高速列車引起地基振動分數階模型

周星德，吳利平，曾 鵬，韓婷婷，林榮庚

(河海大學 土木與交通學院，南京 210098)

對因列車速度提高導致地面動力反應明顯增大的研究有理論分析與有限元仿真兩種方式。前者基于半空間假設，用Fourier變換[1]、Green函數[2-3]及分層地基土波動理論[4]確定地面反應。后者因適合復雜非線性分析，如板式無砟軌道-路基結構[5]、鋼軌焊接接頭引起的輪軌沖擊[6]等仿真。而計算量過大則隨2.5維有限元法[7]的出現獲得較大緩解。

通常的導數如一階、二階導數等，其階次為整數，而對階次為分數的導數卻采用較少，如1.2階導數，整數僅為分數的子集，將分數階用于模型構建適用范圍更廣。王在華等[8]已嚴格證明介于0～2之間的任意階導數均可表示阻尼。初始研究設阻尼為分數階阻尼[9]進行動力分析，分數階阻尼有三種形式，即分形、分數階及正定分數階阻尼[10]，分數階次可通過試驗或基于動力反應統計值確定[11]，目前已經推廣至粘彈性本構模型。但分數階阻尼研究剛起步，可借鑒文獻較少。

1 仿真模型

本文采用有限元方法進行仿真，借鑒文獻[12]處理方式，將軌道-道床簡化為簡支梁(簡稱軌道)，采用梁單元模擬；地基土為成層粘彈性土半空間體，用四邊形單元模擬。軌道運動方程為

(1)

式中：Mr，Cr，Kr分別為軌道質量、剛度、阻尼2nr×2nr維矩陣；Fr為車輪作用荷載，2nr×1維矢量；Fs為軌道-地基土接觸面荷載，地基僅能提供豎向反力；Yr為軌道節點位移矢量包含豎向位移與轉動位移，Fs，Yr均為2nr×1維矢量。分別表示為

(2)

式中：P為接觸面處地基豎向反力；01為零矢量；下標W，φ分別為節點豎向、轉動分量，即YW,Yφ分別為節點豎向、轉動位移。所有矢量均為nr×1維矢量。

采用靜凝聚法消去轉動自由度，令：

KrYr=Fr-Fs

(3)

式(3)可按YW,Yφ進行分塊，即：

(4)

令(Fr-Fs)φ=01，由式(4)第二式，得：

(5)

(6)

將式(6)代入式(1)，并左乘TT，得：

(7)

對土體采用四邊形單元建立運動方程：

(8)

式中：Ms，Cs，Ks分別為軌道質量、剛度及阻尼ns×ns維矩陣；Ys為ns×1維節點位移矢量；02為(ns-nr)×1維零矢量。

由式(7)、(8)消去P，質量、剛度、阻尼矩陣按對應位置疊加得：

(9)

(10)

2 土體分數階模型

實測數據[13]見圖1、圖2，圖中模量衰減、阻尼曲線均由動力三軸試驗獲得。其中點劃線為粘土，虛線為基礎，實線為有機土。該曲線可提供等效線性材料參數。

本文采用Riemann-Liouville微積分定義，對初值為零的b階導數，可表示為

(11)

式中：b為分數階階次，n-1

阻尼比與應變關系曲線可采用Binghamton模型[11]構建，并將其擴展為含分數階形式，即

(12)

(13)

代入式(12)，得：

(14)

式(14)中未知參數可通過線性回歸模型進行確定，考慮動應變小于0.3%，本文以[0 0.3]%為區間進行擬合，在此區間內，粘土與基礎近似相等(圖1)，可用直線擬合。實測數據用‘*’號(粘土與基礎)與‘+’ (有機土)表示，擬合數據用實線表示，見圖3。

粘土與基礎擬合結果為

(15a)

有機土擬合結果為

(15b)

由式(15)可確定分數階次，不同土體具有不同階次。因計算難度較大，故借助能量守恒原理，本文定義廣義耗能指標E為

(16)

需事先指定等效分數階次a，本文建議取各分數階次平均值為初值，取a=1.192，通過數值積分方式可確定粘土與基礎等效阻尼比及有機土等效阻尼比為

(17)

圖1 土體應變與阻尼比關系曲線

3 動力反應

式(10)為解耦方程，含r個單自由度系統。引入分數階后可表示為

(i=1,2,…,r)

(18)

對式(18)進行Laplace變換得：

(19)

對式(19)中分數階sα可用濾波器近似，此處用Oustalop算法，擬合頻率段為(ωl,ωh)，則構造濾波器傳遞函數為

(20)

式中：N為所選整數，2N+1為濾波器階次；其余參數見文獻[15]。

此時，用Gf(s)代替sα得Gi(s)：

(21)

式中：ni為正整數。

將式(21)轉換為狀態方程：

(22)

式(22)可組裝為整體狀態方程：

(23)

4 實例分析

為驗證本文方法的可行性，以具有測試數據的瑞典X2000高速旅客列車為對象進行仿真分析。列車荷載見圖4，車速取70 km/h，200 km/h；抗彎剛度EI分別為200 MN/m2，80 MN/m2；單位長度質量m=10 800 kg/m，土體參數見附表1，其中，阻尼比采用式(16)變換結果。

F1=363 kN F2=360 kN F3=245 kN F4=235 kN F5=320 kN

仿真分析所用軌道長度400 m，單元長度2 m，土體分14層，除頂層高度1.1 m外，其余均1.5 m，其中最下四層為半空間層。用濾波器在頻域內近似時，選N=4，濾波器階數為9，擬合頻率段為(0,1 000) rad/s。以軌道中點為測試點，采用整數階模型進行仿真。限于篇幅，僅繪制一幅。圖5中藍線為仿真結果，紅線為測試結果，二者誤差較大。

車速在70 km/h與200 km/h時用本文方法對測試點進行仿真。仿真與試驗結果見圖6、圖7，由二圖看出，采用分數階模型仿真結果與測試結果一致性較好。

5 結 論

針對列車所致地基振動，本文提出分數階模型，采用曲線擬合法確定分數階次，并提出等效阻尼概念及采用能量守恒原理確定其值方法。仿真結果顯示，利用有限元方法計算，分數階模型計算結果與實測數據吻合性更好。整數僅為實數的一個子集。分數階模型能更好反映實際情況。

圖5 V=200 km/h跨中位移響應(整數階模型)

[1]曹志剛，蔡袁強，孫宏磊，等. 一種高速列車引起的地基振動解析解[J]. 工程力學，2011，28(10)：250-256.

CAO Zhi-gang, CAI Yuan-qiang, SUN Hong-lei, et al. An analytical solution to train-induced ground vibration[J]. Engineering Mechanice, 2011, 28(10): 250-256.

[2]Kausel E, Peek R. Dynamic loads in the interior of a layered stratum: an explicit solution[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 1982,72(5): 1459-1481.

[3]Kargarnovin M H, Younesian D, Thompson D J, et al. Response of beams on nonlinear viscoelastic foundations to harmonic moving loads[J]. Computers and Structures, 2005, 83 (23/24): 1865-1877.

[4]曹艷梅,夏禾,陳建國. 運行列車引起地面振動的理論模型及振動特性分析[J].振動工程學報,2009,22(6):589-596.

CAO Yan-mei, XIA He, CHEN Jian-guo. Theoretical model and characteristic analysis of moving train induced ground vibration[J].Journal of Vibration Engineering, 2009,22(6): 589-596.

[5]馬學寧，梁波，高峰. 高速鐵路板式無砟軌道-路基結構動力特性研究[J]. 鐵道學報，2011，32(2)：72-78.

MA Xue-ning, LIANG Bo, GAO Feng. Study on the dynamic properties of slab ballastless track and subgrade structure on high-speed railway[J]. Journal of the China Railway Society, 2011, 32(2): 72-78.

[6]楊新文,翟婉明,和振興.高速列車通過鋼軌焊接接頭時引起的輪軌沖擊噪聲的研究[J].振動與沖擊,2011,30(7):143-147.

YANG Xin-wen, ZHAI Wan-ming, HE Zhen-xing. Wheel /rail impact noise generation due to high speed train passing over rail weld joints [J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(7): 143-147.

[7]邊學成，陳云敏. 基于2.5維有限元方法分析列車荷載產生的地基波動[J]. 巖石力學與工程學報,2006,25(11):2335-2342.

BIAN Xue-cheng, CHEN Yun-min. Ground vibration generated by train moving loadings using 2.5D finite element method[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2006, 25(11): 2335-2342.

[8]王在華，胡海巖. 含分數階導數阻尼的線性振動系統的穩定性[J]. 中國科學G輯，2009, 39(10)：1495-1502.

WANG Zai-hua, HU Hai-yan. Stability of a linear oscillator with damping force of fractional-order derivative[J]. Sci China Ser G,2009, 39(10): 1495-1502.

[9]劉林超，蘇子平. 分數階黏彈性土層中分數階三維軸對稱樁的豎向振動[J]. 應用力學學報,2011,28(5):486-492.

LIU Lin-chao, SU Zi-ping. Vertical vibration of pile in soil in three-dimensional axis-symmetry model based on fractional derivative viscoelastic constitutive relationship[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2011, 28(5): 486-492.

[10]張曉棣，陳文. 三種分形和分數階導數阻尼振動模型的比較研究 [J]. 固體力學學報，2009,30(5)：496-503.

ZHANG Xiao-di, CHEN Wen. Comparison of three fractal and fractional derivative damped oscillation models[J]. Chinese Journal of Solid Mechanics, 2009,30(5):496-503.

[11]Gao Hua-xi, Wen Min-jie, Li Rong-xin. Frequency response of a fractional derivative viscoelastic type lined tunnel with partial sealing[J]. Advanced Materials Research, 2012, 368/373: 2692-2697.

[12]Kaynia A M, Madshus C, Zackrisson P. Ground vibration from high-speed trains: prediction and countermeasure[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 2000, 126(6): 531-537.

[13]Oustaloup A, Levron F. Frequency-band complex noninteger differentiator: characterization and synthesis[J]. IEEE Transaction on Circuit and Systems-I：Fundamental Theory and Applications,2000,47(1):25-39.