揭開函數最值迷霧 巧看值域常規求法

趙桂英

摘要：本文論述了值域的求法：函數單調性法、換元法，分離常數法，配方法、重要不等式。近幾年的高考數學中雖不直接對函數值域進行單獨考查，但在一些恒成立、求參數范圍等的題目中頻繁涉及。本人以為回歸課本，掌握基礎，是解決此類問題的最佳途徑，故根據本人在教學中的經驗，總結了將函數求值域題型技巧。

關鍵詞：函數；值域；求值域方法

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）12-0263-01

近幾年的高考數學中雖不直接對函數值域進行單獨考查，但在一些恒成立、求參數范圍等的題目中頻繁涉及。本人以為回歸課本，掌握基礎，是解決此類問題的最佳途徑，故根據本人在教學中的經驗，試將函數求值域題型技巧總結如下。

一、函數單調性法

【例1】函數y=+的值域。

【解析】先求定義域為（-∞，0）∪[4，+∞）兩個根號內的函數在（-∞，0]上都為減函數，所以y≥2，在[4，+∞）上都為增函數，所以y≥2所以函數值域為[2，+∞）.

點評：函數求值域高考中首選單調性，一般的我們要從函數形式求導數或直接求單調性而去求解值域。

【變式1】已知g（θ）=5θ-10sinθ，θ∈（0，π），試求當角q的余弦值為何值時，函數取最小值？

【解析】g（θ）=5-10sinθ，當g（θ）<0，cosθ>，

g（θ）在θ∈（0，）上為減函數；當g（θ）>0，cosθ<，

g（θ）在θ∈（，0）上為增函數，當θ=時，取到最小值。

二、配方法

【例2】（2013年普通高等學校招生統一考試重慶數學（理）試題（含答案）），y=（-6≤a≤3）的最大值為（）。

A.9 B. C.3D.

【解法1】Qy=3==，又-6≤a≤3，∴當a=-時，ymax=。

【解法2】本題考查函數的最值以及基本不等式的應用。當-6≤a≤3時，3-a≥0，a+6≥0，當a=6，3時，=0。所以≤=，當且僅當3-a=a+6，即a=-時去等號。選B。

點評：配方法一般用于二次函數形式的值域求解問題，配方看定義域而去求解值域。

【變式2】如果函數f（x）=（x-1）2+1定義在區間[t，t+1]上，求f（x）的最小值。

f（x）min=（t-1）2+1，t>1

1，0≤t≤1

t2+1t<0

【解析】函數圖象的對稱軸為x=1，

（1）當t+1<1，即t<0時，f（x）min=f（t+1）=t2+1；

（2）當t>1時，f（x）min=f（t）=t2-2t+2；

（3）當t≤1≤t+1即0≤t≤1時，f（x）min=f（1）=1。

三、分離常數法

【例3】函數y=的值域為 。

答案：（-1，1]。

【解析1】方法一：y==-1+，∴函數的定義域為R。

∴1+x2≥1，∴0<≤2，∴y∈（-1，1]。

【解析2】y=?y+yx2=1-x2?（1+y）x2=1-y?x2=≥0，得到y∈（-1，1]。

點評：分離常數法一般用于分子分母一二次等的分式求值域問題，注意定義域，一般利用均制定里或對勾函數、函數單調性解之。

【變式3】求函數y=的值域為。

答案：{y|y≠}。

【解法1】（分離常數法）y=·=-·，由于·≠0，所以y≠。

【解法2】（換元法）設5x+1=t，x=，y=×=×（1-），由于≠0，所以{y|y≠}。

四、換元法

【例4】求函數y=4x-5+2的值域。

答案：[1，+∞）。

【解析】

法1：令t=，則2x=t2+3，∴y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=

2

t++，t≥0，而函數y=2t2+t+1在[0，+∞）上是增函數，隨著增大而無窮增大.所以當t=0時，ymin=1，故所求函數的值域是[1，+∞）。

法2：顯然函數在[，+∞）上是增函數，所以當x=時，ymin=1，故所求函數的值域是[1，+∞）。

點評：換元法一般將無理式轉化為有理式，或能整體代換的函數求值域問題，然后用學過的求值域方法求解。

以上是本人總結的求函數值域的常用方法。總之，值域求法多種多樣，但都以常見求法殊途歸一，所以掌握這些方法運用規律，并靈活建模構造，則在高考中就能達到快捷求解，事半功倍。

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