結構振動阻尼測試的衰減法研究

尹幫輝,王敏慶,吳曉東

(西北工業大學 航海學院，西安 710072)

阻尼處理技術是振動噪聲控制的一項重要手段，廣泛應用于航天、航海等領域，例如潛艇的阻尼瓦等。為了能夠較為準確的預測阻尼結構的振動響應，通常需要使用有限元、統計能量分析[1]等數值計算方法對實際振動系統進行建模，而這些模型都需要輸入阻尼參數。由于實際結構中阻尼產生機理的復雜性，比如潛艇阻尼瓦材料的阻尼對海水溫度變化很敏感，從理論上預測阻尼結構的阻尼在很多情況下很困難，因此一般都需要通過實驗方法對阻尼參數進行測量，常用的測量方法有功率輸入法和衰減法等。輸入功率法[2-4]利用振動系統在激勵作用下的輸入功率和振動能量來計算損耗因子，該方法是伴隨統計能量分析理論的發展而引入的測試方法，它直接使用統計能量分析的概念，所以測試結果反映了統計能量分析意義下的頻段阻尼，但是由于該方法實驗設備的安裝比較復雜，同時需準確測量輸入功率，對實驗精度要求比較嚴格，并且只能用于測量均質試件，因此其使用受到很大的限制。衰減法[5-9]利用振動系統在自由振動下的衰減特性通過帶通濾波等技術來獲取頻段平均阻尼特性，該方法很早就用于阻尼測試[11-12]，在標準ASTM C423和ISO 3382-1:2009中也有所涉及，由于其測試方法簡單，在機械振動以及建筑聲學中廣泛使用，但是由于理論以及測試方法本身的局限以及問題本身的復雜性使得衰減法測試的精度不高，一般在一個數量級內變化的測試結果都會被認可，本文針對衰減法在阻尼測試中遇到的一些問題及測量誤差產生的具體原因，使用理論與數值仿真的方法進行分析研究，為進一步提高測量精度提供一定的幫助。

當頻段內含有多階模態時，一般情況下各階模態的阻尼會有一定差異，這會導致能級衰減曲線出現分段現象[7-9],這時如何確定頻段平均阻尼一直是阻尼測試中的一個難題，而這對于統計能量分析具有重要的意義。Wu等[7,9]使用實驗分析方法通過能級衰減曲線初始衰減率計算得到了頻段阻尼，該阻尼同統計能量分析意義下的頻段阻尼一致，而Bies等[1,10]則發現衰減法測試結果小于穩態法測試結果即統計能量分析意義下的頻段阻尼。本文使用理論和仿真方法對這些結論進行了進一步的研究，給出了其適用范圍。另外當頻段內含一階模態或不含模態時，其頻段阻尼結果對于統計能量分析意義不大，但是仍然可用于有限元分析，為其提供阻尼參數，所以本文也討論這兩種情況下的阻尼測試。

在使用衰減法進行頻段阻尼測試時，首先將某一1/3倍頻程頻段的信號分量提取出來，這主要有兩種方法：FFT技術和數字濾波器法[13]，在兩種方法中都存在頻段外模態的能量泄露影響頻段阻尼測試結果的現象，目前對這個問題的研究還比較少，本文對數字濾波器法中的能量泄露問題進行了討論。

最后本文使用平板的瞬態沖擊有限元仿真數據對前面兩個問題進行進一步的研究，對相關結論進行了驗證。

1 測試系統

衰減法主要是利用振動系統在自由振動中其能級隨時間的推移而衰減的規律進行阻尼測量，根據其能級衰減率可以計算各種阻尼參數，其測試系統原理圖如圖1所示。使用衰減法進行阻尼測量：首先使用數字濾波器對采集得到的振動信號進行濾波，從而得到某一頻段的振動信號；然后對濾波后的某一頻段內的信號進行反向積分得到能級衰減曲線；改變激勵點/測點反復進行至少50次測試，對所有的能級衰減曲線求平均；最后根據平均能級衰減曲線進行初始衰減率的擬合從而得到頻段衰減率。

圖1 測試系統原理圖

衰減法測量中振動系統的激勵方式主要有兩種，即隨機激勵法[7]和脈沖激勵法[9]。隨機激勵法使用隨機載荷對振動系統進行激勵，等系統穩定后突然關掉電源，根據之后的能級衰減進行阻尼測量，這種方法的初始衰減點的確定比較困難[7]，同時需要安裝激振設備，適用范圍受到很大的限制；脈沖激勵法使用沖擊載荷對被測試件激勵，適用范圍較廣，對于艦船上常用到的水下阻尼測量等情況目前只能使用沖擊激勵法。本文主要對沖擊激勵法進行研究。

本文使用6階巴特沃斯濾波器進行帶通濾波，但是當使用其對大阻尼系統進行測量時，由于濾波器本身的阻尼特性常常干擾測試結果， Jacobsen[5]提出反向濾波技術可以將能測試的阻尼上限大大提高，該方法在濾波之前先將信號進行反向，濾波之后再對濾波后信號進行反向。

由于振動系統在某一頻段通常由很多模態組成，這使得沖擊響應的能級衰減曲線振蕩，呈現出“拍”現象[11]，為了平滑衰減曲線， Schroeder[6]提出反向積分方法以解決該問題。

為了隔離頻段外模態的影響、反映統計能量分析的能量均分假設并且進一步平滑能量衰減曲線，需要對不同激勵點和測點的測試數據的多條能級衰減曲線做平均，標準ASTM C423規定至少需要使用50個數據作平均。

在統計能量分析中一般使用損耗因子η來描述頻段阻尼，由于在本文中使用能級衰減率γ能夠比較直觀的判斷誤差來源(見第3節)，并且損耗因子一般也是根據能級衰減率計算得到，所以本文使用能級衰減率作為阻尼描述參數，二者具有如下的轉換關系[12]:

γ=27.3fη

(1)

對于脈沖激勵下的振動系統，在某測點的振動響應通?？梢员硎緸楦麟A模態的疊加，可以表示為以下的形式:

(2)

其中,fi為第i階模態的固有頻率；ηi為第i階模態的模態損耗因子；Ai為第i階模態的位移振幅，反映了該模態在沖擊完畢時在該測點的初始能量。下面第2節和第3節中使用這種標準信號對頻段內含多模態的頻段衰減率以及頻段外模態對阻尼測試結果的影響進行分析。

2 頻段內含多模態的頻段衰減率

對于頻段內含有多階模態的情況，其能級衰減曲線分段現象比較常見，這時對頻段衰減率的判定存在很大爭議，瞬態方法和穩態方法測試結果存在不一致性，這些問題至今尚未完全解決。下面先從理論上研究衰減法測試結果與統計能量分析意義下的頻段阻尼之間的關系。

如果一個頻段中含多階模態，其統計能量分析意義下的頻段損耗因子表示在穩態激振下一個周期振動中損耗的能量和系統振動的機械能的比[14]，反映了各階模態的平均耗能特性。當模態阻尼不是很大的時候，激勵的輸入功率等于各模態的輸入功率的和，系統的機械能等于各模態的機械能的和。統計能量分析理論的一個基本假設是能量均勻分布假設，對于在某一特定激勵點激勵時該假設一般不成立，但是若對很多激勵點的測試結果做平均后，則可以近似看做能量均分。使用能量均分假設，經過化簡，統計能量分析意義下的損耗因子可以表示為:

(3)

其中Pm表示輸入功率，ω表示頻段的中心角頻率，E為穩態振動能量，Ei、ηi、ωi分別表示第i階模態的機械能、模態損耗因子以及固有角頻率，N為頻段內的模態階數，由于ωi和ω位于同一個頻段內，其比值通常接近于1，所以上式約掉了ωi和ω。上式表明：統計能量分析意義下的頻段損耗因子近似等于各模態的損耗因子的算術平均值，亦即頻段衰減率近似等于各模態衰減率的平均值。

振動系統在沖擊激勵下的能級衰減曲線與沖擊激勵起來的各模態的初始能量和各階模態的模態衰減率有關系。對于某一特定的激勵點/響應點，測試信號反映的各模態的初始能量一般不相同，模態振型峰值附近的激勵點/響應點的初始能量大，節點/節線附近的激勵點/響應點的初始能量小，但是當取很多激勵點/響應點的能級衰減曲線做平均時，各模態的初始能量大致相等，在這種情況下振動系統的能級衰減率可簡化為:

(4)

其中Em,γm、ωm、ξm分別表示第m階模態的初始能量、模態衰減率、固有角頻率和模態阻尼比，N為該頻段中所含的模態數目，γmin表示該頻段中阻尼最小模態的模態衰減率。根據式(3)和式(4)可以看出：衰減法中的初始衰減率接近統計能量分析意義下的頻段衰減率；當衰減時間比較長的時候，其衰減率接近頻段中阻尼最小模態的模態衰減率。

下面對上一段推論中用到的初始能量均分假設做推導。對于在x0處施加沖量為I的沖擊載荷的振動系統，其在測點x處的位移可表示為:

(5)

其中:ψn,Mn、ωn、ξn表示第n階模態的模態振型、模態質量、固有角頻率、模態阻尼比。測點信號初始能量的第n階模態分量對于大量沖擊點/測點的平均值可以表示為式(6)，其中ω為頻段的中心頻率。對于四邊簡支邊界條件，式(6)為一常數，同模態的階數沒有關系，所以同頻段各階模態的能量基本相等。對于固支和自由邊界條件，使用有限元模態分析也可以驗證得到各模態的能量基本相等的結論。

(6)

以上從理論上推導了使用初始衰減率來測量頻段衰減率的原因， Wu等[7,9]也根據實驗對其進行了驗證，并且指出了傳統的根據能級下降60dB或者25dB(標準ASTM C423)來測量得到的阻尼會小于真實的阻尼值的原因正是由于沒有采用初始衰減率。但是Bies等[1,10]在實驗中卻發現即使使用初始衰減率測得的阻尼值仍然小于統計能量分析意義下的阻尼值。下面使用式(2)描述的標準信號以及圖1表示的測試系統對這個問題進行研究。

考慮下面的二自由度系統：模態振幅A1=A2=1 mm；模態頻率f1=950 Hz、f2=1 050 Hz，改變各模態的模態衰減率，研究中心頻率為1 000 Hz的1/3倍頻程頻段的頻段衰減率測試，其初始衰減率擬合結果如表1所示。表1中的誤差計算公式如下：

(7)

其中,γ為擬合得到的頻段衰減率，γi為第i階模態的模態衰減率。表1中的半衰時間是根據式(4)左側的等式在某個時刻t1滿足

(8)

的情況下得到的。對于只含兩階模態的頻段，假設其初始能量相等，對式(8)進行求解可得:

(9)

表1 模態衰減率差別對頻段衰減率的影響

從表1可以看出：當頻段內各模態的模態衰減率差別不是很大的時候，測試得到的頻段衰減率很接近統計能量分析意義下的頻段衰減率，即各模態衰減率的平均值，這同前面的理論分析一致；當各模態的模態衰減率相差較大的時候，測試得到的頻段衰減率接近阻尼較小的模態的模態衰減率，從而使得測試誤差較大，下面對這種現象進行解釋：

圖2 γ1=100 dB/s,γ2=500 dB/s時的能級衰減曲線

圖2作出了相應于表1中γ1=100 dB/s、γ2=500 dB/s時的直接使用給定振動信號計算得到的能級衰減曲線及經過反向積分的能級衰減曲線。從式(9)可以看出：當頻段內兩階模態的衰減率相差越大，半衰時間越小，其初始衰減率在開始時刻就會迅速變化。從圖2中給定信號的能級衰減曲線的振幅擬合得到的初始頻段的衰減率為231 dB/s，這小于初始衰減率300 dB/s而略大于半衰時間點的衰減率200 dB/s，這說明：由于半衰時間過小導致在能級衰減曲線中較難識別出初始衰減率。從圖2中經反向積分后的能級衰減曲線可以看出其初始段的衰減率同后面一段曲線的衰減率基本一致，這說明反向積分也是造成測量誤差的一個原因。綜上所述：當頻段內的兩階模態的模態衰減率相差較大時，由于衰減率變化過快以及反向積分的影響導致頻段衰減率偏小而接近最小模態衰減率。

3 頻段外模態對阻尼測試結果的影響

如果頻段中不含任何模態，那么頻段外某階模態的能量泄露將會對該頻段的頻段衰減率造成影響?？紤]單自由度系統：固有頻率為f=250 Hz，幅值A=1 mm，模態衰減率γ為70 dB/s或700 dB/s。相應于這兩種模態衰減率，表2給出了在250 Hz附近的一些頻段的頻段衰減率擬合結果，從中可以看出：如果該頻段不含任何模態，則頻段外模態對該頻段的影響只同該模態的衰減率相關，而與頻率的位置沒有關系。

表2 頻段外模態能量泄露所造成的周圍頻段的衰減率(dB/s)

下面再考慮由于頻段外模態的能量泄露而對附近含有模態的頻段的頻段衰減率所造成的影響。考慮二自由度系統：固有頻率為f1=790 Hz、f2=1 000 Hz，模態衰減率：①γ1=100 dB/s、γ2=700 dB/s，或者②γ1=700 dB/s、γ2=100 dB/s，考慮中心頻率為1 000 Hz的1/3倍頻程頻段，第1階模態位于頻段之外，第2階模態位于頻段之中。表3給出了頻段外模態幅值變化時，頻段衰減率擬合結果的變化情況，從表3中可以看出：當頻段外模態的模態衰減率比頻段內模態的模態衰減率小很多的時候，隨著頻段外模態能量的增加，其對頻段衰減率將產生顯著影響；當頻段外模態的模態衰減率比頻段內模態的模態衰減率大很多的時候，其對頻段衰減率的影響不大。

相應于表3頻段外小阻尼情況中A1=1 mm，A2=1 mm的幅值衰減曲線如圖3所示。從中可以看出其能級明顯分兩段，第二段的衰減率為100 dB/s，為頻段外模態的模態衰減率。結合表2和圖3可以看出：使用衰減率作為阻尼參數相對于衰耗因子能夠更容易判斷出衰減法中的誤差來源。

表3 模態幅值大小分布對頻段衰減率的影響

圖3 模態衰減率①中當A1=1 mm，A2=1 mm時的能級衰減曲線

下面考慮頻段外模態的位置對頻段衰減率的影響。取幅值A1=A2=1 mm，衰減率γ1=700 dB/s、γ2=70 dB/s，改變頻段外模態頻率位置，考慮中心頻率為1 000 Hz的1/3倍頻程頻段的頻段衰減率，表4給出了結果，從中可以看出：頻段外模態距離某頻段越近，其對該頻段的衰減率影響越大。

表4 模態頻率位置對頻段衰減率的影響

綜上所述：如果頻段中不含任何模態，則頻段外模態對該頻段的影響只同頻段外模態的衰減率相關，而與其頻率位置沒有關系；如果頻段中含有模態，則頻段外模態對該頻段的影響同頻段外模態的衰減率、幅值、頻率位置都有關系，衰減率越小影響越大、幅值越大影響越大、越接近該頻段影響越大。

4 具體振動系統的衰減法阻尼測試

上面使用標準衰減信號研究了衰減法阻尼測試結果與統計能量分析意義下的頻段阻尼之間的關系以及頻段外模態的阻尼對頻段內阻尼測試結果的影響，下面對一個具體的振動系統使用圖1的數據處理系統對前面的相關結論進行驗證，其中使用的數據來源于平板在沖擊激勵下的瞬態衰減響應的ANSYS仿真數據。平板長0.8m、寬0.6m、厚5mm，材料為鋼，四條邊處施加自由邊界條件，使用的沖擊載荷如圖4所示。

圖4 平板上施加的沖擊載荷

表5 平板各頻段所含模態的衰減率及其頻段衰減率

為了能獲得圖1的流程圖中的衰減信號，隨機選擇沖擊點和測點作50次瞬響應分析，提取節點處的位移值作為衰減法的輸入信號。每次仿真的總時間0.8 s，每一子步之間的時間間隔為0.000 1 s。做瞬響應分析時使用模態疊加法，各模態的模態衰減率如表5所示，另外表5中的頻段表示的是1/3倍頻程頻段。表5的后兩列給出了其頻段衰減率擬合結果及其誤差，后面分頻段內不含模態、頻段內含一階模態、頻段內含多階模態三種情況分別對結果進行討論。

4.1 頻段內不含模態

在表5中共有3個頻段不含模態，即中心頻率分別為25 Hz、50 Hz、64 Hz的1/3倍頻程頻段。其中中心頻率為25 Hz的頻段主要受到固有頻率為34 Hz的模態的影響。50 Hz的頻段主要受到41 Hz和75 Hz的固有頻率的影響。64 Hz的頻段主要受到75 Hz和81 Hz的影響。這驗證了前面的結論：如果頻段內不含模態那么該頻段的衰減率將主要受頻段外靠近該頻段的模態的模態衰減率影響。

4.2 頻段內含有一階模態

當頻段內僅含一階模態的時候，測試得到的衰減率應該為這階模態的模態衰減率，同時受到附近模態的衰減率的影響。表5中共有6個頻段僅含一階模態，即中心頻率分別為32 Hz、40 Hz、100 Hz、125 Hz、200 Hz、320 Hz的1/3倍頻程頻段。其中中心頻率為32 Hz、100 Hz的頻段的測試誤差較小，小于20%；中心頻率為40 Hz、 125 Hz、200 Hz的頻段由于附近有衰減率較小的模態的影響而偏??；中心頻率為320 Hz的頻段由于附近有衰減率較大的模態的影響而偏大。圖5作出了中心頻率125 Hz的頻段的能級衰減曲線和初始衰減率擬合曲線，該圖存在明顯的分段現象，該頻段的第二段衰減曲線的衰減率為105 dB/s，這說明了該頻段受到衰減率為100 dB/s的模態即頻率為165 Hz的模態的影響。

上述討論驗證了前面的結論：當頻段附近含有同該頻段的衰減率相差較大的模態的時候，該頻段的頻段衰減會受該模態影響，特別是當頻段附近的模態的衰減率遠小于頻段內的模態的衰減率的時候。

圖5 頻段125 Hz的能級衰減曲線及初始衰減率擬合

4.3 頻段內含有多階模態

表5中共有5個頻段含有多階模態，即中心頻率分別為80 Hz、160 Hz、250 Hz、400 Hz、500 Hz的1/3倍頻程頻段。中心頻率為80 Hz以及160 Hz的頻段的能級衰減曲線及初始衰減率的擬合如圖6、圖7所示，由于80 Hz頻段內的兩階模態的衰減率相差不是很大，所以其初始衰減率接近統計能量分析意義下的衰減率，而160 Hz頻段內的兩階模態的衰減率相差較大，測試結果更偏向于衰減率較小的模態的衰減率，這驗證了第2節中的結論。中心頻率為250 Hz、400 Hz、500 Hz的頻段由于頻段外含衰減率較小的模態，所以頻段衰減率偏小。

圖6 頻段80 Hz的能級衰減曲線及初始衰減率擬合

圖7 頻段160 Hz的能級衰減曲線及初始衰減率擬合

根據前面的討論發現：如果各模態的衰減率隨頻率變化平緩，則各頻段的衰減率測試結果較為準確；反之，如果各模態的衰減率隨頻率改變而發生劇烈變化，那么由于頻段內大阻尼模態的衰減率難以體現以及頻段外模態的能量泄露作用導致相關頻段的頻段衰減率測試結果誤差較大。

5 結 論

(1)當頻段內各模態的模態阻尼相差不是很大時，衰減法測試結果同統計能量分析意義下的阻尼值接近;當頻段內各模態的阻尼相差較大時，由于衰減率變化過快以及反向積分的原因造成了衰減法測試結果小于統計能量分析意義下的阻尼值；

(2)如果頻段中不含任何模態，則頻段外模態對該頻段的影響只同頻段外模態的衰減率相關，而與其頻率位置沒有關系；如果頻段中含有模態，則頻段外模態對該頻段的影響同頻段外模態的衰減率、幅值、頻率位置都有關系，衰減率越小影響越大、幅值越大影響越大、越接近該頻段影響越大。

(3)如果各模態的衰減率隨頻率變化平緩，則各頻段的衰減率測試結果較為準確；反之，如果各模態的衰減率隨頻率改變而發生劇烈變化，那么由于頻段內大阻尼模態的衰減率難以體現以及頻段外模態的能量泄露作用導致相關頻段的頻段衰減率測試結果誤差較大。

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