讓“解決分數乘除問題”的教學回歸“本源”

陳海曉

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）10-0062-03

一、問題起因

人教版數學六年級上冊在第二、三單元的《分數乘法》和《分數除法》中分別編排了解決分數乘、除問題。筆者在學生學完兩個單元內容之后，隨機對本校六年級段的一個班級進行解決分數乘、除問題能力的測試，以考察學生是否能正確解決分數乘、除兩種問題以及獨立分析數量關系的能力。設計題目如下：

請同學們先獨立解決問題，再用自己喜歡的方式說明為什么這樣解決問題？

（可以畫圖、寫等量關系式、語言表達等方式）

（1）一個縣去年綠色蔬菜總產量720萬千克，去年比今年少了。今年全縣綠色蔬菜總產量是多少萬千克？

（2）同學們收集易拉罐，六年級同學比五年級多收集了，五年級同學收集了143個易拉罐。六年級同學收集了多少個易拉罐？

我對參與調查的53位學生，給予充足的時間進行獨立解題和分析，共收得有效問卷53份。問卷情況統計結果如下：

在對全部正確解題的22位學生進一步分析，發現只有13位學生能用自己喜歡的方式正確分析數量關系，現摘錄兩位同學的解題過程（如下圖）：

生1：（1）今年產量€祝？-）=去年產量，所以720€鰨？- ）=800（萬千克）；

（2）五年級收集易拉罐數€祝？-）=六年級收集易拉罐數，所以143€祝？-）=169（個）。

生2：（1）把今年種的看作單位“1”，平均分成10份，去年種的占這樣的9份。

今年產量€祝？-）=去年產量，所以（1-）x=720，x=800；

（2）把五年級收集的易拉罐個數看作單位“1”平均分成11份，六年級相當于這樣的的13份。

五年級收集的量€祝？+）=六年級收集的量，所以143€祝？+）=169（個）。

這部分學生比較喜歡用等量關系進行分析，而此“關系式”的得出是建立在學生對分數、分數乘、除意義的深刻理解基礎之上，但遺憾的是基于這樣一種有意義的思考并正確解題的學生只占全班人數的24.5%，而其余正確解題的學生更多的是一種“用技巧”或者說是“套模形”的方式解題。

在對解答1題正確的22位學生進一步分析，發現他們對題中“分率”表示的具體含義不清晰，從而不能準確找出單位“1”或沒有這種意識，更談不上進一步運用分數乘、除意義去分析題中的數量關系（如下圖）：

生3：（1）因為最后一句是“今年全縣綠色蔬菜總產量……”，所以把今年看作單位“1”，少的就是減。列式為：720€鰨？-）=800（萬千克）。

（2）六年級收集的個數€祝？+）=五年級的收集的個數，列式為：143€鰨？+）=121（個）。

生4：（1）我用方程來計算是因為方程比較簡便，不容易算錯。

（1-）x=720

x=800

（2）同上。（1-）x=143

x=174

仔細分析以上兩位學生的思考，不難看出他們更多的是解題“模型” 的套用和模仿，即使解題正確那也純粹是“運氣”。至于解題全錯的學生，分析分數問題的能力那就可想而知了。綜合以上調查可見，更多的學生不是從數量關系的角度去分析題意解答問題，而是從題型特征去猜測和套用模型來解答。顯然，學生分析分數問題的習慣、選擇解決問題的方法以及解決問題的能力都是令人堪憂的。

二、現象分析

上述情況發生的原因是什么？我認為，主要有以下三個方面。

1.用簡單的操作步驟代替問題的分析和抽象

簡單的分數乘、除問題具有一定的模式，解題的步驟也比較單一，即使學生沒有理解數量之間的關系，憑借簡單的關鍵詞或句作判斷也可能正確解題。這往往給部分教師造成錯覺，認為分數問題的數量關系比較簡單，缺乏對題中分數含義的仔細分析，更談不上引導學生借助分數乘、除法意義來抽象數量關系。即使在兩個單元內容教學完成之后，發現學生有出現“混淆”兩者之勢，也只是簡單地告知學生操作步驟“三部曲”：第一，在問題中找單位“1”的量，確定已知還是未知；第二，單位“1”已知，就用乘法解題；第三，單位“1”未知，就用方程解題或除法解題。

“三部曲”雖然能讓部分學生正確解題，但這樣的教學過于程式化，學生成了操作工，只要按老師事先編制好的程序，一步步執行，就能解決問題，很少需要認真分析和思考。久而久之，學生分析問題的能力得不到培養，有根據的列式解答的習慣難以形成，解決問題的能力得不到提升。

2.對分數問題基本關系模型的抽象缺乏必要的感悟和經歷

分數乘、除問題有一個基本的數量關系模型，

即：單位“1”的量€追致？分率對應量

此模型，需要學生在大量解決實際問題的過程中體驗和感悟，才能真正被理解和內化。但經驗不足的教師往往忽視這一過程，而直接告知學生，并用它來代替數量關系的分析，使得學生在解決實際問題中本末倒置，忽視了對數量關系的分析過程，而直接套用此模型來解題。同時，學生對數量關系模型的掌握也只是靠記憶，缺乏數量關系模型的分析和抽象過程，更談不上基于分數乘、除運算意義的理解和內化。因此，學生在遇到兩類問題同時出現時，很難做到模型的正確運用和靈活變化，從而導致解題時的隨意選擇。

3.對分數乘、除問題的聯系與區別缺乏必要的辨析

分數乘、除問題在結構上非常相似，都是已知一個具體量和兩個量之間的關系，求另一個具體量。如果不仔細分析各數量間的關系，學生很容易造成混淆。而且筆者查閱了人教版數學六（上）教材，發現在《分數乘法》單元安排的全部是分數乘法問題，《分數除法》單元安排的全部是分數除法問題，人為地分開了兩類問題，分數乘、除對比題組練習始終在教材中沒有出現。這就使得學生很少有機會在課堂上進行兩類問題的對比練習，更談不上對兩類問題的聯系和區別進行有效辨析。所以，當兩種類型題目同時呈現在學生面前時，學生的思考就會產生障礙，容易導致在兩種模型之間“徘徊”，從而出現隨機套用固有的模型來解決問題，而不是基于對題目的分析和思考。endprint

上述分析，反映出學生對分數乘、除問題的相關知識掌握不夠扎實，缺乏獨立分析問題的能力，解決問題的方式和方法趨于模式化和簡單化。

三、對策思考

解決分數乘、除問題的思維過程，其本質應該是分數乘、除法意義運用的過程。同時，分數除法意義是建立在分數乘法意義基礎上，所以學生如果建立了分數乘法意義，以及明白乘、除法之間的轉換關系，就能運用分數乘法意義抽象數量關系模型，從而達到基于意義理解之上的解題。那么，學生怎樣才算是已經建立了分數乘法意義？如何幫助學生建立分數乘法意義？筆者認為，需要從以下三個方面入手。

1.關注分數乘法和整數乘法意義的區別與聯系

在整數乘法中，學生對乘法的理解是相同加數“合”的過程，而用這樣的理解去解釋分數乘法顯然是不夠的。因為分數乘法還可以表示“一個數的幾分之幾是多少”。比如：12€資抵適潛硎景？2平均分成3份，這樣的2份是多少。教師可以通過畫圖或其他策略使學生形象的感知12€？12€？€？，從而使分數乘法和整數乘除之間建立聯系，既體現轉化的數學思想，又使學生體會到分數乘法意義的本質是先“分”再“合”的過程，而整數乘法只體現相同數“合”的過程。

在教學過程中，我們既要關注整數乘法與分數乘法的區別，還要關注它們的聯系。教師可以設計如下一組問題，讓學生在解題的過程中逐步體會兩者的聯系。

1根粉筆長9厘米。

（1）3根粉筆長多少厘米？→3個“標準量”的疊加。

（2）根粉筆長多少厘米？→不夠1個“標準量”，需把它平均分成若干份，表示這樣的幾份。

（3）3根粉筆長多少厘米？→3個“標準量”和不夠1個“標準量”的組合。

可見，不管是整數乘法還是分數乘法，都與“標準量”有關。只有學生既明白分數與整數乘法之間的區別，又明白他們之間的聯系，才表示已經真正建立了分數乘法的意義。

2.在與整數方法的對比中來理解分數乘法意義的內涵。

從整數到分數是數概念的一次重大擴展。無論是在意義上、在讀寫方法和計算方法上，都有很大的差別。比較之下，分數概念比整數概念更加抽象。所以我們要善于借助整數運算的意義來建構分數乘法意義在解決問題中的實際含義。學生學了分數乘法問題后，重新去審視三年級的整數乘除問題：一個工人4天生產200個零件，照這樣計算，3天生產多少個零件？問：能否從分數的角度去思考問題？引領學生把4天的工作量看做“標準”，平均分成4份，3天的工作量就是這樣的3份，所以列式為200€住V揮邪顏頭質街紙馓獠唄越卸員瘸氏鄭拍芴寤岱質朔ㄒ庖逶誚餼鑫侍夤討械惱媸的諍？

又如教學人教版六年級上冊第38頁的例題（如下圖），

小明的爸爸體重是多少千克？

在用線段圖示表達后，學生分別從分數和整數兩種角度做如下思考，

爸爸體重的是小明體重35千克

爸爸體重€祝叫∶魈逯？5千克

列方程或根據乘除關系列除法算式

把爸爸體重平均分成15份，

7份即是小明體重35千克

↓

先求每份量，再求幾份量

↓

35€？€？5

在與整數方法的對比中，使學生體會 “單位‘1的量€追致？分率對應量”這一分數乘除問題基本數量關系模型的實質，這雖是人為的一種規定，但學生似乎在這種規定背后找到了理解的支點。在這一過程中，使舊知和新知之間建立聯系，相互轉化，從而加深對分數乘法意義的理解。這樣的教學過程，既是運用分數乘法意義解決問題的過程，也是理解分數乘法意義的過程。

3.關注學生是否建立了“標準量”概念

運用分數乘法意義解決分數問題的過程中，除了與整數方法對比外還需建立“標準量”即單位“1”的概念。例如：學校買來彩色粉筆120盒，比白色粉筆少。白色粉筆有多少盒？在理解分數意義的基礎上，教師可在解題思路上給予指導。（1）把誰看作標準。（2）比標準多還是少。（3）在標準上疊加還是從標準里減去?？梢姌藴实慕⒃诮鉀Q問題的過程中顯得致關重要。標準這個詞學生并不陌生，但真正理解標準量的學生少之又少。我們可以選取學生身邊熟悉的例子：（1）老師比XX同學高，XX同學比老師矮。分別說說這兩句話分別以誰為標準？為什么？老師比XX同學高，以XX同學的身高為標準來測量老師的身高，結果高出了這個標準。反之，XX同學比老師矮，以老師的身高為標準去測量XX同學的身高，這位同學的身高就低于標準。（2）老師比XX同學高，老師又比姚明矮，同樣是老師一下子說“高”一下子說“矮”這又是為什么？（3）XX人長得漂亮，XX人真胖，他們有標準嗎？你怎么理解？讓學生明白，表面上看沒有標準，其實心中有標準，在這里“標準量”這一概念產生了同化。在大量的具體事例中讓學生明白標準的意思，建立“標準量”的概念，再解決抽象的數學問題，學生就輕松多了。象以上例題，學生知道白粉筆是標準量，彩色粉筆比白粉筆少，在標準里減去一部份就是彩色粉筆。

即：白粉筆-白粉筆€祝講噬郾？

白粉筆€祝？-）=彩色粉筆

著名數學家華羅庚爺爺指出，善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅。以上思想正是立足于此，解決分數乘除問題→分數乘除意義→分數乘法意義→分數意義→整數乘除法意義，不斷追尋知識的原點。我們要拋棄一切形式化的教學，使學生從“訓練有數的操作工”中解放出來，使我們的教學離數學的本質更近一些，回歸教學本源，使學生真正找到理解數學的支點。endprint

上述分析，反映出學生對分數乘、除問題的相關知識掌握不夠扎實，缺乏獨立分析問題的能力，解決問題的方式和方法趨于模式化和簡單化。

三、對策思考

解決分數乘、除問題的思維過程，其本質應該是分數乘、除法意義運用的過程。同時，分數除法意義是建立在分數乘法意義基礎上，所以學生如果建立了分數乘法意義，以及明白乘、除法之間的轉換關系，就能運用分數乘法意義抽象數量關系模型，從而達到基于意義理解之上的解題。那么，學生怎樣才算是已經建立了分數乘法意義？如何幫助學生建立分數乘法意義？筆者認為，需要從以下三個方面入手。

1.關注分數乘法和整數乘法意義的區別與聯系

在整數乘法中，學生對乘法的理解是相同加數“合”的過程，而用這樣的理解去解釋分數乘法顯然是不夠的。因為分數乘法還可以表示“一個數的幾分之幾是多少”。比如：12€資抵適潛硎景？2平均分成3份，這樣的2份是多少。教師可以通過畫圖或其他策略使學生形象的感知12€？12€？€？，從而使分數乘法和整數乘除之間建立聯系，既體現轉化的數學思想，又使學生體會到分數乘法意義的本質是先“分”再“合”的過程，而整數乘法只體現相同數“合”的過程。

在教學過程中，我們既要關注整數乘法與分數乘法的區別，還要關注它們的聯系。教師可以設計如下一組問題，讓學生在解題的過程中逐步體會兩者的聯系。

1根粉筆長9厘米。

（1）3根粉筆長多少厘米？→3個“標準量”的疊加。

（2）根粉筆長多少厘米？→不夠1個“標準量”，需把它平均分成若干份，表示這樣的幾份。

（3）3根粉筆長多少厘米？→3個“標準量”和不夠1個“標準量”的組合。

可見，不管是整數乘法還是分數乘法，都與“標準量”有關。只有學生既明白分數與整數乘法之間的區別，又明白他們之間的聯系，才表示已經真正建立了分數乘法的意義。

2.在與整數方法的對比中來理解分數乘法意義的內涵。

從整數到分數是數概念的一次重大擴展。無論是在意義上、在讀寫方法和計算方法上，都有很大的差別。比較之下，分數概念比整數概念更加抽象。所以我們要善于借助整數運算的意義來建構分數乘法意義在解決問題中的實際含義。學生學了分數乘法問題后，重新去審視三年級的整數乘除問題：一個工人4天生產200個零件，照這樣計算，3天生產多少個零件？問：能否從分數的角度去思考問題？引領學生把4天的工作量看做“標準”，平均分成4份，3天的工作量就是這樣的3份，所以列式為200€住V揮邪顏頭質街紙馓獠唄越卸員瘸氏鄭拍芴寤岱質朔ㄒ庖逶誚餼鑫侍夤討械惱媸的諍？

又如教學人教版六年級上冊第38頁的例題（如下圖），

小明的爸爸體重是多少千克？

在用線段圖示表達后，學生分別從分數和整數兩種角度做如下思考，

爸爸體重的是小明體重35千克

爸爸體重€祝叫∶魈逯？5千克

列方程或根據乘除關系列除法算式

把爸爸體重平均分成15份，

7份即是小明體重35千克

↓

先求每份量，再求幾份量

↓

35€？€？5

在與整數方法的對比中，使學生體會 “單位‘1的量€追致？分率對應量”這一分數乘除問題基本數量關系模型的實質，這雖是人為的一種規定，但學生似乎在這種規定背后找到了理解的支點。在這一過程中，使舊知和新知之間建立聯系，相互轉化，從而加深對分數乘法意義的理解。這樣的教學過程，既是運用分數乘法意義解決問題的過程，也是理解分數乘法意義的過程。

3.關注學生是否建立了“標準量”概念

運用分數乘法意義解決分數問題的過程中，除了與整數方法對比外還需建立“標準量”即單位“1”的概念。例如：學校買來彩色粉筆120盒，比白色粉筆少。白色粉筆有多少盒？在理解分數意義的基礎上，教師可在解題思路上給予指導。（1）把誰看作標準。（2）比標準多還是少。（3）在標準上疊加還是從標準里減去?？梢姌藴实慕⒃诮鉀Q問題的過程中顯得致關重要。標準這個詞學生并不陌生，但真正理解標準量的學生少之又少。我們可以選取學生身邊熟悉的例子：（1）老師比XX同學高，XX同學比老師矮。分別說說這兩句話分別以誰為標準？為什么？老師比XX同學高，以XX同學的身高為標準來測量老師的身高，結果高出了這個標準。反之，XX同學比老師矮，以老師的身高為標準去測量XX同學的身高，這位同學的身高就低于標準。（2）老師比XX同學高，老師又比姚明矮，同樣是老師一下子說“高”一下子說“矮”這又是為什么？（3）XX人長得漂亮，XX人真胖，他們有標準嗎？你怎么理解？讓學生明白，表面上看沒有標準，其實心中有標準，在這里“標準量”這一概念產生了同化。在大量的具體事例中讓學生明白標準的意思，建立“標準量”的概念，再解決抽象的數學問題，學生就輕松多了。象以上例題，學生知道白粉筆是標準量，彩色粉筆比白粉筆少，在標準里減去一部份就是彩色粉筆。

即：白粉筆-白粉筆€祝講噬郾？

白粉筆€祝？-）=彩色粉筆

著名數學家華羅庚爺爺指出，善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅。以上思想正是立足于此，解決分數乘除問題→分數乘除意義→分數乘法意義→分數意義→整數乘除法意義，不斷追尋知識的原點。我們要拋棄一切形式化的教學，使學生從“訓練有數的操作工”中解放出來，使我們的教學離數學的本質更近一些，回歸教學本源，使學生真正找到理解數學的支點。endprint

上述分析，反映出學生對分數乘、除問題的相關知識掌握不夠扎實，缺乏獨立分析問題的能力，解決問題的方式和方法趨于模式化和簡單化。

三、對策思考

解決分數乘、除問題的思維過程，其本質應該是分數乘、除法意義運用的過程。同時，分數除法意義是建立在分數乘法意義基礎上，所以學生如果建立了分數乘法意義，以及明白乘、除法之間的轉換關系，就能運用分數乘法意義抽象數量關系模型，從而達到基于意義理解之上的解題。那么，學生怎樣才算是已經建立了分數乘法意義？如何幫助學生建立分數乘法意義？筆者認為，需要從以下三個方面入手。

1.關注分數乘法和整數乘法意義的區別與聯系

在整數乘法中，學生對乘法的理解是相同加數“合”的過程，而用這樣的理解去解釋分數乘法顯然是不夠的。因為分數乘法還可以表示“一個數的幾分之幾是多少”。比如：12€資抵適潛硎景？2平均分成3份，這樣的2份是多少。教師可以通過畫圖或其他策略使學生形象的感知12€？12€？€？，從而使分數乘法和整數乘除之間建立聯系，既體現轉化的數學思想，又使學生體會到分數乘法意義的本質是先“分”再“合”的過程，而整數乘法只體現相同數“合”的過程。

在教學過程中，我們既要關注整數乘法與分數乘法的區別，還要關注它們的聯系。教師可以設計如下一組問題，讓學生在解題的過程中逐步體會兩者的聯系。

1根粉筆長9厘米。

（1）3根粉筆長多少厘米？→3個“標準量”的疊加。

（2）根粉筆長多少厘米？→不夠1個“標準量”，需把它平均分成若干份，表示這樣的幾份。

（3）3根粉筆長多少厘米？→3個“標準量”和不夠1個“標準量”的組合。

可見，不管是整數乘法還是分數乘法，都與“標準量”有關。只有學生既明白分數與整數乘法之間的區別，又明白他們之間的聯系，才表示已經真正建立了分數乘法的意義。

2.在與整數方法的對比中來理解分數乘法意義的內涵。

從整數到分數是數概念的一次重大擴展。無論是在意義上、在讀寫方法和計算方法上，都有很大的差別。比較之下，分數概念比整數概念更加抽象。所以我們要善于借助整數運算的意義來建構分數乘法意義在解決問題中的實際含義。學生學了分數乘法問題后，重新去審視三年級的整數乘除問題：一個工人4天生產200個零件，照這樣計算，3天生產多少個零件？問：能否從分數的角度去思考問題？引領學生把4天的工作量看做“標準”，平均分成4份，3天的工作量就是這樣的3份，所以列式為200€住V揮邪顏頭質街紙馓獠唄越卸員瘸氏鄭拍芴寤岱質朔ㄒ庖逶誚餼鑫侍夤討械惱媸的諍？

又如教學人教版六年級上冊第38頁的例題（如下圖），

小明的爸爸體重是多少千克？

在用線段圖示表達后，學生分別從分數和整數兩種角度做如下思考，

爸爸體重的是小明體重35千克

爸爸體重€祝叫∶魈逯？5千克

列方程或根據乘除關系列除法算式

把爸爸體重平均分成15份，

7份即是小明體重35千克

↓

先求每份量，再求幾份量

↓

35€？€？5

在與整數方法的對比中，使學生體會 “單位‘1的量€追致？分率對應量”這一分數乘除問題基本數量關系模型的實質，這雖是人為的一種規定，但學生似乎在這種規定背后找到了理解的支點。在這一過程中，使舊知和新知之間建立聯系，相互轉化，從而加深對分數乘法意義的理解。這樣的教學過程，既是運用分數乘法意義解決問題的過程，也是理解分數乘法意義的過程。

3.關注學生是否建立了“標準量”概念

運用分數乘法意義解決分數問題的過程中，除了與整數方法對比外還需建立“標準量”即單位“1”的概念。例如：學校買來彩色粉筆120盒，比白色粉筆少。白色粉筆有多少盒？在理解分數意義的基礎上，教師可在解題思路上給予指導。（1）把誰看作標準。（2）比標準多還是少。（3）在標準上疊加還是從標準里減去?？梢姌藴实慕⒃诮鉀Q問題的過程中顯得致關重要。標準這個詞學生并不陌生，但真正理解標準量的學生少之又少。我們可以選取學生身邊熟悉的例子：（1）老師比XX同學高，XX同學比老師矮。分別說說這兩句話分別以誰為標準？為什么？老師比XX同學高，以XX同學的身高為標準來測量老師的身高，結果高出了這個標準。反之，XX同學比老師矮，以老師的身高為標準去測量XX同學的身高，這位同學的身高就低于標準。（2）老師比XX同學高，老師又比姚明矮，同樣是老師一下子說“高”一下子說“矮”這又是為什么？（3）XX人長得漂亮，XX人真胖，他們有標準嗎？你怎么理解？讓學生明白，表面上看沒有標準，其實心中有標準，在這里“標準量”這一概念產生了同化。在大量的具體事例中讓學生明白標準的意思，建立“標準量”的概念，再解決抽象的數學問題，學生就輕松多了。象以上例題，學生知道白粉筆是標準量，彩色粉筆比白粉筆少，在標準里減去一部份就是彩色粉筆。

即：白粉筆-白粉筆€祝講噬郾？

白粉筆€祝？-）=彩色粉筆

著名數學家華羅庚爺爺指出，善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅。以上思想正是立足于此，解決分數乘除問題→分數乘除意義→分數乘法意義→分數意義→整數乘除法意義，不斷追尋知識的原點。我們要拋棄一切形式化的教學，使學生從“訓練有數的操作工”中解放出來，使我們的教學離數學的本質更近一些，回歸教學本源，使學生真正找到理解數學的支點。endprint