二次規劃問題的時滯投影神經網絡模型的全局指數穩定

(燕山大學理學院，秦皇島 066004 中國)

1986年,Tank等[1]首次提出了解決線性規劃問題的神經網絡概念。 為保證網絡收斂, Kennedy等[2-3]提出了改進的神經網絡模型, 但只能得到近似解。基于對偶和映射理論, Xia等[4-6]提出了多種神經網絡以精確求解二次規劃問題。 文獻[7]提出了利用線性投影神經網絡解決二次規劃問題，當M正定時，線性投影神經網絡在平衡點是全局漸近穩定和全局指數穩定的。文獻[8-10]提出了利用時滯投影神經網絡解決二次規劃問題，文獻[11-12]提出用2個中立型時滯投影神經網絡求解二次規劃問題。

本文是對時滯投影神經網絡模型求解二次規劃問題的推廣，此時滯投影神經網絡沒有罰參數和拉格朗日乘子，并給出了判斷模型全局指數穩定的充分條件，它可以用于解決二次規劃問題。

1 模型及預備知識

考慮如下凸二次規劃問題：

(1)

其中：M是正定矩陣；A∈Rm×n是行滿秩矩陣。

假設可行域x={x∈Rn|Ax=b，x≥0}非空且(1)存在最優解，下列2個投影神經網絡可以解決問題(1)：

(2)

(3)

其中：x(t)=φ(t),t∈[t0-τ,t0]；α是大于零的常量；τ≥0表示傳輸延遲；投影算子PΩ:Rn→Ω定義為

(4)

本文提出了1個新的時滯投影神經網絡模型解決問題(1)：

(5)

其中：λ≥0是常數；x(t)=φ(t),t∈[t0-τ,t0]；α是大于零的常量；τ≥0表示傳輸延遲；投影算子PΩ由(4)定義。

令Xe是(5)的平衡點，X*是(1)的最優解，X*是(5)的平衡點當且僅當X*是(1)、(2)、(3)的平衡點，因此Xe=X*。

為了方便以后的討論，首先介紹一些定義和引理。

定義1[12]若對式(5)的任意初始點X0，?k>0,η>0，使得

‖x-x*‖≤k‖φ-x*‖exp(-η(t-t0)),?t≥t0成立，

其中‖φ(t0)-x*‖=supt0-τ≤t≤t0‖φ(t)-x*‖，則稱時滯投影神經網絡(5)在平衡點X*全局指數穩定。

引理1[12]?x,y∈Rn，投影算子PΩ滿足不等式

‖PΩ(x)-PΩ(y)‖≤‖x-y‖，

(PΩ(x)-PΩ(y))T(x-y)≥(PΩ(x)-PΩ(y))T(PΩ(x)-PΩ(y))

引理2[12](Gronwall不等式)設X(t)和Y(t)是定義在區間{t:t≥t0}上的非負實值連續函數，a(t)=a0(|t-t0|)，其中a0(·)是單調遞增函數，若

引理3[13]?φ(t)∈C([-τ,0],Rn),若泛函微分方程(5)在區間[0,T]上存在滿足初始條件的唯一連續的解x(t)，并且x(t)在區間[0,T]上有界,則式(5)的解的存在區間可延拓到[0,+∞]上。

2 主要結果

定理1?φ(t)∈C([-τ,0],Rn),時滯投影神經網絡(5)在[0,+∞上存在唯一連續的解x(t)。

證明：令f(x(t))=-(1+λ)x(t)+λx(t-τ)+PΩ[(I-αM)x(t)-αq]+PΩ[(I-αM)x(t-τ)-αq]，則

?φ,φ∈C([-τ,0],Rn)，由引理1得

‖f(φ)-f(φ)‖≤‖φ-φ‖+2‖I-αM‖‖φ-φ‖≤(3+2α‖M‖)‖φ-φ‖

故f在C上Lipschitz連續。根據泛函微分方程解的存在性定理，(5)在區間[0,T]上存在滿足初始條件的唯一連續的解x(t)。設x*是神經網絡(5)的一個平衡點。則

‖f(x(t))‖=‖f(x(t))-f(x*)‖≤

(1+λ)‖x(t)-x*‖+λ‖x(t-τ)-x*‖+

‖PΩ((I-αM)x(t)-αq)-PΩ((I-αM)x*-

αq)‖+‖PΩ((I-αM)x(t-τ)-αq)-PΩ((I-

αM)x*-αq)‖≤(1+λ)‖x(t)-x*‖+λ‖x(t-

τ)-x*‖+‖I-αM‖‖x(t)-x*‖+‖I-

αM‖‖x(t-τ)-x*‖≤(1+λ)‖x(t)-x*‖+

λ‖x(t-τ)-x*‖+(I+α‖M‖)‖x(t)-

x*‖+(I+α‖M‖)‖x(t-τ)-x*‖≤(2+λ+

α‖M‖)‖x(t)-x*‖+(1+λ+α‖M‖)‖

x(t-τ)-x*‖≤(2+λ+α‖M‖)‖x(t)‖+(1+λ+α‖M‖)‖x(t-τ)‖+(3+2λ+

2α‖M‖)‖x*‖

α‖M‖)‖x(s)‖+(1+λ+α‖M‖)‖x(s-

τ)‖+(3+2λ+2α‖M‖)‖x*‖]ds≤

2α‖M‖)‖x*‖T+(3+2λ+

由引理2，得

‖x(t)‖≤[(1+(1+λ+α‖M‖)τ)‖φ‖+(3+2λ+2α‖M‖)‖x*‖T]e(3+2λ+2α‖M‖)t≤

[(1+(1+λ+α‖M‖)τ)‖φ‖+(3+2λ+2α‖M‖)‖x*‖T]e(3+2λ+2α‖M‖)T<∞，t∈[0,T)

即x(t)在區間[0,T]上有界。根據泛函微分方程連續性定理，(5)在區間[0,T]上存在滿足初始條件的唯一連續的解x(t)。

定理2令β=‖I-AT(AAT)-1A‖‖I-αM‖，若存在常數α>0,τ>0使得‖A‖e(1+λ)τ<1，e(1+λ)τ<2-β/4‖A‖+β，則時滯投影神經網絡(5)在平衡點X*全局指數穩定。

證明：令x*是系統(5)的平衡點，則

λ(x(t-τ)-x*)+(PΩ((I-αM)x(t)-αq)-

PΩ((I-αM)x*-αq))+(PΩ((I-αM)x(t-τ)-αq)-PΩ((I-αM)x*-αq))=-(1+λ)(x(t)-x*)+λ(x(t-τ)-x*)+(I-AT(AAT)-1A)(g((I-αM)x(t)-αq)-g((I-αM)x*-αq))+(I-

AT(AAT)-1A)g((I-αM)x(t-τ)-αq)-g((I-αM)x*-αq))，由泛函微分方程的常數變易法，得

x(t)-x*=e-(1+λ)(t-t0)(φ(t0)-x*)+

AT(AAT)-1A)e-(1+λ)(t-s)(g((I-αM)x(s-

τ)-αq)-g((I-αM)x*-αq))ds

對?t，存在整數N>0使得(N-1)τ≤t-t0≤Nτ。由上面的方程對任意整數0≤i≤(N-1)有

AT(AAT)-1A)e-(1+λ)(t-iτ-s)(g((I-αM)x(s)-αq)-g((I-αM)x*-αq))ds+

令β=‖I-AT(AAT)-1A‖‖I-αM‖，可得

‖g(x)-g(y)‖≤‖x-y‖，下面有

‖x(t)-x*‖≤e-(1+λ)(t-t0)‖φ(t0)-x*‖+

AT(AAT)-1A‖e-(1+λ)(t-s)‖g((I-αM)x(s)-αq)-

AT(AAT)-1A‖e-(1+λ)(t-s)‖g((I-αM)x(s-τ)-

αq)-g((I-αM)x*-αq)‖ds=

AT(AAT)-1A‖e-(1+λ)(t-s)‖g((I-αM)x(s)-αq)-

AT(AAT)-1A‖e-(1+λ)(t-s)‖g((I-

αM)x(s-τ)-αq)-g((I-αM)x*-αq)‖ds≤

αM‖‖x(s)-x*‖e-(1+λ)(t-s)ds+

由Gronwall不等式得

e(1+λ)t‖x(t)-x*‖≤e(1+λ)t0‖φ(t0)-

即

‖x(t)-x*‖≤‖φ(t0)-x*‖(1+

因此，(5)是全局指數穩定的。

3 仿真實例

通過實例驗證二次規劃問題解的有效性

考慮二次規劃問題

其中取

則此問題有唯一解u*=(0.7496,0.6351)T。

取λ=2,α=0.1,τ=0.1，則(5)可化解為：

0.1M)x(t)-0.1q)+PΩ((I-0.1M)x(t-0.1)-0.1q) (6)

其中

取初始函數φ(t)=[t,sin(t),1]T，(t∈[-1,0])，神經網絡(6)收斂于其平衡點

x*=(u*,-1.6210)T

4 結論

本文提出了一種新的求解二次規劃問題的時滯投影神經網絡模型。利用泛函微分方程理論，證明了新模型解的存在唯一性，并給出了時滯投影神經網絡全局指數穩定的充分條件。數值模擬表明該類網絡模型不僅可行而且有效。

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