培養學生思維的嚴密性

姜明

思維嚴密性是數學思維活動的主要特點之一，思維的嚴密性包含了思維的科學性、辯證性、深刻性和邏輯性。由于受認知水平和年齡特征等因素的影響，初中生在進行數學思維活動的過程中常常出現思維不嚴密現象，因此需要在數學教學的各個環節中努力培養學生思維的嚴密性。

一、在變式教學中培養思維嚴密性

變式教學是應用變式題進行教學。在變式教學中，可以對原題的題設進行變式，也可以對原題的結論進行變式。變式教學必須抓住問題的核心內容適當進行變式，引導學生關注問題的不同方面、轉化觀察問題的不同角度及感受問題的不同深度，從而引導學生發現變化中不變的本質，適應數學問題的不斷變化，加深對數學問題的理解，提高思維的嚴密性。

【例1】如圖1，△ABC的角平分線BD和CD交于點D，試猜想∠BDC和∠A的關系，并說明理由。

為了進一步讓學生感受三角形角平分線的夾角與三角形內角的關系，可以對上述原題的題設進行變式，從而得到以下變試題：

變式1：如圖2，△ABC的外角平分線BD和CD交于點D，試猜想∠BDC和∠A的關系，并說明理由。

變式2：如圖3，已知△ABC，∠ABC的內角平分線BD和∠ACB的外角平分線CD交于點D，試猜想∠BDC和∠A的關系，并說明理由。

通過原題和兩個變式題的練習，讓學生分別感受由兩條內角平分線構成的鈍角與∠A的關系，由兩條外角平分線構成的銳角與∠A的關系，由一條內角平分線和一條外角平分線構成的銳角與∠A的關系，從而使學生能活用三角形的內角和定理與三角形外角定理，加深對此類問題的理解，發現這些變式題之間的實質聯系，進而提高解決問題的能力，提高思維的嚴密性。

二、在計算教學中培養思維嚴密性

計算教學中，既要培養學生解題的基本技能，又要培養學生挖掘隱含條件的能力。所謂“隱含條件”，是相對“顯條件”而言的，是數學問題中已知條件（顯條件）沒有明確表明，且對解決問題至關重要的一些條件，如數學中的性質、公式、定理等。如果在解題中由于思維的不嚴密，忽視這些隱含條件，往往會造成解答的不完整。

【例2】已知x1，x2，是關于x的方程■x2-（m+1）x+m2+m=0的兩個實數根，且S=x21+x22，當m為何值時，S有最小值？最小值是多少？

學生錯解：根據題意知x1+x2=4（m+1），x1x2=4（m2+m），所以S=x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2=[4（m+1）]2-8（m2+m）=m+■2-2，當m=-■時，S有最小值-2。

上述解答過程看似正確，但從結果看，S=x21+x22的值不能為負數，因此解答有誤，錯解忽視了參數m的取值范圍。根據方程有兩個實數根得到“?駐≥0”這個隱含條件，知（m+1）2-4×■（m2+m）≥0，進而解得m≥-1，由上解知二次函數S=8m+■2-2圖像的對稱軸為m=-■，當m≥-1時，S隨自變量m的增大而增大，所以當m=-1時，有最小值，最小值為S=0。

通過對錯解的分析，使學生發現了錯誤的原因，鍛煉了其挖掘隱含條件的能力，提高了學生思維的嚴密性。

三、在證明教學中培養思維嚴密性

幾何證明教學中，要引導學生找到題目中題設與結論之間因果關系的關聯所在，對這種因果關系進行有條理、有層次、有系統、有步驟的說明，如果在某一步驟的說明上因為思維的不嚴密出現了脫節，就會造成推理論證的不嚴密性。因此，在幾何證明教學中要引導學生對題目進行正確、全面的分析，在書寫證明過程之前要弄清楚哪些需要證明，哪些不需要證明，哪些需要先證明，哪些需要后證明，這些都弄清楚之后再書寫證明過程，從而培養學生思維的嚴密性。

【例3】在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，邊AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，連接BE，求證：BE是△DEC外接圓的切線。

學生錯解：如圖4所示，取CD的中點O，連接OE，∵OC=OE，∴∠OEC=∠C=30°，∴∠DOE+∠C=60°，∵DE為AC的垂直平分線，∴E為AC的中點，又∵∠ABC=90°，∴BE=CE，∴∠EBC=∠C=30°，∴∠BEO=180°-（∠EBC+∠DOE）=90°，又∵OE為半徑，∴BE是△DEC外接圓的切線。

上述解法忽視了一個需要證明的條件：DC為△DEC外接圓的直徑，DC的中點是圓心。造成這種現象的原因在于學生對定理“90°的圓周角所對的弦是直徑”題設與結論的關系理解上存在“想當然”。在學生心中，“有圓就有直徑”的觀念非常清晰，而且題目中有條件，所以CD是直徑就不用證明了。然而作為幾何證明題，要根據公理和定理進行嚴格的推理論證，即使是簡單的結論，也要進行推理證明。

通過對錯解的分析，使學生發現了思維的缺陷，明白了簡單的結論也要證明，培養了思維的嚴密性。

四、在試卷講評中培養思維嚴密性

數學試卷講評課是學生在考試之后，教師對其講解、分析和評價的一種課型，可對學生已學的知識起矯正、鞏固、充實、完善和深化的重要作用，是知識的再整理、再綜合、再運用的過程，也是尋找學生失分的原因和思維誤區的過程。在講評課上可以與學生對話，暴露學生解答失分題目時的思路，分析產生錯誤的原因，尋找思維不嚴密之處，并進行有針對性講評，從而培養學生思維的嚴密性，提高其解題能力。

【例4】已知關于x的二次函數y=-x2+ax（a>0），點A（n，y1）和B（n+1，y2）都在二次函數的圖像上，其中n為正整數，y1=y2，請說明a必為奇數。

在課堂上，我先讓一位學生說了他的解答，學生默認為a是整數，于是我提示他是不是認為a如果不是奇數就是偶數？可能是小數嗎？他恍然大悟。

在講評課上，教師不要急于指出學生的錯誤，最好通過與學生的對話并進行適當的引導，讓學生自己發現錯誤和思維的誤區，并自己糾正錯誤，完善思維，進而提高思維的嚴密性。

五、在編題練習中培養思維嚴密性

學生編題是根據學生對所學知識的理解，在給出某個數學對象的基礎上，進行再加工、再創造后，編擬出新的數學問題，培養學生的分析能力、聯想能力、綜合能力以及思維的靈活性。同時，由于學生知識面不廣泛以及思維缺乏嚴密性，在編題時會出現一些錯題，教師應針對學生編題的具體情況進行有針對性的指導，找出因思維不嚴密而造成的不當之處，提高編題的有效性。

【例5】在復習應用題時，教師設計了這樣的題目：大賀卡3元/張，小賀卡2元/張，請你添加合理的情境和數據，使之成為一個完整的實際問題，并能運用所學的知識來解決。現摘錄學生編制的一個題目。

學生：小明“五一”節去超市買賀卡12張，其中大賀卡3元/張，小賀卡2元/張，付了30元找回7元，問小明買了幾張大賀卡?

對于該生編錯的題目，我請該生通過計算答案反思問題原因，從而解決了編題中的錯誤。

通過編題練習，學生明白了編題要目的明確、表述清楚、準確無誤、設問可解、符合實際、全面考慮，有效培養了學生思維的嚴密性。

（責任編輯 劉 穎）

思維嚴密性是數學思維活動的主要特點之一，思維的嚴密性包含了思維的科學性、辯證性、深刻性和邏輯性。由于受認知水平和年齡特征等因素的影響，初中生在進行數學思維活動的過程中常常出現思維不嚴密現象，因此需要在數學教學的各個環節中努力培養學生思維的嚴密性。

一、在變式教學中培養思維嚴密性

變式教學是應用變式題進行教學。在變式教學中，可以對原題的題設進行變式，也可以對原題的結論進行變式。變式教學必須抓住問題的核心內容適當進行變式，引導學生關注問題的不同方面、轉化觀察問題的不同角度及感受問題的不同深度，從而引導學生發現變化中不變的本質，適應數學問題的不斷變化，加深對數學問題的理解，提高思維的嚴密性。

【例1】如圖1，△ABC的角平分線BD和CD交于點D，試猜想∠BDC和∠A的關系，并說明理由。

為了進一步讓學生感受三角形角平分線的夾角與三角形內角的關系，可以對上述原題的題設進行變式，從而得到以下變試題：

變式1：如圖2，△ABC的外角平分線BD和CD交于點D，試猜想∠BDC和∠A的關系，并說明理由。

變式2：如圖3，已知△ABC，∠ABC的內角平分線BD和∠ACB的外角平分線CD交于點D，試猜想∠BDC和∠A的關系，并說明理由。

通過原題和兩個變式題的練習，讓學生分別感受由兩條內角平分線構成的鈍角與∠A的關系，由兩條外角平分線構成的銳角與∠A的關系，由一條內角平分線和一條外角平分線構成的銳角與∠A的關系，從而使學生能活用三角形的內角和定理與三角形外角定理，加深對此類問題的理解，發現這些變式題之間的實質聯系，進而提高解決問題的能力，提高思維的嚴密性。

二、在計算教學中培養思維嚴密性

計算教學中，既要培養學生解題的基本技能，又要培養學生挖掘隱含條件的能力。所謂“隱含條件”，是相對“顯條件”而言的，是數學問題中已知條件（顯條件）沒有明確表明，且對解決問題至關重要的一些條件，如數學中的性質、公式、定理等。如果在解題中由于思維的不嚴密，忽視這些隱含條件，往往會造成解答的不完整。

【例2】已知x1，x2，是關于x的方程■x2-（m+1）x+m2+m=0的兩個實數根，且S=x21+x22，當m為何值時，S有最小值？最小值是多少？

學生錯解：根據題意知x1+x2=4（m+1），x1x2=4（m2+m），所以S=x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2=[4（m+1）]2-8（m2+m）=m+■2-2，當m=-■時，S有最小值-2。

上述解答過程看似正確，但從結果看，S=x21+x22的值不能為負數，因此解答有誤，錯解忽視了參數m的取值范圍。根據方程有兩個實數根得到“?駐≥0”這個隱含條件，知（m+1）2-4×■（m2+m）≥0，進而解得m≥-1，由上解知二次函數S=8m+■2-2圖像的對稱軸為m=-■，當m≥-1時，S隨自變量m的增大而增大，所以當m=-1時，有最小值，最小值為S=0。

通過對錯解的分析，使學生發現了錯誤的原因，鍛煉了其挖掘隱含條件的能力，提高了學生思維的嚴密性。

三、在證明教學中培養思維嚴密性

幾何證明教學中，要引導學生找到題目中題設與結論之間因果關系的關聯所在，對這種因果關系進行有條理、有層次、有系統、有步驟的說明，如果在某一步驟的說明上因為思維的不嚴密出現了脫節，就會造成推理論證的不嚴密性。因此，在幾何證明教學中要引導學生對題目進行正確、全面的分析，在書寫證明過程之前要弄清楚哪些需要證明，哪些不需要證明，哪些需要先證明，哪些需要后證明，這些都弄清楚之后再書寫證明過程，從而培養學生思維的嚴密性。

【例3】在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，邊AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，連接BE，求證：BE是△DEC外接圓的切線。

學生錯解：如圖4所示，取CD的中點O，連接OE，∵OC=OE，∴∠OEC=∠C=30°，∴∠DOE+∠C=60°，∵DE為AC的垂直平分線，∴E為AC的中點，又∵∠ABC=90°，∴BE=CE，∴∠EBC=∠C=30°，∴∠BEO=180°-（∠EBC+∠DOE）=90°，又∵OE為半徑，∴BE是△DEC外接圓的切線。

上述解法忽視了一個需要證明的條件：DC為△DEC外接圓的直徑，DC的中點是圓心。造成這種現象的原因在于學生對定理“90°的圓周角所對的弦是直徑”題設與結論的關系理解上存在“想當然”。在學生心中，“有圓就有直徑”的觀念非常清晰，而且題目中有條件，所以CD是直徑就不用證明了。然而作為幾何證明題，要根據公理和定理進行嚴格的推理論證，即使是簡單的結論，也要進行推理證明。

通過對錯解的分析，使學生發現了思維的缺陷，明白了簡單的結論也要證明，培養了思維的嚴密性。

四、在試卷講評中培養思維嚴密性

數學試卷講評課是學生在考試之后，教師對其講解、分析和評價的一種課型，可對學生已學的知識起矯正、鞏固、充實、完善和深化的重要作用，是知識的再整理、再綜合、再運用的過程，也是尋找學生失分的原因和思維誤區的過程。在講評課上可以與學生對話，暴露學生解答失分題目時的思路，分析產生錯誤的原因，尋找思維不嚴密之處，并進行有針對性講評，從而培養學生思維的嚴密性，提高其解題能力。

【例4】已知關于x的二次函數y=-x2+ax（a>0），點A（n，y1）和B（n+1，y2）都在二次函數的圖像上，其中n為正整數，y1=y2，請說明a必為奇數。

在課堂上，我先讓一位學生說了他的解答，學生默認為a是整數，于是我提示他是不是認為a如果不是奇數就是偶數？可能是小數嗎？他恍然大悟。

在講評課上，教師不要急于指出學生的錯誤，最好通過與學生的對話并進行適當的引導，讓學生自己發現錯誤和思維的誤區，并自己糾正錯誤，完善思維，進而提高思維的嚴密性。

五、在編題練習中培養思維嚴密性

學生編題是根據學生對所學知識的理解，在給出某個數學對象的基礎上，進行再加工、再創造后，編擬出新的數學問題，培養學生的分析能力、聯想能力、綜合能力以及思維的靈活性。同時，由于學生知識面不廣泛以及思維缺乏嚴密性，在編題時會出現一些錯題，教師應針對學生編題的具體情況進行有針對性的指導，找出因思維不嚴密而造成的不當之處，提高編題的有效性。

【例5】在復習應用題時，教師設計了這樣的題目：大賀卡3元/張，小賀卡2元/張，請你添加合理的情境和數據，使之成為一個完整的實際問題，并能運用所學的知識來解決。現摘錄學生編制的一個題目。

學生：小明“五一”節去超市買賀卡12張，其中大賀卡3元/張，小賀卡2元/張，付了30元找回7元，問小明買了幾張大賀卡?

對于該生編錯的題目，我請該生通過計算答案反思問題原因，從而解決了編題中的錯誤。

通過編題練習，學生明白了編題要目的明確、表述清楚、準確無誤、設問可解、符合實際、全面考慮，有效培養了學生思維的嚴密性。

（責任編輯 劉 穎）

思維嚴密性是數學思維活動的主要特點之一，思維的嚴密性包含了思維的科學性、辯證性、深刻性和邏輯性。由于受認知水平和年齡特征等因素的影響，初中生在進行數學思維活動的過程中常常出現思維不嚴密現象，因此需要在數學教學的各個環節中努力培養學生思維的嚴密性。

一、在變式教學中培養思維嚴密性

變式教學是應用變式題進行教學。在變式教學中，可以對原題的題設進行變式，也可以對原題的結論進行變式。變式教學必須抓住問題的核心內容適當進行變式，引導學生關注問題的不同方面、轉化觀察問題的不同角度及感受問題的不同深度，從而引導學生發現變化中不變的本質，適應數學問題的不斷變化，加深對數學問題的理解，提高思維的嚴密性。

【例1】如圖1，△ABC的角平分線BD和CD交于點D，試猜想∠BDC和∠A的關系，并說明理由。

為了進一步讓學生感受三角形角平分線的夾角與三角形內角的關系，可以對上述原題的題設進行變式，從而得到以下變試題：

變式1：如圖2，△ABC的外角平分線BD和CD交于點D，試猜想∠BDC和∠A的關系，并說明理由。

變式2：如圖3，已知△ABC，∠ABC的內角平分線BD和∠ACB的外角平分線CD交于點D，試猜想∠BDC和∠A的關系，并說明理由。

通過原題和兩個變式題的練習，讓學生分別感受由兩條內角平分線構成的鈍角與∠A的關系，由兩條外角平分線構成的銳角與∠A的關系，由一條內角平分線和一條外角平分線構成的銳角與∠A的關系，從而使學生能活用三角形的內角和定理與三角形外角定理，加深對此類問題的理解，發現這些變式題之間的實質聯系，進而提高解決問題的能力，提高思維的嚴密性。

二、在計算教學中培養思維嚴密性

計算教學中，既要培養學生解題的基本技能，又要培養學生挖掘隱含條件的能力。所謂“隱含條件”，是相對“顯條件”而言的，是數學問題中已知條件（顯條件）沒有明確表明，且對解決問題至關重要的一些條件，如數學中的性質、公式、定理等。如果在解題中由于思維的不嚴密，忽視這些隱含條件，往往會造成解答的不完整。

【例2】已知x1，x2，是關于x的方程■x2-（m+1）x+m2+m=0的兩個實數根，且S=x21+x22，當m為何值時，S有最小值？最小值是多少？

學生錯解：根據題意知x1+x2=4（m+1），x1x2=4（m2+m），所以S=x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2=[4（m+1）]2-8（m2+m）=m+■2-2，當m=-■時，S有最小值-2。

上述解答過程看似正確，但從結果看，S=x21+x22的值不能為負數，因此解答有誤，錯解忽視了參數m的取值范圍。根據方程有兩個實數根得到“?駐≥0”這個隱含條件，知（m+1）2-4×■（m2+m）≥0，進而解得m≥-1，由上解知二次函數S=8m+■2-2圖像的對稱軸為m=-■，當m≥-1時，S隨自變量m的增大而增大，所以當m=-1時，有最小值，最小值為S=0。

通過對錯解的分析，使學生發現了錯誤的原因，鍛煉了其挖掘隱含條件的能力，提高了學生思維的嚴密性。

三、在證明教學中培養思維嚴密性

幾何證明教學中，要引導學生找到題目中題設與結論之間因果關系的關聯所在，對這種因果關系進行有條理、有層次、有系統、有步驟的說明，如果在某一步驟的說明上因為思維的不嚴密出現了脫節，就會造成推理論證的不嚴密性。因此，在幾何證明教學中要引導學生對題目進行正確、全面的分析，在書寫證明過程之前要弄清楚哪些需要證明，哪些不需要證明，哪些需要先證明，哪些需要后證明，這些都弄清楚之后再書寫證明過程，從而培養學生思維的嚴密性。

【例3】在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，邊AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，連接BE，求證：BE是△DEC外接圓的切線。

學生錯解：如圖4所示，取CD的中點O，連接OE，∵OC=OE，∴∠OEC=∠C=30°，∴∠DOE+∠C=60°，∵DE為AC的垂直平分線，∴E為AC的中點，又∵∠ABC=90°，∴BE=CE，∴∠EBC=∠C=30°，∴∠BEO=180°-（∠EBC+∠DOE）=90°，又∵OE為半徑，∴BE是△DEC外接圓的切線。

上述解法忽視了一個需要證明的條件：DC為△DEC外接圓的直徑，DC的中點是圓心。造成這種現象的原因在于學生對定理“90°的圓周角所對的弦是直徑”題設與結論的關系理解上存在“想當然”。在學生心中，“有圓就有直徑”的觀念非常清晰，而且題目中有條件，所以CD是直徑就不用證明了。然而作為幾何證明題，要根據公理和定理進行嚴格的推理論證，即使是簡單的結論，也要進行推理證明。

通過對錯解的分析，使學生發現了思維的缺陷，明白了簡單的結論也要證明，培養了思維的嚴密性。

四、在試卷講評中培養思維嚴密性

數學試卷講評課是學生在考試之后，教師對其講解、分析和評價的一種課型，可對學生已學的知識起矯正、鞏固、充實、完善和深化的重要作用，是知識的再整理、再綜合、再運用的過程，也是尋找學生失分的原因和思維誤區的過程。在講評課上可以與學生對話，暴露學生解答失分題目時的思路，分析產生錯誤的原因，尋找思維不嚴密之處，并進行有針對性講評，從而培養學生思維的嚴密性，提高其解題能力。

【例4】已知關于x的二次函數y=-x2+ax（a>0），點A（n，y1）和B（n+1，y2）都在二次函數的圖像上，其中n為正整數，y1=y2，請說明a必為奇數。

在課堂上，我先讓一位學生說了他的解答，學生默認為a是整數，于是我提示他是不是認為a如果不是奇數就是偶數？可能是小數嗎？他恍然大悟。

在講評課上，教師不要急于指出學生的錯誤，最好通過與學生的對話并進行適當的引導，讓學生自己發現錯誤和思維的誤區，并自己糾正錯誤，完善思維，進而提高思維的嚴密性。

五、在編題練習中培養思維嚴密性

學生編題是根據學生對所學知識的理解，在給出某個數學對象的基礎上，進行再加工、再創造后，編擬出新的數學問題，培養學生的分析能力、聯想能力、綜合能力以及思維的靈活性。同時，由于學生知識面不廣泛以及思維缺乏嚴密性，在編題時會出現一些錯題，教師應針對學生編題的具體情況進行有針對性的指導，找出因思維不嚴密而造成的不當之處，提高編題的有效性。

【例5】在復習應用題時，教師設計了這樣的題目：大賀卡3元/張，小賀卡2元/張，請你添加合理的情境和數據，使之成為一個完整的實際問題，并能運用所學的知識來解決。現摘錄學生編制的一個題目。

學生：小明“五一”節去超市買賀卡12張，其中大賀卡3元/張，小賀卡2元/張，付了30元找回7元，問小明買了幾張大賀卡?

對于該生編錯的題目，我請該生通過計算答案反思問題原因，從而解決了編題中的錯誤。

通過編題練習，學生明白了編題要目的明確、表述清楚、準確無誤、設問可解、符合實際、全面考慮，有效培養了學生思維的嚴密性。

（責任編輯 劉 穎）