基于波動法的復合材料圓柱殼阻尼特性分析

白宇杰，張小章

(清華大學 工程物理系，北京 100084)

復合材料具有比強度高、比剛度高和可設計性等優異性能，已經受到廣泛應用，比如纖維纏繞成型的復合材料圓柱殼在高速旋轉機械上的應用[1]。關于復合材料阻尼的研究進展，任勇生等[2]在2004年進行了總結，并用變分漸進法(Variational Asymptotical Method)對復合材料懸臂梁阻尼進行了分析[3]。Berthelot等[4-7]在2002年后針對復合材料單向板的阻尼做了系統的理論計算和實驗驗證。但關于復合材料圓柱殼的阻尼分析相對較少，阻尼分析在動力學研究的基礎上進行，而這方面已經做了大量工作，如Lam等[8-10]采用四種不同的殼體理論比較了層合圓柱殼的固有頻率，并研究了不同邊界條件和鋪層方式對振動的影響。Liew等[11]運用能量Ritz法研究了軸向加載旋轉正交鋪層圓柱殼的振動特性。很多研究者運用波動法對圓柱殼的動力學性能進行了研究，如Wang等[12]和Zhang等[13]采用波動法研究了有限長圓柱殼的共振頻率，并與有限元方法的結果進行了比較。基于動力學研究，Alam等[14]用變分方法研究了徑向簡支復合材料圓柱殼的阻尼特性，Hufenbach等[15]用能量Ritz法進行了簡支復合材料圓柱殼的阻尼分析。Saravanos等[16]開發了阻尼單元對懸臂情況下的復合材料圓柱殼阻尼進行了有限元分析。

由此可以看出，目前關于復合材料圓柱殼的阻尼分析，理論上僅限于簡支邊界條件，對于其余邊界條件需要重新推導計算，過程冗繁，而有限元方法作為一種數值近似，計算成本較高，且對于阻尼預測缺乏實用性[3]。

本文運用波動法求解根據Love’s一階殼理論得到的復合材料圓柱殼動力學方程，在振動分析的結果上建立了結構阻尼模型并進行了阻尼特性分析。波動法是求解圓柱殼動力學方程的一種計算方法[13]，可以方便地得到不同邊界條件下的結果。與有限元方法相比，理論方法可以更方便地進行參數分析。本文針對簡支(SS-SS)，懸臂(C-F)和固支(C-C)三種邊界條件，從鋪層角度和幾何參數對復合材料圓柱殼的阻尼特性進行了分析研究。

1 振動方程

圖1 復合材料層合圓柱殼動力學模型

復合材料層合圓柱殼模型示意圖見圖1，圓柱殼的厚度為h，半徑為r，長度為L。采用曲面坐標系oxθz描述圓柱殼系統：u，v與w分別為圓柱殼在x，θ與z方向上的位移。基于Love’s理論，采用Hamilton原理建立復合材料層合圓柱殼的動力學方程[8]

(1)

其中Lij(i,j=1,2,3)是微分算子。殼體的位移函數可以表示為波動的形式：

(2)

式中:Umn，Vmn，Wmn分別為3個坐標方向上的波幅；ω為角頻率；t為時間；km為軸向波數，n為環向波數。將式(2)代入式(1)得

(3)

其中Cij(i,j=1,2,3)是系數。式(3)有非零解的條件是系數矩陣的行列式為0，即

(4)

將式(4)展開，得到關于圓柱殼周向波數、環向波數和頻率的特征方程

f(km,n,ω)=0

(5)

利用該方程就可以分析復合材料圓柱殼的振動特性，其中關鍵一步就是根據殼體的邊界條件選取相同邊界條件下梁的波數作為殼體的軸向波數[7]，環向波數根據分析的振型進行選取，然后就可以得到關于頻率ω的6次方程

ω6+b4ω4+b2ω2+b0=0

(6)

其中bi(i=4,2,0)是方程系數。求解式(6)得到3個根，分別對應于殼體在3個方向上的振動頻率，其中最低頻率對應彎曲振動，另外的頻率對應殼體的面內振動。得到相應軸向波數和環向波數下的振動頻率后，代入式(3)可以求解振幅之間的關系，進一步得到相應的位移函數。本文討論最低頻率即一階彎曲振動的情況。

2 阻尼模型

圖2 復合材料層合圓柱殼截面模型

復合材料層合圓柱殼的截面模型如圖2所示。假設各層復合材料都是正交各向異性，則考慮第k層的應變能為[7]

(7)

其中:

(8)

根據復合材料本構關系可得主軸方向應力應變為

(9)

其中各折減剛度系數為

Q12=Q21=νLTQ22,Q66=GLT

利用式(9)將式(8)改寫為

柳含煙認為蕭飛羽不僅搞錯了當初在馬車上露臉的是誰，從那“傲慢得要命的丫頭”該是喚起的模糊印象也是她多么年幼無知，以致錯上加錯搞混了她和白雪，又由于為她解穴時發現她非處子才說：“如果你不是名花有主我一定不會放過你。”也因為他認為她稚氣無知才會有意外的言詞，并把她如此模樣擺在腿上欣賞。她溫順地道：“含煙滿足您心疼含煙，也會努力使您信任含煙。”蕭飛羽凝視柳含煙，目光漸漸深邃，以致柳含煙覺得那目光透過她的雙眸看到了她的心扉，心也緊張得像小鹿一樣“砰砰”亂跳，因為她認為她真的喚起了他疼愛她，所以他正在思索如何犒賞年幼無知的她。也非常擔心她“名花有主”也不放過她。

(10)

實際計算得到的應變在偏軸方向，將主軸方向上的應變轉換為偏軸方向上得

(11)

其中l=cosθ,m=sinθ。將式(11)中的主軸應變代入式(10)中可得應變能與相應振型的應變之間的關系。

式(11)中的偏軸應變可以根據Love’s假設得到

(12)

其中:ε1,ε2,ε12是參考面應變，k1,k2,τ是參考面曲率的變化，它們的定義如下:

將振型函數式(2)代入其中即可得偏軸應變，進一步可得主軸應變，進而得到應變能。

則有

第k層的應變能為

(13)

于是得到第k層由于阻尼耗散的能量為

(14)

其中:η11,η22分別是纖維縱向和橫向上面的拉壓阻尼損耗因子，η12是面內耦合損耗因子，η66是面內剪切損耗因子，進一步可以求得整體的損耗因子為

η=∑ΔUk/∑Uk

(15)

3 結果討論

為了檢驗本文建立的阻尼模型及其近似計算方法的正確性，表1給出了兩種CUS構型，即沿薄壁圓柱殼軸線的鋪層方式分別為[0]16和[90]16，的復合材料圓柱殼在懸臂梁邊界條件下的一階彎曲模態頻率和阻尼計算結果，并且與文獻[16]中的剪切梁阻尼的有限元結果進行了比較，結構的幾何參數和材料參數均取自文獻[16]。表1中文獻[16]的結果中左邊表示Beam FE結果，右邊表示Damped shell FE結果。可以看出，本文結果和文獻中符合得很好。

基于上述分析，本文針對簡支(SS-SS)，懸臂(C-F)和固支(C-C)三種邊界條件，探討[0/θ2/90]和[±θ]2鋪層下鋪層角度和幾何參數對復合材料圓柱殼的阻尼特性的影響，以下是各邊界條件對應的軸向波數：

簡支-簡支(SS-SS)：sin(kmL)=-1；

固定-自由(C-F)：cosh(kmL)=cos(kmL)=-1；

固定-固定(C-C)：cosh(kmL)=cos(kmL)=1。

圓柱殼的幾何參數如下：圓柱殼中面直徑為d=352 mm，壁面厚度h與圓柱殼長度L是與d成比例的參數。復合材料的材料參數如表2所示。

表1 復合材料圓柱殼的模態阻尼和頻率中面半徑d=352 mm，殼體厚度h=10.16 mm

表2 復合材料性能參數

圖3 不同邊界條件下[0/θ2/90](a)和[±θ]2(b)鋪層圓柱殼第一階彎曲模態阻尼隨鋪層角度的變化曲線(L/d=10，h/d=0.01)

圖3表示復合材料圓柱殼在不同邊界條件下的第一階彎曲模態阻尼隨鋪層角度的變化曲線。結果(a)和(b)表明，對于簡支和懸臂邊界條件，第一階彎曲模態的阻尼在鋪層角度為0°～30°時平緩增加，在30°～60°時劇烈增加，在60°～90°時有一定下降，最大的阻尼發生在鋪層角度為50°～60°的區間，最大的阻尼是最小阻尼的2～3倍；對于固支邊界條件，唯一不同是第一階彎曲模態的阻尼在0°～30°之間減少，直至三條線交于30°。由于面內剪切損耗因子和橫向拉壓損耗因子的影響較大，因此當模態中剪切和橫向拉壓作用較大時，相應的模態損耗因子就會較大，因此圖中最大損耗因子出現在60°左右，這也解釋了(b)的損耗因子大于(a)的原因。根據圖3，在相同的幾何及[0/θ2/90]和[±θ]2的鋪層條件下，約束較弱的邊界條件對應的模態阻尼在不同的角度下表現不同，如0°～30°和60°～90°范圍內約束越弱則損耗因子越小，30°～60°范圍內約束越弱則損耗因子越大。

圖4 不同邊界條件下鋪層圓柱殼第一階彎曲模態阻尼隨長徑比的變化曲線([0/452/90](a)[±45]2(b)，h/d=0.01)

圖4表示復合材料圓柱殼在不同邊界條件下的第一階彎曲模態阻尼隨長徑比L/d的變化曲線。結果(a)和(b)表明，對于圖中所示的邊界條件，第一階彎曲模態的阻尼隨著長徑比L/d的增大而增大，最終趨于一致。在長徑比1

圖5表示復合材料圓柱殼在不同邊界條件下的第一階彎曲模態阻尼隨厚徑比h/d的變化曲線。結果(a)表明，對于圖中所示的邊界條件，第一階彎曲模態的阻尼隨著厚徑比h/d的增大而增大；與(a)相比，(b)中模態阻尼隨著厚度的增加并不明顯。由于厚度增加引起了剪切作用的增加，因此模態損耗因子自然增加。根據圖5，在相同的幾何及鋪層條件下，約束較弱的邊界條件對應的模態阻尼較大，這是因為鋪層角度[0/452/90]和±45]2以及長徑比L/d=20的選擇都在約束越弱則損耗因子越大的范圍內。

圖5 不同邊界條件下鋪層圓柱殼第一階彎曲模態阻尼隨厚徑比的變化曲線([0/452/90](a),[±45]2(b),L/d=20)

4 結 論

本文基于Love’s一階殼理論，運用波動法建立了復合材料圓柱殼結構阻尼分析模型。研究表明，采用本文建立的解析模型和計算方法所獲得的復合材料圓柱殼模態阻尼和固有頻率數值解，與已有的有限元結果基本一致。針對簡支(SS-SS)，懸臂(C-F)和固支(C-C)三種邊界條件，對[0/θ2/90]和[±θ]2鋪層復合材料圓柱殼的阻尼特性的分析表明：

(1)根據本文模型能夠對復合材料圓柱殼的結構阻尼性能進行參數分析，確定影響圓柱殼阻尼特性的主要因素，為進一步改善圓柱殼的阻尼耗散性能提供有用的信息。

(2)纖維鋪層角度，長徑比和厚徑比對圓柱殼的結構阻尼能夠產生顯著的影響。對于本文中的彎曲模態，結構阻尼基本隨著角度的增大先增大后減小，在60°左右達到最大；隨著長徑比的增大而增大，在30°左右趨于一致；隨著厚徑比的增大一直增大。

(3)邊界條件對復合材料圓柱殼的阻尼特性有一定的影響。在相同的鋪層角度和幾何條件下，約束的強弱對結構阻尼也會產生影響。如在鋪層角度為30°～60°，長徑比1～30范圍內，約束越弱則阻尼越大。

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