基于非線性能量吸振器的高聳結構減振分析

陳 勇，徐 羿

(浙江大學 結構工程研究所,杭州 310058)

高聳結構受風、地震等動力荷載作用后,會引起結構動力響應,而通過在結構上加裝吸振器可以有效地抑制結構的振動[1]。吸振器的思想最早來源于1909年Frahm[2]的研究。然而傳統線性吸振器(例如TMD)的適用頻帶較窄,只有多個吸振器聯合作用才能實現多模態控制。而利用非線性吸振器的寬頻吸振特性進行減振,只需有限個吸振器即可達到較好的減振效果,使得其優化參數較易確定,因此受到了研究者的關注。

Roberson等[3]提出了采用非線性吸振器進行振動控制,Vakakis將一種含有硬化立方非線性剛度的新型非線性吸振振子命名為“非線性能量阱”(Nonlinear energy sink,NES),并詳細分析了其作為吸振器的潛在價值[4],即不但具有寬頻減振的特性,特定情況下還具有單向輸送能量并耗散的特征。Gourdon等[5]通過數值計算驗證了該現象并指出NES優于傳統的線性窄帶吸振裝置。Georgiades[6]研究了簡支梁連接一個或多個NES后的橫向振動問題。Georgiades等[7]研究了懸臂梁連接一個單自由度NES振子后的一維軸向振動問題,并采用有限元方法進行數值模擬驗證了NES的有效性。McFarland等[8]首先設計制作了實物意義上的NES振子,該振子通過拉緊的弦的幾何非線性來實現硬化立方非線性剛度。Kerschen等[9]利用其進行了一個具有兩個自由度的主系統的單個NES減振研究；Nucera等[10]將其應用于多層框架結構一維振動的減振試驗。這些試驗及理論分析中的主結構往往具有較少的自由度。

本文對采用NES吸振器的高聳結構振動抑制特性進行了分析。該系統可簡化為一個懸臂梁-NES系統。通過建立相應的偏微分運動方程,并應用伽遼金法及Rauscher方法,獲得了非線性模態的解析解,揭示了NES振子吸振的原理。建立了基于有限元的離散非線性動力方程,提出了基于增量Newmark-β法的時程分析求解策略。再通過有限元分析,對該系統的振動特性隨NES振子各個參數的變化進行了研究。研究結果揭示了存在最優的振子參數使得懸臂梁的振動得到最大抑制。文中最后給出了這些最優參數的估計方法。

1 運動方程

圖1 安裝在高聳結構上的NES振子

圖2 圖2 簡化模型

系統的運動方程

(1a)

(1b)

式中:β*是懸臂梁的阻尼系數，δ是狄拉克函數，F*是外部激勵。

將式(1)無量綱化后,可得系統無量綱運動方程為

(2a)

(2b)

式中:

(3)

2 非線性模態分析

不失一般性,考慮一根無阻尼梁,并在梁自由端作用一個簡諧激勵F0cosΩt,可據此獲得該非線性系統的非線性模態。在出現非線性模態特征時,可采用伽遼金法將該非線性系統中梁的振動在無NES時梁的前兩階模態坐標系上近似展開:

w(x,t)=r2[u1(t)Φ1+u2(t)Φ2]

(4)

Φi(α)εK{η-[Φ1(α)u1+Φ2(α)u2]}3

(5)

(6)

根據Rauscher[12]的方法,首先考慮NES的自由振動方程

(7)

則該方程的解為

(8)

令外部激勵項εf0cosΩt=εf0g(φ)。這里g(φ)又近似地展開為傅里葉級數[13],利用三倍角函數,與η有關的冪級數表示如下[14-16]。

(9)

因此,可得到一個偽自治動力系統：

Φi(α)εK{η-[Φ1(α)u1+Φ2(α)u2]}3

(10)

(11)

令

考慮到

把式(11)代入式(10)可得

Φi(1)f0g(φ)+Φi(α)Kη3+O(ε)

(12)

將η=ηmax代入式(12),得到邊界條件下的方程

(13)

則系統的解可表示為

(14)

為驗證式(14)的結果,采用龍格庫塔法進行數值模擬。令系統(5)和(6)的參數為

ε=0.1,f0=0.1,K=2,M=1,

Ω=0.588 502,ηmax=0.5,α=0.783

(15)

且初始條件為

(16)

將數值模擬結果與式(14)的結果比較如圖3所示,可見兩者較為吻合,說明式(14)可很好地表征系統的非線性模態。通過對模態形狀的分析可發現,可發現u1比η小了100倍，即振子的振幅遠大于懸臂梁的模態振幅。表明該振子在出現非線性模態時能較好地吸收系統的能量。

圖3 非線性模態

3 非線性有限元時程分析

3.1 非線性時程分析

利用有限單元法可建立系統的離散非線性運動方程

(17)

式中:阻尼矩陣C由各階模態阻尼比獲得，M和K分別為質量矩陣和剛度矩陣。為了較好地描述懸臂梁振動特性,質量矩陣采用了一致質量陣。式(17)中的X是位移向量,即:

X=[w1…wNES…wnq]T

(18)

其中:n為主系統的自由度數。F為外荷載向量，FN由NES的回復力引起,為

FN=[0 …FR… 0 -FR]T

(19)

其中：FR=K(q-wNES)3，wNES為梁上連接NES位置的豎向位移。

考慮到采用增量形式的Newmark-β法[11]在求解非線性時程中具有較高的可靠性,因此本文給出了基于該方法的求解策略,用于計算含NES振子的系統的動力響應。

(20)

其中:KR=K(q-wNES)2。則新的系統運動方程

(21)

線性化后的式(21)則可采用增量Newmark-β法計算下一時間步的位移。由于該位移會致使KL的值發生變化,故該位移還不是非線性系統下一時間步的精確解。可利用該位移對應的KL并結合Newton插值法計算新的KL(需注意到KL恒大于零),回代入式(21),再利用增量Newmark-β法進行下一時間步位移的計算。如此反復迭代,直至下一時間步的位移和KL匹配為止,即迭代收斂。收斂準則為: ① 計算KL的當前值與上一次值的差值；② 該差值的絕對值與KL上一次值的比值小于一個較小的數μ(精度)。圖4給出了具體計算過程的流程圖。

圖4 計算過程流程圖

3.2 非線性能量阱參數敏感性分析及經驗公式

(22)

圖5 窄帶白噪聲集中激勵F0

圖6 懸臂梁自由端的位移時程

圖7 懸臂梁自由端位移的功率譜

圖8 懸臂梁自由端位移的均方根隨NES剛度變化

圖9 懸臂梁自由端振幅均方根隨NES質量變化

圖10 懸臂梁自由端振幅均方根隨NES阻尼變化

圖11 隨阻尼變化

圖12 隨外荷載變化

(23)

(24)

(25)

(26)

式中:log-1(·)指以10為底的對數函數的逆函數。

圖13 荷載歸一化的6opt隨質量變化

圖14 數值分析與式(26)結果對比

4 結 論

將NES用于高聳結構的減振研究結果表明：

(1)連接NES后的系統非線性特征突出,非線性模態分析結果顯示在出現非線性模態時,模態分析表明梁位移比NES位移小了兩個數量級,表明NES可有效吸收結構振動。

(2)給出了可應用于含NES結構的非線性有限元時程分析方法。利用其對在窄帶白噪聲集中激勵作用下的系統減振特性進行了參數分析。結果表明,在選擇適當的NES參數值后,NES可降低梁端振幅均方根值80%左右。

(3)給出了與結構振動特征和荷載大小相關的NES參數選擇方法,并提出了工程意義上的NES最優剛度的經驗公式。

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