論數與數軸上點的對應關系

冉邦恒

摘要：數，表示事物的量的基本數學概念，是數學討論的基本元素。而軸（形數）是規定了原點、方向、長度單位的直線（點的集合）。兩者有機結合，形成一種數學思想——數形結合思想?；瘮禐樾?，化形為數，給抽象的概念予以直觀的表述，可使復雜問題簡單化、抽象問題具體化。

關鍵詞：數；數軸；對應關系

中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）12-0231-02

現實的中等職業學校，學生一般基礎較差。本人通過多年的中職數學教學，深知學生在數學課程中經常用到的“實數與數軸上的點一一對應”這一普遍而常用的結論，在不等式解集的表示，集合的有關運算中時常出現錯誤。下面談一談“實數與數軸”的內在聯系。

一、自然數

1.（基數理論）兩個可以在元素之間建立一一對應關系的有限集具有共同的數量特征，這一特征叫做基數。這樣，所有單元素集｛x｝，｛y｝，｛a｝，｛b｝等具有同一基數，記作1。類似，凡能與兩個手指頭建立一一對應的集合，如｛x.Y｝，｛a，b｝它們的基數相同，記作2，等等，即基數是指集合中元素的“個數”。

2.（序數理論）在自然數集N中有：（1）N中存在元素“1”，它不是N中任何一個元素的后繼數.（2）N中每一個元素有且只有一個后繼數。由此可知N中的元素可按1，2，3，4…這樣的順序排列。

在集合中，空集不含任何元素，只能用“0”來描述空集中所含元素的多少。因此，無論從自然數的序數功能方面把0作為自然數，還是在自然數的運算功能（見后自然數性質3）中把0作為自然數，都有理由說得過去，正因為如此，我國中小學教材將0化歸為自然數系列。自然數的基本性質有：（1）有最小元素0，沒有最大元素但是有順序。（2）無限集。（3）具有離散性（對任意兩個相連自然數之間不存在第三個自然數。（4）對加法，乘法運算都是封閉的，即集合｛0，1，2，3，4，5，…，n，…｝中的任何兩個自然數都可以進行加法和乘法運算，而運算結果仍然是自然數。數軸是人為規定的，滿足有：（1）原點。（2）長度單位。（3）正方向的幾何圖形（點的集合）。從原點（記為0）出發朝正方向（右）的直線上取適當的長度作為單位長度，比如可以取1cm作為單位長度，這樣距起點零一個長度單位的點就對應數1，距零兩個長度單位的點就對應數2，依次類推。這樣每個自然數（又稱正整數）就在數軸上與相應的點形成數對點的一一對應，這些點稱為自然數點，基于自然數的離散性，使得點與點之間沒有相連，是孤立的，自然數與軸上點就結合在一起。

二、整數

生活中有很多具有相反意義的現象，比如增加和減少、前進和后退等。既然有相反意義的現象，那么記錄這兩者的數字符號也應有區別。于是引入了負數概念，負數是人們記錄具有相反意義現象的不同數字符號，由于每一個正數（自然數）都有它相對的一個負數，它們對稱的分布在軸原點的兩邊，這樣的一對數互稱為相反數（若a=-b則a是b的相反數）。我們把與自然數相對的原點左邊的這類數稱為負整數。正整數、零與負整數構成了整數系（Z）。整數系是自然數系的擴展，自然數的一切性質整數都具有，但同時也有自然數不具備的性質（后有說明）。整數系雖是無限集合，但它并不是密密麻麻地分布在整個圖上，而是間隔分布。

事情并沒有結束，上述的整數點與整數點之間仍有間隙，那么這之間的點又如何解讀呢？這就使人們又聯想到在整數點與點之間一定還有另外的（點）數存在。我們知道，自然數系是一個離散的、而不是稠密的數系，作為量的表征，它只能限于去表示一個單位量的整數倍，而無法表示它的部分。同時，作為運算的手段，在自然數系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它們的逆運算。因此把自然數系擴大到整數系后，加法，減法，乘法總可以施行。但除法又不能自由施行，即兩個數的商不一定是整數。如求解方程mx=n（m≠0），如果m，n是整數，則方程不一定有整數解。為了使它恒有解，解決這一問題的有效方法就是把整數系再擴大。事實上人類可知的量，除了能表示個體的量（整數）之外。另一類是可無限細分的量（如長度，面積）。對于能無限細分的量，用一個可相比的數來表示。

三、有理數

有理數就是可以用比來表示的數，常用（m∈Z。n∈N*）形式表示，故又稱作分數。這類數有如下性質：（1）加法，減法，乘法，除法（除數不為零）運算總可實施，即運算的結果總是有理數（有理數的封閉性）。（2）任意兩個有理數都可以比較大?。樞蛐裕＃?）有理數集具有稠密性。即對任意兩個有理數a 和b，總有一個有理數c滿足a

四、無理數

遠在兩千多年前的古希臘，有一個專門研究數學的團體。他們畫了一個邊長為1的正方形，根據勾股定理來求其對角線長度，但這對角線的長度不知道用一個怎樣的數來表示，但這個數又肯定是存在的，最后認定這是一個從未見過的新數。受這個數的啟示，后來又陸續發現了很多都與上述對角線長度數具有一樣共性的數，人們把這些數取名為無理數。諸如開方開不盡的數，，等。大多數三角函數值（如sin50°），對數函數值，計算中產生的數（ π，e）以及構造出來的無理數（0.1010010001…）等。因此，無理數集也是無限集，既沒有最大的元素，也沒有最小的元素。這樣的一些數，在數軸上同樣能夠找到這樣的點與之對應。

有理數和無理數統稱為實數。實數具有下列性質：（1）在實數集中，加法，減法。乘法。除法（除數不為零）運算總可以實施。（2）任意兩個實數都可以比較大小。（3）實數集具有稠密性，對任意兩個實數α<β存在一個實數γ，使得α<γ<β。（4）實數集具有連續性。

綜上所述，數軸上的點除了有理點之外，都是無理點，且每個有理數和無理數在數軸上都能找到對應的點。所有的實數布滿了整個數軸。正是實數集具有連續的特性，使得實數點布滿了整個數軸。實數與數軸上的點一一對應，直線可以看作是實數的幾何表示。討論實數的性質就可在直線上進行，這就為后來的實數理論的應用提供了理論基礎。試想，如學生掌握了這些知識，勢必對數軸的應用能得心應手，起到事半功倍的作用。