基于譜有限元的自由阻尼梁結構損耗因子分析

尹幫輝， 王敏慶

(西北工業大學 航海學院，西安 710072)

振動噪聲對設備的安全性及可靠性具有很大的危害，受到廣泛的關注。自由阻尼處理[1]是一種在振動表面附加黏彈阻尼材料，通過阻尼材料的振動將機械能轉化為熱能從而達到抑振降噪目的的阻尼處理方法，該方法廣泛用于潛艇消聲瓦的設計。結構損耗因子[2]用于描述結構振動時的耗能特性，常用作阻尼處理的評價參數，因此準確的獲取結構損耗因子對于振動噪聲控制具有重要意義。本文使用譜有限元法[3-5]對自由阻尼梁的結構損耗因子進行研究。

為了能夠有效吸聲，潛艇消聲瓦越做越厚，阻尼層的振動變形不再單純是彎曲變形，剪切變形以及垂直于中性面的拉伸變形都不容忽略，自由阻尼結構損耗因子計算的經典公式[1]不再適用，必須尋找新的計算方法。譜有限元法[3-5]是一種使用有限元來分析無限介質中波傳播特性的方法，對于多層板，Shorter[4]從拉格朗日原理出發，對多層板中各階波的波數和波形推導了譜有限元計算公式，然后根據譜有限元法得到的特征波形使用應變能法得到各階波的損耗因子。文獻[3-5]主要討論了阻尼結構中存在的波的類型及其損耗因子，而對激勵類型以及邊界反射對結構損耗因子的影響沒有涉及。載荷所能激勵起的波類型在很大程度上決定了結構損耗因子大小，阻尼結構在不同類型或者不同方向的載荷作用下將激勵起不同種類的波分量，因而其結構損耗因子也各不相同。另一方面，如果振動系統的尺寸較小、激勵點位置靠近邊界或者邊界條件發生改變，那么邊界處的反射波將使振動系統的應變能分布產生較大變化，這將導致結構損耗因子發生一定的改變。所以關于激勵類型和邊界反射對結構損耗因子影響的分析具有重要的意義。

本文首先使用譜有限元分析了自由阻尼梁中擴散波類型及其損耗因子，通過對其特征波形的分析探討了各個頻率下每種波的激勵條件，然后使用有限元對自由阻尼長梁做諧響應分析得到各個單元的應變能，根據應變能法計算得到該長梁分別在垂直和水平激勵下的結構損耗因子，對結構損耗因子同激勵起的波類型之間的關系進行了討論，最后分析了邊界反射對結構損耗因子的影響。本文通過對自由阻尼梁結構損耗因子同激勵類型與邊界反射的關系的探討，揭示了自由阻尼結構阻尼大小的影響因素，為潛艇消聲瓦等自由阻尼結構的設計提供一定的幫助。

1 基本理論

1.1 譜有限元法

譜有限元法[3-5]是一種分析無限介質中波傳播特性的有限元方法，它使用直線單元的線性形函數對位移場進行離散，將離散形式的位移場代入拉格朗日原理得到特征方程，對特征方程進行求解得到某頻率下的各階波的特征波數和特征波形。Shorter[4]推導了多層板中的譜有限元公式，本文參考其方法推導了平面應力狀態下的自由阻尼梁的譜有限元公式。

設一列平面波向著梁的正方向即x軸正向傳播，如圖1所示

圖1 自由阻尼梁中的波傳遞

則其位移場可表示為:

d(x,y,t)=[u(y)v(y)]Tei(ωt-kx)=

d(y)ei(ωt-kx)

(1)

其中:u(y)、v(y)分別為x方向和y方向位移。使用線性函數作為形函數對位移場進行離散，可得:

d(y)=[u(y)v(y)]T=[INiINj][uiviujvj]

(2)

其中:I為2×2的單位矩陣，Ni、Nj為形函數，可以表示為:

(3)

其中:yi、yj為線單元的兩節點的坐標。使用矩陣和向量符號，可將式(2)表示為:

d(y)=Nq0

(4)

其中:N=[INiINj]為形函數矩陣，q0=[uiviujvj]T為節點位移向量。對于基底層劃分m個單元，阻尼層劃分n個單元，其單元、節點劃分示意圖如圖2所示。

圖2 譜有限元單元、節點劃分示意圖

對于保守系統，其拉格朗日原理為:

(5)

將式(2)代入式(5)可得到該保守系統的振動需滿足下列最優化問題:

(6)

式中:K、M分別為總體剛度矩陣和總體質量矩陣，其定義參考文獻[4]，ω為角頻率。式(6)可化為下列特征方程:

(K-ω2M)q0=0

(7)

式中，M為常矩陣，K中含有波數k，所以在某一特定頻率ω下，該式經過整理可化為關于波數以及波形的特征值問題[4]，對其進行求解可以得到該頻率下各階波的特征波數和特征波形。

1.2 有限元法

有限元法將連續的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個單元內假設的近似函數來分片的表示求解域上待求的未知場函數，近似函數通常由未知場函數及其導數在單元各節點的數值插值函數來表達，從而使一個連續的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。本文使用通用有限元分析軟件ANSYS對自由阻尼梁做諧響應分析，通過后處理得到每個單元的應變能，然后使用應變能法計算得到自由阻尼梁的結構損耗因子。

振動系統的運動方程可以寫為:

(8)

式中:[M]、[C]、[K]分別為總體質量矩陣、總體阻尼矩陣、總體剛度矩陣，{u}、{F}分別為位移向量和載荷向量。對于簡諧激勵，設[F]=[F0]eiωt，式(8)可化為:

[Kc]{uc}={Fc}

(9)

式中:下標“c”表示該矩陣或向量為復的。對上式使用波前求解法可得到各節點的位移響應，具體參考ANSYS理論手冊。根據各節點的位移可以計算各單元應力和應變，進而可得到單元應變能。

1.3 應變能法

應變能法是一種根據統計能量分析關于內損耗因子定義[6-8]，利用振動系統振動時一周期時間內耗能總和同應變能總和的比值來計算結構損耗因子的方法，即:

(10)

式中:η、Ei為第i層材料的材料損耗因子和應變能。該方法廣泛用于多層板結構損耗因子的計算。

由式(7)得到給定頻率下各階波的特征波數及特征波形，根據特征波形計算出該波傳遞時各層材料的時間平均應變能，進而由應變能法可以計算出第k階波的損耗因子[4]:

(11)

式中:ηn為第n層材料的材料損耗因子，Pk為第k階波的特征波形，K(n)為第n層材料的剛度矩陣，K為總體剛度矩陣。本文稱這種應變能法為“波應變能法”。

當結構在一般簡諧載荷激勵時，通常會同時激起幾種波，這時上述波應變能法不再適用[9]，本文使用有限元諧響應分析得到的各層材料的應變能計算結果來計算其結構損耗因子，即:

(12)

式中:N為層數，ηi為第i層材料的材料損耗因子，Ni為第i層材料所含單元數，Eij為第i層材料的第j個單元的應變能。本文稱這種方法為“一般簡諧激勵下的應變能法”。

2 激勵類型對結構損耗因子的影響

當自由阻尼梁受到簡諧激勵激振時，其振動響應主要為各階擴散波(propagating waves)的疊加，只有激勵點附近很小的區域受耗散波(evanescent waves)的影響，因此本文主要考慮擴散波對結構損耗因子的影響。譜有限元一般計算量不大，本文使用MATLAB按照第1節公式編寫程序，對下列自由阻尼梁進行分析：基底層厚度10 mm，楊氏模量2×1011Pa，泊松比0.3，密度7 800 kg/m3；阻尼層厚40 mm，楊氏模量2×107Pa，泊松比0.4，密度1 000 kg/m3。基底層劃分為6個單元，阻尼層劃分為48個單元。

經過譜有限元分析得到的自由阻尼梁的頻散曲線的實部和虛部如圖3和圖4所示，其中波數為純實數的波為擴散波。圖3中的“縱1”、“縱2”、“縱3”、“彎1”、“彎2”為5種擴散波，前面的“縱”表示縱波，“彎”表示彎曲波，后面的數字表示階數，例如“彎2”表示第2階彎曲波。這里的彎曲波和縱波是根據特征波形位移分量的主要成分以及圖3的頻散曲線的連續性進行區分的，和經典教材[10]中的彎曲波和縱波不完全一致，當位移主要為x方向的分量時稱為縱波，而當位移主要為y方向分量時稱為彎曲波。從圖3可以看出：頻率越高，擴散波的類型越多；縱波的波數一般遠小于彎曲波的波數。

本文使用結構損耗因子同阻尼層材料損耗因子的比對結構損耗因子進行無量綱化，稱之為“損耗因子比”，即:

(13)

其中:ηs為結構損耗因子，ηd為阻尼層材料損耗因子。對于各階擴散波，通過譜有限元計算得到其特征波形，根據波應變能法即式(11)得到各階波的損耗因子。對應于圖3中的各階擴散波的損耗因子比如圖5所示。

下面選擇一些典型頻率，使用譜有限元分析其各階波的激勵條件，其譜有限元計算結果如表1所示，其中波形分類是根據各階波的特征波形進行的分類，下文將進行詳細討論，激勵條件根據波形分類進行確定。從該表中可以看出：垂直激勵主要激勵起最高階彎曲波或者某些低階縱波，水平激勵主要激勵起最高階縱波。這里階數的高低是由該波產生的起始頻率決定的，頻率越高產生的波的階數越高，如圖3所示。

表1 各個頻率下的擴散波的損耗因子比和激勵條件分析

圖6 各個頻率下的擴散波的波形

對應于表1的一些波的特征波形如圖6所示，該圖的橫坐標表示距離基底外表面的距離，即圖1中的y坐標，縱坐標表示x=0的直線上各節點的x方向和y方向的振動位移。

根據各階擴散波的波形(一些典型波形如圖6所示)，可將表1中的各階波按照特征波形分為三類：①x方向位移占主導的波形，包括：300 Hz縱1、760 Hz縱2、1 250 Hz縱2、2 000 Hz縱3；②y方向位移占主導的波形，包括：300 Hz彎1、760 Hz縱1、1 250 Hz彎2、2 000 Hz縱2；③基底位移很小的波形，包括：760 Hz彎1、1 250 Hz縱1、1 250 Hz彎1、2 000 Hz彎2、2 000 Hz縱1、2 000 Hz彎1。在第①類和第②類波形中其某一方向的位移占主導，并且基底層上該方向的位移也比較大，所以這兩類波容易被基底層上的該方向的簡諧激勵所激發。第③類波形的位移主要集中在阻尼層內，而基底層上的位移非常小，所以這類波僅能受作用于阻尼層上的載荷所激發，而較難受基底層上的載荷所激發，其結構損耗因子基本上等于阻尼層的材料損耗因子。

表2 對應300 Hz彎1特征波形前4個節點的振動位移

特征波形x方向位移和y方向振動都是復數，對應“300 Hz彎1”的特征波形前4個節點的位移如表2所示，從中可以看出：x方向位移和y方向位移幅角相差90°，這表示當x方向的位移達到峰值的時候，y方向位移達到最小，反之當y方向的位移達到峰值的時候,x方向位移達到最小。圖6的各圖中的“x方向位移”和“y方向位移”，如果前者的實部數據非0，那么前者繪制的是實部數據，后者繪制的是虛部數據，反之，如果前者的虛部數據非0，那么前者繪制的是虛部數據，后者繪制的是實部數據。

圖7 激勵點位置和方向

下面使用一般簡諧激勵下的應變能法研究自由阻尼梁分別在垂直于梁方向和平行于梁方向的簡諧激勵下的結構損耗因子， 對結構損耗因子同激勵起的波類型之間的關系進行討論，其應變能數據來自于ANSYS諧響應分析。為了能夠忽略邊界反射波對結構損耗因子的影響，這里梁取得較長，垂直激勵時為10 m，水平激勵時頻率小于500 Hz為25 m，反之為10 m，忽略基底層阻尼，阻尼層的材料損耗因子取為0.1，梁的其他參數同第2節。梁兩端簡支，激勵點位于梁長度方向的中點，垂直激勵時位于下端面，水平激勵時位于基底板的中性面上，其示意圖如圖7所示。使用ANSYS的PLANE42單元對梁進行建模，其KEYOPT(3)取3，表示平面應力狀態，諧響應分析使用FULL方法。水平激勵在低頻時的梁取得很長的原因是為了能夠忽略邊界反射對結構損耗因子的影響。另外， 水平激勵時激勵點位置選擇在基底層的中性面上的原因是為了使水平方向的簡諧激勵主要激勵起縱波，如果作用點選在基底層的下表面，那么由于彎矩的作用使得自由阻尼梁中也會產生較大的彎曲波成分。

上述兩種簡諧激勵下的損耗因子比的結果如圖8所示，從中可以看出：當不考慮邊界反射時，兩種激勵下長梁的結構損耗因子同譜有限元分析結果(表1)中該種激勵所激勵起的波的損耗因子接近。

圖8 垂直激勵和水平激勵下的損耗因子比

3 邊界反射對結構損耗因子的影響

載荷所能激勵起的波類型在很大程度上決定了結構損耗因子大小，但是如果振動系統的尺寸較小或者激勵點位置靠近邊界，那么邊界處的反射波將使振動系統的應變能分布產生較大變化，這將導致結構損耗因子發生改變，所以有必要研究邊界反射對結構損耗因子的影響，本節使用一般簡諧激勵下的應變能法來研究由于梁長度、激勵點位置以及邊界條件所引起的邊界反射對結構損耗因子的影響，其應變能數據來源于ANSYS諧響應分析。

首先研究梁長度、激勵點位置對垂直激勵下的梁的結構損耗因子的影響，考慮三種梁：①兩端存在邊界反射的梁(梁長3 m，激勵點位于梁長中點)，②一端邊界反射可忽略的梁(梁長10 m，激勵點距離一端為梁長的1/20)，③可忽略邊界反射的梁(梁長10 m，激勵點位于梁長中點)。圖9給出了以上三種情況下的損耗因子比，從中可以看出：②和③在大多數頻率都較為接近，在一些頻率存在較小差異；①和③在一些頻率差別較明顯。

然后研究邊界條件對結構損耗因子的影響，圖10為三種不同邊界條件下的3m長的自由阻尼梁在中點受到垂直激勵時的結構損耗因子隨頻率變化曲線，從中可以看出：不同邊界條件的結構損耗因子一般情況下比較接近，但是在一些頻率處會存在較大差異。

圖11給出了兩端存在邊界反射的梁，即圖9的情況①，在1 420 Hz的激振力下的位移響應的實部和虛部，在靠近邊界的地方可以看到比較明顯的反射波，正是由于反射波的存在導致了圖9中①和③的損耗因子比的差異。

圖11 激勵頻率為1 420 Hz時的ANSYS振動位移

上述關于邊界反射的結論對于水平激勵也成立，只是由于縱波波長比彎曲波波長大很多，所以其受邊界反射的影響要大得多。

綜合2、3節的討論可以看出：自由阻尼梁的結構損耗因子主要由激勵所能激勵起的波類型所決定，在一定程度上受到邊界反射影響。

4 結 論

(1)垂直激勵主要激勵起最高階彎曲波或者某些低階縱波，水平激勵主要激勵起最高階縱波；

(2)梁越長，激勵點離邊界越遠，邊界反射對結構損耗因子影響越小；

(3)不同邊界條件的結構損耗因子一般情況下比較接近，但是在一些頻率點會存在較大差異；

(4)自由阻尼梁的結構損耗因子主要由激勵所能激勵起的波類型所決定，在一定程度上受到邊界反射影響。

參 考 文 獻

[1]戴德沛.阻尼減振降噪技術[M].西安: 西安交通大學出版社,1986.

[2]Lyon R H.Statistical energy analysis of dynamical system: theory and application[M].The MIT Press,Cambridge,Massachusetts,1975.

[3]Gavric L.Computation of propagative waves in free rail using a finite element technique[J].Journal of Sound and Vibration,1995,185(3): 531-543.

[4]Shorter P J.Wave propagation and damping in linear viscoelastic laminates[J].Journal of Acoustical Society of America,2004,115(5): 1917-1925.

[5]Finnvede S.Spectral finite element analysis of the vibration of straight fluid-filled pipes with flanges[J].Journal of Sound and Vibration,1997,199(1): 125-154 .

[6]Ungar E E,Kerwin E M.Loss factor of viscoelastic systems in term of energy concept[J].Journal of Acoustical Society of America,1962,34(7): 954-957.

[7]Wilson C J,Carnevali P,Morris R B,et al.Viscoelastic damping calculations using a p-type finite element code[J].Journal of Apply Mechanics,1992,59(1): 696-700.

[8]張少輝,陳花鈴.共固化復合材料粘彈阻尼結構的損耗因子研究[J].航空材料學報,2005,25(1): 53-57.

ZHANG Shao-hui,CHEN Hua-lin.Damping analysis of cocured composites with interleaved viscoelastic layers[J].Journal of Aeronautical Materials,2005,25(1): 53-57.

[9]潘利劍,張博明,戴福洪.簡諧激勵下共固化復合結構粘彈阻尼材料的損耗因子研究[J].振動與沖擊,2008,27(2): 57-60,175-176.

PAN Li-jian,ZHANG Bo-ming,DAI Fu-hong.Study on loss factor of cocured composites with an interleaved viscoelastic damping layer under a harmonic excitation[J].Journal of Vibration and Shock,2008,27(2): 57-60,175-176.

[10]Cremer L,Heckl M,Ungar E E.Structure-Borne Sound[M].Springer-Verlag,2005