理解一個概念，勝過解十道題

任念兵

16、17世紀之交，自然科學（特別是天文學）的研究中經常遇到大量精密而龐大的數值計算，改進數字計算方法成為當務之急，對數的發明“以縮短計算時間的方式延長了天文學家的壽命”（法國數學家拉普拉斯語），因而成了“17世紀數學的三大成就”（恩格斯語）之一（另兩項分別為解析幾何的發明和微積分的發明）.了解對數概念的發生、發展歷史，關鍵是感悟其中所蘊含的原創的數學思想，

一、對數發明過程中的關鍵事件

1.概念的萌芽

蘇格蘭數學家納皮爾（J.Napier，1550～1617）在天文學研究中，為了尋求球面三角計算的簡便方法，利用與質點運動有關的幾何方法構造出對數，其核心思想表現為算術數列與幾何數列（即等差數列與等比數列）之間的對應——由于該幾何方法具有較強的技巧性，此處略去具體內容.

現在我們已經無法知道納皮爾開始時是如何想到這一發明的，一種普遍的猜測是：由于他精通三角學，對積化和差公式cosA cosB=1/2[cos（A +B） +cos（A-B）]非常熟悉.兩個三角函數的乘積用其他三角函數的和、差表示出來，而加減運算比乘除運算簡單得多，這種積化和差公式提供了原始的運算優化方法，或許就是這種三角恒等式激發了納皮爾的靈感.

1614年，納皮爾在《論述對數的奇跡》中闡述了對數原理，后人將其稱為納皮爾對數，記為Nap.log x，它與我們現在熟知的自然對數的關系為Nap.log x=In（107/x）/ln（1-10-7）.當x→0時In（1-x）≈z，故In（1-10-7）≈10-7，Nap.log x≈lO-7ln （107/x）

2.概念的完善

英國數學家布里格斯（H.Briggs，1561～16 31）感到納皮爾對數使用起來不方便，于是與納皮爾商定，使1的對數為0，10的對數為1，這樣就得到了我們現在熟知的常用對數，它在十進制的數值計算上具有極大的優越性.1624年，布里格斯出版了《對數算術》，公布了以10為底、包含1～20000及90000～100000的14位常用對數表.

17世紀的國際貿易空前發展，這就涉及大量的資金結算，典型的問題就是計算復利.比如本金P、年利率為r、一年結算n次（可以分別按1年、半年、1月、1周、1日結算一次），則1年后的本利和（按照復利計算）為s=P（1+r/n）n.為了簡便起見，取P =1，r=1，則需要計算（1+1/n）n的值.隨著n的增加，（1+1/n）”的值在增加，但是對結果的影響越來越小，記lim（1+1/n）n=e.現在已經無法知道，第一次使用e來表示lim（1+1/n）”的確切時間，最遲在1618年英國數學家愛德華·賴特（Edward Wright，1560～1615）在納皮爾的《論述對數的奇跡》翻譯版中就已經出現了.

自然對數的發現則跟圓錐曲線的求面積問題相關，雖然在古希臘時期阿基米德等人就已經會計算拋物線弓形的面積，但直到17世紀費馬的時代，才有了圓錐曲線求面積問題一般公式，只有雙曲線y=1/x除外.考慮y=1/x與直線x=a，x=b（a

3.概念的統一

現行高中數學教材是以指數的逆運算來定義對數的——準確地說，是以乘方（底數的指數次方等于冪）的求指數（相對于求底數）的逆運算來定義對數（相對于開方）的.事實上，納皮爾討論對數概念時尚無分數、無理數指數冪的概念，直到1637年笛卡兒才開始用符號a”表述正整數指數冪，直到18世紀初牛頓才將冪ax中的指數x推廣到任意實數.后來，歐拉發現了指數與對數的互逆關系，并用指數的逆運算來定義對數，由于從邏輯上說指數概念更容易為人們所理解，因而歐拉關于對數的這種見解很快被人們所接受并流傳至今.

對數概念的萌芽（納皮爾對數）、完善（常用對數）、統一（指數的逆運算）正是一個數學概念由技巧到通法、從特殊到一般不斷抽象的完整過程.

二、對數思想與高考題思路

對數發明時的原始思想是將乘、除運算簡化為加、減運算，尤其是在“大數”的乘除運算中，這種思想的重要價值就體現出來了.

三、對數概念的廣泛應用

就增長速度而言，指數函數最快（指數爆炸）、冪函數其次、對數函數最慢.如果增長太快，就要慢下來，對數的這項功能在地震震級的表示、視力的測量（標準對數視力表）等實際問題中都有廣泛的應用，而對信息進行度量（量化）則是對數概念在信息時代的新的重要貢獻.

1948年，克勞德·香農創立了數學信息論，用“lOg2”來刻畫信息量的概念，比如，如何定義一個古代烽火臺傳遞的信息量呢？事實上，它傳遞兩種信息：燃起烽火意味著敵人來（用1表示），不燃烽火則表示敵人沒來（用0表示）.在敵人來與不來的可能性一樣的前提下，一個烽火臺傳遞一個單位（比特）的信息量，數學上的表示就是log22=1.如果東面、南面各設置了一個烽火臺，這時的信息狀態有（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1）四種情況，其中第一個、第二個坐標分別表示東面、南面敵人來否的狀態，這樣四種狀態傳遞的信息量為2比特，用數學符號表示就是log24=2.于是，看不見、摸不著的信息就變得可以度量了.

香農還天才地分析了信息量的大小和該信息發生的概率有關，提出了信息熵的概念，如果一條信息有n（n>l，n∈N）種可能的情形（它們之間互不相容），且這些情形發生的概率分別為P1，p2，…，pn，則稱H=f（p1）+f（p2）+…+f（pn）（其中f（x）=-log0x，x∈（0，1》為該條信息的信息熵.例如，為博美人一笑，有事無事天天燃烽火（概率大），那烽火臺傳遞的信息量就小得多.

在對數的產生和發展的歷史中，還有許多閃耀著人類智慧之光的創舉，比如常用對數表的制作與三角函數表的制作相關，有興趣的讀者可以自己查閱資料.了解數學史，感悟數學概念發生發展的漫長過程中“火熱的思考”，可以幫助我們站在更高的角度來看待相應知識，從而更深刻地理解數學.