淺談高中數學常用邏輯用語的應用

鄭會英

摘要：一是理解聯結詞的意義，二是理解四種命題及其關系，三是掌握充分條件、必要條件及充分條件的意義。本節是高考必考內容之一。

關鍵詞：邏輯聯結詞；充分條件；必要條件

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）12-0260-02

本節內容是高考考查熱點，常以小題形式出現，但學生得分情況并不太好，主要原因是對基本知識掌握不夠透徹，有些知識點模糊不清，針對這一情況，下面我淺談幾例。

一、類一：命題及關系

例1.命題“若a2+b2=0，則a=0且b=0”的逆否命題是（）。

A.若a2+b2≠0，且a≠b且b≠0.

B.若a2+b2≠0，且a≠0且b≠0.

C.若a=0且b=0，則a2+b2≠0.

D.若a≠0或b≠0，則a2+b2≠0.

解析：先求其逆命題為“若a=0且b=0，則a2+b2=0”，再將逆命題否定“若a≠0或b≠0，則a2+b2≠0”，選D。

考點：逆否命題。

練習1：下列有關命題的說法正確的是（ ）。

A.命題“若x2=1，則x=1”的否命題為：“若x2=1，則x≠1”.

B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分條件.

C.命題“?x∈R，使得x2+x=1<0”的否定是：“對?x∈R均有x2+x=1<0”.

D.命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為真命題.

解析：A中，否命題應為若x2≠1，則x≠1；B中，x=-1?x2-5x-6=0，應為充分不必要條件；C中，命題的否定應為：對?x∈R，均有x2+x=1≥0；D中，原命題為真，則逆否命題也為真。

考點：命題的否定；四種命題。

二、類二：充分條件與必要條件

例2.已知命題p：<1，命題q：（x+a）（x-3）>0，若p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是（）。

A.（-3，-1] B.[-3，-1] C.（-∞，-1] D.（-∞，-3]

解析：p：<1?<0?-1

q：（x+a）（x-3）>0.當a=-3時，（x+a）（x-3）>0?（x-3）2>0?x≠-3.p是q的充分不必要條件.

當a>-3時（x+a）（x-3）>0?x>3或x<-a

p?q且q≠?p，得1≤-a即a≤-1

當a<-3時（x+a）（x-3）>0?x>-a或x<3.符合題意

綜上所述得a≤-1。

練習2.條件p:（x-2）2≤1，條件q:≥1，則q是p的（）。

A.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件

解析：本題考查充要條件的判斷。

由（x-2）2≤1得1≤x≤3，則p:-1≤x≤1，記p={x|-1≤x≤3}；由≥1得≥0，即1

則Q?P，即Q是P的真子集，故q是p的充分不必要條件。

三、類三：全稱量詞與存在量詞

例3：

1.已知命題P:?x>2，x3-8>0，那么?P是（）。

A.?x≤2，x3-8≤0B.?x>2，x3-8≤0

C.?x>2，x3-8≤0D.?x≤2，x3-8≤0

解析：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題P:?x>2，x3-8>0的否定是?x>2，x3-8≤0，故選B。

考點：全稱命題與特稱命題的定義。

練習3.命題p:?x∈R，x2+1≥1，則?P是（）。

A.?x∈R，x2+1<1.B.?x∈R，x2+1≤1.

C.?x∈R，x2+1<1.D.?x∈R，x2+1≥1.

解析：因為全稱命題“?x∈Q，q（x）”的否定形式是“?x∈Q，?p（x）”，所以一方面需要把原命題p中的全稱量詞改為存在量詞，另一方面把x2+1≥1全盤否定為x2+1<1。