勾股定理的三維推廣
2014-09-02 14:50:22肖敏
教育教學論壇 2014年12期
肖敏
摘要：本文利用計算三角形面積的方法證明了三維空間中的勾股定理。
關鍵詞：勾股定理；直四面體；面積；凌錐的體積
中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）12-0236-02
勾股定理“直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即a2+b2=c2.如何把這一定理推廣到三維空間中去呢？首先我們要進行如下的類比：一個三角形包含不在同一直線的三個點，類似的，一個四面體包含不在同一平面上的四個點。二維空間中一個直角三角形與三維空間中在以同一頂點出發具有三個直角面的四面體類比（圖1）。顯然，在這個四面體中以OA、OB、OC為棱的二面角都是直二面角。圖1（a）中直角三角形的邊a、b、c的長與圖1（b）中四面體中的四個面AOB、BOC、COA、ABC的面積相類比。直角三角形的斜邊c的長可以由兩直角邊求得，那么如圖的直四面體的底面ABC的面積是否可以由其他面的面積求得呢？也就是說二維空間中的直角三角形三邊有勾股定理關系，那么在三維空間中的直四面體四個面之間的關系有否類似的勾股定理關系呢？
我們先看特殊情況。令：OA=OB=OC=2，如圖1（b），則直四面體的側面積相等，且S△AOB=S△BOC=S△COA=2.底面△ABC是邊長為2的等邊三角形，其面積為：=2。顯然滿足：（△AOB面積）2+（△BOC面積）2+（△COA面積）2=（△ABC面積）2。
再看一般情況：
設AO=n；BO=m；CO=h（圖2）。作OD垂直于BC；設OD=d，
連接AD，作OE垂直于AD；
設OE=x，則根據要求，
只要證明：
（1）
mn+
nh+
mh=（△ABC面積）2。
為求△ABC的面積，可以利用棱錐的體積公式。
（2）（△BOC面積）·n=
mhn=（△ABC面積）·x.
現在d是△BOC的高，于是有：
△BOC面積=mh=d（BC）=d
因此d=，兩邊平方得：
（3）d2=
因為x是△AOD中AD邊上的高的長度，
△AOD的面積dn=x（AD）=x，從而x=，代入（2）得：（mhn）=（△ABC面積）·，
約去，并乘以有：△ABC的面積=mh，
（三角形ABC面積）2=m2h2（+1），
以（3）式的d2代入，就得
=n2m2+n2h2+m2h2
（△AOB的面積）2+（△AOC的面積）2+（△BOC的面積）2。
證畢。從而在三維空間中有這樣一個定理：一個直四面體的側面的面積的平方和等于它底面面積的平方。這個定理可以看作勾股定理在三維空間中的一個推廣。
endprint
摘要：本文利用計算三角形面積的方法證明了三維空間中的勾股定理。
關鍵詞：勾股定理；直四面體；面積；凌錐的體積
中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）12-0236-02
勾股定理“直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即a2+b2=c2.如何把這一定理推廣到三維空間中去呢？首先我們要進行如下的類比：一個三角形包含不在同一直線的三個點，類似的，一個四面體包含不在同一平面上的四個點。二維空間中一個直角三角形與三維空間中在以同一頂點出發具有三個直角面的四面體類比（圖1）。顯然，在這個四面體中以OA、OB、OC為棱的二面角都是直二面角。圖1（a）中直角三角形的邊a、b、c的長與圖1（b）中四面體中的四個面AOB、BOC、COA、ABC的面積相類比。直角三角形的斜邊c的長可以由兩直角邊求得，那么如圖的直四面體的底面ABC的面積是否可以由其他面的面積求得呢？也就是說二維空間中的直角三角形三邊有勾股定理關系，那么在三維空間中的直四面體四個面之間的關系有否類似的勾股定理關系呢？
我們先看特殊情況。令：OA=OB=OC=2，如圖1（b），則直四面體的側面積相等，且S△AOB=S△BOC=S△COA=2.底面△ABC是邊長為2的等邊三角形，其面積為：=2。顯然滿足：（△AOB面積）2+（△BOC面積）2+（△COA面積）2=（△ABC面積）2。
再看一般情況：
設AO=n；BO=m；CO=h（圖2）。作OD垂直于BC；設OD=d，
連接AD，作OE垂直于AD；
設OE=x，則根據要求，
只要證明：
（1）
mn+
nh+
mh=（△ABC面積）2。
為求△ABC的面積，可以利用棱錐的體積公式。
（2）（△BOC面積）·n=
mhn=（△ABC面積）·x.
現在d是△BOC的高，于是有：
△BOC面積=mh=d（BC）=d
因此d=，兩邊平方得：
（3）d2=
因為x是△AOD中AD邊上的高的長度，
△AOD的面積dn=x（AD）=x，從而x=，代入（2）得：（mhn）=（△ABC面積）·，
約去，并乘以有：△ABC的面積=mh，
（三角形ABC面積）2=m2h2（+1），
以（3）式的d2代入，就得
=n2m2+n2h2+m2h2
（△AOB的面積）2+（△AOC的面積）2+（△BOC的面積）2。
證畢。從而在三維空間中有這樣一個定理：一個直四面體的側面的面積的平方和等于它底面面積的平方。這個定理可以看作勾股定理在三維空間中的一個推廣。
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摘要：本文利用計算三角形面積的方法證明了三維空間中的勾股定理。
關鍵詞：勾股定理；直四面體；面積；凌錐的體積
中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）12-0236-02
勾股定理“直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即a2+b2=c2.如何把這一定理推廣到三維空間中去呢？首先我們要進行如下的類比：一個三角形包含不在同一直線的三個點，類似的，一個四面體包含不在同一平面上的四個點。二維空間中一個直角三角形與三維空間中在以同一頂點出發具有三個直角面的四面體類比（圖1）。顯然，在這個四面體中以OA、OB、OC為棱的二面角都是直二面角。圖1（a）中直角三角形的邊a、b、c的長與圖1（b）中四面體中的四個面AOB、BOC、COA、ABC的面積相類比。直角三角形的斜邊c的長可以由兩直角邊求得，那么如圖的直四面體的底面ABC的面積是否可以由其他面的面積求得呢？也就是說二維空間中的直角三角形三邊有勾股定理關系，那么在三維空間中的直四面體四個面之間的關系有否類似的勾股定理關系呢？
我們先看特殊情況。令：OA=OB=OC=2，如圖1（b），則直四面體的側面積相等，且S△AOB=S△BOC=S△COA=2.底面△ABC是邊長為2的等邊三角形，其面積為：=2。顯然滿足：（△AOB面積）2+（△BOC面積）2+（△COA面積）2=（△ABC面積）2。
再看一般情況：
設AO=n；BO=m；CO=h（圖2）。作OD垂直于BC；設OD=d，
連接AD，作OE垂直于AD；
設OE=x，則根據要求，
只要證明：
（1）
mn+
nh+
mh=（△ABC面積）2。
為求△ABC的面積，可以利用棱錐的體積公式。
（2）（△BOC面積）·n=
mhn=（△ABC面積）·x.
現在d是△BOC的高，于是有：
△BOC面積=mh=d（BC）=d
因此d=，兩邊平方得：
（3）d2=
因為x是△AOD中AD邊上的高的長度，
△AOD的面積dn=x（AD）=x，從而x=，代入（2）得：（mhn）=（△ABC面積）·，
約去，并乘以有：△ABC的面積=mh，
（三角形ABC面積）2=m2h2（+1），
以（3）式的d2代入，就得
=n2m2+n2h2+m2h2
（△AOB的面積）2+（△AOC的面積）2+（△BOC的面積）2。
證畢。從而在三維空間中有這樣一個定理：一個直四面體的側面的面積的平方和等于它底面面積的平方。這個定理可以看作勾股定理在三維空間中的一個推廣。
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