1 平均數的求法

平均數反映的是一組數據中各個數據的平均大小。作為“一般水平”的平均數可以通過計算得到，一般的計算方法是：用一組數據的總和除以數據的個數。

例1 某班在一次數學測試后，成績統計如下表：

該班這次數學測試的平均成績是（ ）

A.82 B.75 C.65 D.62

解析 本題要根據加權平均數公式計算，

=82。故答案選A。

點評 本題考查加權平均數公式，是總和除以總人數而得到平均成績，這種加權思想值得大家重視，比如統計學校八年級（6個班）的數學平均成績，就不能簡單地對6個班的平均分求平均數，而應該把6個班的總分除以6個班總人數才能得出八年級數學平均分。

考點2 眾數和中位數的求法

求解此類問題時應認真觀察，明確各數出現的次數，再根據定義求解。

例2 某學校四個綠化小組在植樹節這天種下白楊樹的棵數如下：10、10、x、8，已知這組數據的眾數和平均數相等，那么這組數據的中位數是_______。

解析 根據眾數的定義，當x=10時，這組數據的眾數是10；當x=8時，這組數據沒有眾數；當x為其他數時，這組數據的眾數還是10。所以，這組數據的眾數必定是10。

由這組數據的眾數和平均數相等，得=10，x=12。

把數據從小到大排序，得8、10、10、12，所以這組數據的中位數是=10。

點評 眾數就是一組數據中出現次數最多的那個數。有時候，一組數據中的眾數不止一個；有時候，一組數據中也可能沒有眾數。比如數據1、2、2、3、3中，2和3都是眾數，而數據2、2、3、3中就沒有眾數。作為一組數據的代表，眾數是“屈指可數的”。

例3 某中學為了解某年級1 200名學生每學期參加社會實踐活動的時間，隨機對該年級50名學生進行了調查，結果如下表：

在這個統計中，眾數是__________，中位數是__________。

解析 從調查數據可知，參加實踐活動9天的次數最多，即眾數為9天，而中位數從4天開始到最多13天中，50人參加了調查，中位數應為第25、26人，恰好都為9天，故中位數也為9天。

點評 將一組數據按從大到小（或從小到大）的順序排列時，處在最中間位置的一個數（奇數個數據時）或兩個數據（偶數個數據時）的平均數叫做這組數據的中位數。中位數代表著一組數據的“中等水平”。

考點3 利用眾數、平均數的關系求字母的值

這類題目在中考題中經常出現，求解時應認真分析題意后列方程求解。

例4 一組數據5、7、7、x的中位數與平均數相等，則x的值為______。

解析 數據5、7、7、x的平均數x==。

①當x≤5時，數據從小到大排列為：x、5、7、7，則中位數是=6。根據已知得=6，所以x=5。

②當5

③當x≥7時，數據從小到大排列為：5、7、7、x，則中位數是。根據已知得=7，所以x=9。

所以x的值為5或9。

點評 中位數是將數據按大小順序依次排列（即使相等的數也應全部參加排序），當數據的個數是奇數時，中位數就是最中間的那個數；當數據的個數是偶數時，就取最中間的兩個數的平均數為中位數。

考點4 創新情境應用題

例5 某校九年級（1）班積極響應校團委的號召， 每位同學都向“希望工程”捐獻圖書，全班40名同學共捐圖書320冊。特別值得一提的是小李、小王兩位同學在父母的支持下各捐獻了50冊圖書。班長統計了全班捐書情況如下表（被粗心的馬小虎用墨水污染了一部分）：

（1）分別求出該班級捐獻7冊圖書和8冊圖書的人數；

（2）請計算出捐書冊數的平均數、中位數和眾數， 并判斷其中哪些統計量不能反映該班同學捐書冊數的一般狀況，說明理由。

分析 本題是一道集方程組、平均數、中位數和眾數于一體的表格信息題，根據已知條件及表格數據信息可知：捐7冊書人數+捐8冊書人數=40-（6+8+15+2）=9；捐7冊書總數+捐8冊書總數=320-（4×6+5×8+6×15+50×2）。由此可設未知數列方程組，求出捐獻7冊圖書和8冊圖書的人數，進而計算出平均數、眾數和中位數。

解 （1）設捐7冊書有x人，捐8冊書有y人，根據題意得

x+y=40-（6+8+15+2）=9，7x+8y=320-（4×6+5×8+6×15+50×2）=66， 解得x=6，y=3。

所以捐7冊圖書有6人，捐8冊圖書有3人。

（2）捐書的平均數為320÷40=8（冊），捐書的中位數為6冊，捐書的眾數為6冊。

中位數或眾數可以用來反映全班同學的一般捐書情況，而平均數為8冊不能反映該班同學捐書冊數的一般狀況。因為多數同學的捐書在6本左右，而捐書8冊的只有3人。

例6 閱讀理解：市盈率是某種股票每股市價與每股盈利的比率（即某只股票的市盈率=該股票當前每股市價÷該股票上一年每股盈利）。市盈率是估計股票價值的最基本、最重要的指標之一。一般認為，該比率保持在30以下是正常的，風險小，值得購買；過大則說明股價高，風險大，購買時應謹慎。

應用：某日一股民通過互聯網了解到如下三方面的信息：

①甲股票當日每股市價與上年每股盈利分別為5元、0.2元，乙股票當日每股市價與上年每股股盈利分別為8元、0.01元。

②該股民所購買的15只股票的市盈率情況如下表：

③丙股票最近10天的市盈率依次為：

20 20 30 28 32 35 38 42 40 44

根據以上信息，解答下列問題：

（1）甲、乙兩只股票的市盈率分別是多少？

（2）該股民所購買的15只股票中風險較小的有幾只？

（3）求該股民所購15只股票的市盈率的平均數、中位數與眾數。

分析 這是一個社會熱點問題，解決問題的關鍵是要理解題意，看清所給信息的含義。

解 （1）甲股票的市盈率為5÷0.2=25，乙股票的市盈率為8÷0.01=800；

（2）市盈率小于30時，風險較小，因而有5只；

（3）平均數為100，中位數為59，眾數為80；

平均數、中位數和眾數都是數據的代表，它們刻畫了一組數據的“平均水平”。我們要根據實際問題的具體內容和考查目標，靈活選用平均數、中位數和眾數來反映一組數據某個方面的特征。數據的代表要求掌握平均數、中位數、眾數等基本概念，并能夠合理應用它們解決實際問題。下面對這部分內容的考點進行分類解析。

考點1 平均數的求法

平均數反映的是一組數據中各個數據的平均大小。作為“一般水平”的平均數可以通過計算得到，一般的計算方法是：用一組數據的總和除以數據的個數。

例1 某班在一次數學測試后，成績統計如下表：

該班這次數學測試的平均成績是（ ）

A.82 B.75 C.65 D.62

解析 本題要根據加權平均數公式計算，

=82。故答案選A。

點評 本題考查加權平均數公式，是總和除以總人數而得到平均成績，這種加權思想值得大家重視，比如統計學校八年級（6個班）的數學平均成績，就不能簡單地對6個班的平均分求平均數，而應該把6個班的總分除以6個班總人數才能得出八年級數學平均分。

考點2 眾數和中位數的求法

求解此類問題時應認真觀察，明確各數出現的次數，再根據定義求解。

例2 某學校四個綠化小組在植樹節這天種下白楊樹的棵數如下：10、10、x、8，已知這組數據的眾數和平均數相等，那么這組數據的中位數是_______。

解析 根據眾數的定義，當x=10時，這組數據的眾數是10；當x=8時，這組數據沒有眾數；當x為其他數時，這組數據的眾數還是10。所以，這組數據的眾數必定是10。

由這組數據的眾數和平均數相等，得=10，x=12。

把數據從小到大排序，得8、10、10、12，所以這組數據的中位數是=10。

點評 眾數就是一組數據中出現次數最多的那個數。有時候，一組數據中的眾數不止一個；有時候，一組數據中也可能沒有眾數。比如數據1、2、2、3、3中，2和3都是眾數，而數據2、2、3、3中就沒有眾數。作為一組數據的代表，眾數是“屈指可數的”。

例3 某中學為了解某年級1 200名學生每學期參加社會實踐活動的時間，隨機對該年級50名學生進行了調查，結果如下表：

在這個統計中，眾數是__________，中位數是__________。

解析 從調查數據可知，參加實踐活動9天的次數最多，即眾數為9天，而中位數從4天開始到最多13天中，50人參加了調查，中位數應為第25、26人，恰好都為9天，故中位數也為9天。

點評 將一組數據按從大到小（或從小到大）的順序排列時，處在最中間位置的一個數（奇數個數據時）或兩個數據（偶數個數據時）的平均數叫做這組數據的中位數。中位數代表著一組數據的“中等水平”。

考點3 利用眾數、平均數的關系求字母的值

這類題目在中考題中經常出現，求解時應認真分析題意后列方程求解。

例4 一組數據5、7、7、x的中位數與平均數相等，則x的值為______。

解析 數據5、7、7、x的平均數x==。

①當x≤5時，數據從小到大排列為：x、5、7、7，則中位數是=6。根據已知得=6，所以x=5。

②當5

③當x≥7時，數據從小到大排列為：5、7、7、x，則中位數是。根據已知得=7，所以x=9。

所以x的值為5或9。

點評 中位數是將數據按大小順序依次排列（即使相等的數也應全部參加排序），當數據的個數是奇數時，中位數就是最中間的那個數；當數據的個數是偶數時，就取最中間的兩個數的平均數為中位數。

考點4 創新情境應用題

例5 某校九年級（1）班積極響應校團委的號召， 每位同學都向“希望工程”捐獻圖書，全班40名同學共捐圖書320冊。特別值得一提的是小李、小王兩位同學在父母的支持下各捐獻了50冊圖書。班長統計了全班捐書情況如下表（被粗心的馬小虎用墨水污染了一部分）：

（1）分別求出該班級捐獻7冊圖書和8冊圖書的人數；

（2）請計算出捐書冊數的平均數、中位數和眾數， 并判斷其中哪些統計量不能反映該班同學捐書冊數的一般狀況，說明理由。

分析 本題是一道集方程組、平均數、中位數和眾數于一體的表格信息題，根據已知條件及表格數據信息可知：捐7冊書人數+捐8冊書人數=40-（6+8+15+2）=9；捐7冊書總數+捐8冊書總數=320-（4×6+5×8+6×15+50×2）。由此可設未知數列方程組，求出捐獻7冊圖書和8冊圖書的人數，進而計算出平均數、眾數和中位數。

解 （1）設捐7冊書有x人，捐8冊書有y人，根據題意得

x+y=40-（6+8+15+2）=9，7x+8y=320-（4×6+5×8+6×15+50×2）=66， 解得x=6，y=3。

所以捐7冊圖書有6人，捐8冊圖書有3人。

（2）捐書的平均數為320÷40=8（冊），捐書的中位數為6冊，捐書的眾數為6冊。

中位數或眾數可以用來反映全班同學的一般捐書情況，而平均數為8冊不能反映該班同學捐書冊數的一般狀況。因為多數同學的捐書在6本左右，而捐書8冊的只有3人。

例6 閱讀理解：市盈率是某種股票每股市價與每股盈利的比率（即某只股票的市盈率=該股票當前每股市價÷該股票上一年每股盈利）。市盈率是估計股票價值的最基本、最重要的指標之一。一般認為，該比率保持在30以下是正常的，風險小，值得購買；過大則說明股價高，風險大，購買時應謹慎。

應用：某日一股民通過互聯網了解到如下三方面的信息：

①甲股票當日每股市價與上年每股盈利分別為5元、0.2元，乙股票當日每股市價與上年每股股盈利分別為8元、0.01元。

②該股民所購買的15只股票的市盈率情況如下表：

③丙股票最近10天的市盈率依次為：

20 20 30 28 32 35 38 42 40 44

根據以上信息，解答下列問題：

（1）甲、乙兩只股票的市盈率分別是多少？

（2）該股民所購買的15只股票中風險較小的有幾只？

（3）求該股民所購15只股票的市盈率的平均數、中位數與眾數。

分析 這是一個社會熱點問題，解決問題的關鍵是要理解題意，看清所給信息的含義。

解 （1）甲股票的市盈率為5÷0.2=25，乙股票的市盈率為8÷0.01=800；

（2）市盈率小于30時，風險較小，因而有5只；

（3）平均數為100，中位數為59，眾數為80；