關注圖像的物理意義

薛慶勉

（中央民族大學附屬中學 北京 100081）

對于物理問題，我們可以通過圖像來直觀地分析兩個物理量的關系，尤其是當運動過程分為多階段時，圖像往往能清晰地反映出整個運動過程的特點，比計算法更簡潔明了.在中學階段我們最常關注的是圖像的斜率和“面積”，例如：v－t圖像中斜率可以表示加速度a，而v－t圖像中“面積”可以表示位移s；在F－t圖像中，“面積”表示F的沖量，在φ－x 圖像中，斜率表示場強E等等，但是在應用圖像時應關注圖像的物理意義，并不是所有圖像的斜率和“面積”都有自身的物理意義.

【例1】如圖1所示，四分之一光滑絕緣圓弧軌道AP和水平絕緣傳送帶PC固定在同一豎直平面內，圓弧軌道的圓心為O，半徑為R.傳送帶PC之間的距離為L，沿逆時針方向的傳動速度在PO的右側空間存在方向豎直向下的勻強電場.一質量為m，電荷量為＋q的小物體從圓弧頂點A由靜止開始沿軌道下滑，恰好運動到C端后返回.物體與傳送帶間的動摩擦因數為μ，不計物體經過軌道與傳送帶連接處P時的機械能損失，重力加速度為g.（前兩問略）

圖1

（3）若在PO的右側空間再加上方向垂直于紙面向里、磁感應強度為B的水平勻強磁場（圖中未畫出），物體從圓弧頂點A靜止釋放，運動到C端時的速度為試求物體在傳送帶上運動的時間t.

解：該題的標準解答如下.

（1）設電場強度為E，在無磁場時物體從A端運動到C端的過程中，根據動能定理，有

在有磁場情況下物體從P端運動到C端的過程中，設任意時刻物體速度為v，取一段極短的含此時刻的時間Δt，設在此時間段內的速度改變量為Δv（取水平向右為正方向），根據牛頓第二定律，有

兩邊同時乘以Δt，再對兩邊求和，有

以上結果代入上式，得

在試卷講評中，有同學用以下方法求解，過程如下.

（2）物體從P端運動到C端的過程中，所受摩擦力為變力，設任意時刻物體速度為v，則

又因為

可以看出f和v是線性關系，畫出f－v的圖像如圖2所示.

圖2

圖中v0表示物體在P點的速度

根據P＝Fv，所以認為f－v圖中陰影部分面積表示該段時間內的平均功率，再根據動能定理可得

很明顯用以上兩種方法的到的答案是完全不同的，問題出在哪里？經過仔細分析我們可以看出：問題就出在f－v圖像的“面積”上.f－v圖像中，其“面積”并不能代表平均功率，因為它的面積沒有任何物理意義.為什么在有些物理問題中可以用面積求解，例如：因為s＝vt，在v－t圖像中就可以用“面積”求位移；因為W＝Fs，所以在F－s圖像中就可以用“面積”求力所做的功；因為U＝Ed，所以就可以在E－d圖像中用“面積”求兩點間的電勢差……那么同樣滿足式子P＝Fv，為什么F－v圖像的面積就沒有任何意義呢？原因在于位移s，功W，電勢差U其實都是一個累積量，當我們把時間取的無限小的時候，位移是速度對時間的積分，s＝vΔt；把位移取的無限小的時候，功是力對位移的積分，W ＝FΔs；電勢差是電場強度對位移的積分，U＝EΔd……而功率不是一個累積量，它并不是力對速度的積分，從定義上說，而不是＝FΔv，所以不能一味根據公式就判定其圖像中的“面積”一定具有某種物理意義，例如最簡單的勻變速直線運動中，由于F是恒力，所以F－v的圖像如圖3所示.

圖3

如果考慮速度從零加速到v0階段，而不是Fv圖像中圍成的“面－積”Fv0.

所以在F－v圖像中我們只能用某點的橫縱坐標的乘積求該位置（或該時刻）的瞬時功率，而不能根據“面積”求該過程中中的平均功率.

另外一種情況就是U－I圖，在U－I圖中，如圖4所示.我們也只能用某點的橫縱坐標的乘積求該位置（或該時刻）的瞬時功率，而不能根據“面積”求該過程中的平均功率.因為雖然滿足P＝UI，但是P并不是UI的累積量，不能進行疊加求和.

圖4

同理在U－I圖像中，如果我們要求某點C的電阻，只能用該點的縱坐標（電壓）除以該點的橫坐標（電流）進行計算，而不能用C點的斜率來計算該點的電阻，因為電壓U并不是電流對電阻的積分疊加，所以不能用斜率表示電阻大小.

由此可見，并不是所有圖像的斜率和“面積”都有其特定的物理意義，在應用圖像解決問題時不能僅僅考慮物理量之間的數學關系，還要考慮到圖像自身的物理意義.