多自由度裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性分析

于 海, 陳予恕, 曹慶杰

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院,哈爾濱 150001)

裂紋是指材料在應(yīng)力或環(huán)境(或兩者同時(shí))作用下產(chǎn)生的裂隙。 轉(zhuǎn)子是旋轉(zhuǎn)機(jī)械的重要部件，轉(zhuǎn)軸由于材料缺陷、加工缺陷、或者疲勞等原因會(huì)出現(xiàn)裂紋，其潛在危害性與一般故障的危害性相比較要嚴(yán)重得多，因此轉(zhuǎn)軸裂紋故障的研究特別引起工程界的重視。自從六十年代末期在汽輪機(jī)軸上發(fā)現(xiàn)裂紋以來，各國學(xué)者紛紛開展裂紋轉(zhuǎn)子振動(dòng)特性的研究工作。最簡(jiǎn)單的裂紋轉(zhuǎn)子模型是Jeffcott 裂紋轉(zhuǎn)子,并假設(shè)裂紋產(chǎn)生在轉(zhuǎn)盤根部。這種簡(jiǎn)單的單盤轉(zhuǎn)子模型略去了陀螺效應(yīng)和支承彈性 ,方便了數(shù)學(xué)處理,計(jì)算所得結(jié)論揭示了裂紋轉(zhuǎn)子振動(dòng)的最基本特征,因而大部分研究者[1-3-8]都采用這一模型。在這基礎(chǔ)上,有的研究者開始考慮支承(彈性支承[9],油膜軸承[10-12]) 和多條裂紋[13-14]的影響,試圖對(duì)更一般的模型進(jìn)行研究，深入探求裂紋轉(zhuǎn)子的振動(dòng)特性。另外，一些學(xué)者先用有限元法[15-17-19]、傳遞矩陣法[20-21]以及能量原理結(jié)合假定模態(tài)法[7，21]對(duì)裂紋轉(zhuǎn)子狀態(tài)空間離散化,然后對(duì)時(shí)間直接積分,得到裂紋故障系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。朱厚軍等[22]分析了剛性支承Jeffcott裂紋轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)軸渦動(dòng)時(shí)的耦合振動(dòng)。Seklar[23]研究了剛性支承裂紋轉(zhuǎn)子通過臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的瞬態(tài)特征。Tsai[24]在對(duì)裂紋轉(zhuǎn)子的文獻(xiàn)作了大量調(diào)查的基礎(chǔ)上, 并用傳遞矩陣法研究了具有橫向裂紋的剛支轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性。Gasch[25]對(duì)具有橫向裂紋的單盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的一些研究成果進(jìn)行了總結(jié)和分析；楊積東等[26]對(duì)裂紋擴(kuò)展過程進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真，發(fā)現(xiàn)裂紋引入的非線性因素將對(duì)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生重大影響。褚福磊等[27]對(duì)裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中現(xiàn)有的幾種剛度模型進(jìn)行簡(jiǎn)略的總結(jié)后，提出兩種新的確定剛度的方法。曾復(fù)等[28]研究了單盤剛性支撐轉(zhuǎn)子的分岔現(xiàn)象。何成兵等[29]研究了裂紋轉(zhuǎn)子彎扭耦合振動(dòng)的非線性特性分析。這些文獻(xiàn)對(duì)裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力特性進(jìn)行了研究，獲得了一些非常有價(jià)值的結(jié)論，但多采用較簡(jiǎn)單的支撐(集中于剛性支承或是線性油膜軸承)和單盤轉(zhuǎn)子，且很少對(duì)于滑動(dòng)油膜支撐的多盤非線性含裂紋轉(zhuǎn)子的二分之一亞諧共振進(jìn)行分析。

POD(Proper Orthogonal Decomposition)方法最早是由Loeve(1945)和Karhunen (1946)處理信號(hào)時(shí)提出來的，隨著計(jì)算工具的發(fā)展，正交模態(tài)分解技術(shù)(POD) 已經(jīng)在各個(gè)領(lǐng)域有了廣泛的應(yīng)用[30-31]。近些年來，一些學(xué)者將其應(yīng)用到簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力系統(tǒng)降維中[32-33]，雖然有一定效果，但降維后系統(tǒng)仍保留了較高的自由度數(shù)，無法應(yīng)用現(xiàn)有的分岔理論對(duì)之進(jìn)行理論分析。

本文目的是利用現(xiàn)有分岔理論,通過引入新的降維方法,實(shí)現(xiàn)對(duì)高維裂紋故障轉(zhuǎn)子的非線性動(dòng)力學(xué)特性的理論分析。利用拉格朗日原理建立了具有26個(gè)自由度的含有裂紋故障的高維非線性動(dòng)力學(xué)模型。為實(shí)現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行分岔理論分析，引進(jìn)改進(jìn)的POD方法成功將高維非線性系統(tǒng)降為兩自由度等效的非線性系統(tǒng)。數(shù)值模擬結(jié)果顯示降維系統(tǒng)具有與原系統(tǒng)一致的非線性動(dòng)力學(xué)特征；進(jìn)而利用C-L方法對(duì)其進(jìn)行分岔分析，討論了系統(tǒng)參數(shù)與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為之間的關(guān)系，得到了裂紋轉(zhuǎn)子各種不同分岔模式，得到了裂紋二分之一亞諧共振條件下的非線性動(dòng)力學(xué)特征。該結(jié)果對(duì)高維轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的裂紋故障診斷及其治理，以及非線性動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)有一定指導(dǎo)意義。

1 含裂紋故障系統(tǒng)建模

1.1 裂紋模型

圖1 裂紋截面示意圖

圖1是裂紋截面示意圖，a為裂紋深度，β為不平衡量與裂紋法向之間夾角，R為轉(zhuǎn)軸半徑。設(shè)裂紋法向與x軸初始夾角為0。在考慮重力占優(yōu)的情況下，裂紋開閉函數(shù)f(φ)可描述為轉(zhuǎn)角ωt的函數(shù)[34]，若k為轉(zhuǎn)軸的裂紋剛度，Δkξ， Δkη分別為裂紋法向和切向剛度變化量，則含裂紋轉(zhuǎn)軸的剛度為：

其中:

1.2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型與建模

考慮裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，圖2為該模型的示意圖，假設(shè)在如圖位置處發(fā)生裂紋， 轉(zhuǎn)子兩端是由兩個(gè)相同的滑動(dòng)軸承支撐，Oi(i=1,…,13)是轉(zhuǎn)盤的幾何中心;mi(i=1,…,13)是轉(zhuǎn)盤的等效質(zhì)量；ci(i=1,…,13)是等效阻尼；ki(i=1,…,13)是轉(zhuǎn)軸的等效剛度。

根據(jù)拉格朗日方程的建模方法，得到系統(tǒng)方程和無量綱化后的方程(見式(1)與式(2))，

利用：

可得無量綱化后的系統(tǒng)方程：

(2)

其中在x和y方向的非線性油膜力表達(dá)式為：

式中

為方便計(jì)算討論，將多自由度非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可以寫為：

(4)

為對(duì)(4)式進(jìn)行數(shù)值求解，取系統(tǒng)的參數(shù)的計(jì)算數(shù)值如下：

圖2 26自由度裂紋轉(zhuǎn)子模型

2 系統(tǒng)降維

2.1 降維系統(tǒng)

我們采取以下步驟對(duì)26個(gè)自由度含裂紋故障系統(tǒng)進(jìn)行降維：

(1) 調(diào)整含裂紋故障系統(tǒng)的參數(shù)，使得系統(tǒng)分岔圖呈規(guī)律性模式(如圖3(a))；

(5)

(3) 在給定初始條件和轉(zhuǎn)速下，通過實(shí)驗(yàn)或者數(shù)值仿真，獲取系統(tǒng)(5)各個(gè)自由度的過渡過程位移信息，記為z1(t),z2(t),…,zM(t),其中每個(gè)自由度產(chǎn)生的N個(gè)點(diǎn)等時(shí)間間隔位移序列，記為zi=(zi(t1),zi(t2),…,zi(tN))T,i=1,…,M，這些時(shí)間序列可形成矩陣χ=[z1,z2,…,zM]，χ為N×M階。計(jì)算自相關(guān)矩陣T=χTχ。求出其特征向量為φ1,φ2,…,φM，對(duì)應(yīng)的特征值為λ1>λ2>…>λM。

圖3 在給定初始條件下時(shí)間歷程圖

(4) 設(shè)T=χTχ的前n階特征向量組成矩陣V對(duì)系統(tǒng)坐標(biāo)Z進(jìn)行坐標(biāo)變換，獲得一組新坐標(biāo)P，Z=VP，帶入方程(5)：

(6)

兩端左乘(VTV)-1VT：

(7)

設(shè)

CR=(VTV)-1VTCV,KR=(VTV)-1VTKV
FR=(VTV)-1VTF

則有：

(8)

方程(8)即為降維后系統(tǒng)。

2.2 本文模型降維系統(tǒng)

通過圖3可以看出，系統(tǒng)在給定初始條件下，0-6π時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)處于過渡過程，按照3.1節(jié)中的步驟，獲得的坐標(biāo)變換矩陣為

按2.1節(jié)步驟,可獲得降維系統(tǒng)的方程為

(9)

3 降維效果比較

圖4給出原系統(tǒng)與降維系統(tǒng)分岔圖的對(duì)比。從對(duì)比可以看出降維系統(tǒng)基本保持原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，尤其較好的保留了原系統(tǒng)二分之一亞諧故障特性，得到較好的降維效果。

圖4 分岔圖(a) 原故障系統(tǒng)系統(tǒng) (b)降維系統(tǒng)

4 C-L方法

4.1 二分之一亞諧共振

(10)

式中

(11)

(12)

并取如下坐標(biāo)平移公式

(13)

則方程(9)可化為

(14)

其中

其中，A1，A2，θ1，θ2為時(shí)間t的慢變函數(shù)。

采用平均法，得到平均方程：

令等號(hào)右端等于0，忽略掉小項(xiàng),消去θ1，θ2，可得分岔方程

F7=0
F8=0

(15)

4.2 二分之一亞諧共振模式分析

為進(jìn)一步討論原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，全面分析系統(tǒng)參數(shù)與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的關(guān)系，參照C-L方法，選取裂紋影響系數(shù)α與裂紋轉(zhuǎn)盤處無量綱阻尼c2，其兩個(gè)狀態(tài)變量的轉(zhuǎn)遷集為[34]：

表1 α—c2平面分岔情形

圖5 α-c2轉(zhuǎn)遷集

本文首次利用C-L方法對(duì)降維后兩個(gè)自由度含裂紋故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行分岔分析，討論了系統(tǒng)參數(shù)與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為之間的關(guān)系，得到了二分之一亞諧共振附近系統(tǒng)不同的分岔模式(見表1)。從圖中，系統(tǒng)在系統(tǒng)二分之一亞諧共振處，隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化，存在分岔、滯后等復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，進(jìn)而反映了實(shí)際系統(tǒng)可能出現(xiàn)的各種復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。該分析為26個(gè)自由度含裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化及設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)。

5 結(jié) 論

本文研究了含裂紋故障的某低轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)行為，根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)建模后，引入改進(jìn)的POD方法成功將26個(gè)自由度系統(tǒng)降維為2個(gè)自由度等效模型，通過數(shù)值對(duì)比，說明降維方法的有效性，為實(shí)際大型系統(tǒng)的降維提供一條途徑。為研究該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，利用C-L方法對(duì)降維后系統(tǒng)進(jìn)行分岔分析，討論了系統(tǒng)參數(shù)與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為之間的關(guān)系，得到了裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)二分之一亞諧共振附近系統(tǒng)不同的分岔模式，為轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的裂紋故障診斷及其治理，以及非線性動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

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