非線性轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型研究

何洪軍，荊建平

(上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院,上海 200240)

大功率、大轉(zhuǎn)速汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)子的微小撓動(dòng)或偏心均會(huì)對(duì)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生較大影響，尤其氣流力對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)影響更大。密封特性為影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的重要因素，對(duì)密封氣流激振力精確描述較關(guān)鍵。Thomas等[1]基于葉輪局部效率損失提出間隙激振概念，認(rèn)為間隙氣體激振力為因轉(zhuǎn)子在間隙中偏置所致，稱此力為Alford 力，并獲得線性Alford；Muszynska在文獻(xiàn)[1]基礎(chǔ)上提出的Muszynska密封力模型為非線性模型，但經(jīng)研究、實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)該模型對(duì)較大偏心不適用；Iwatsubo[2]提出控制體概念解釋密封實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，通過控制體連續(xù)方程及周向動(dòng)量方程定義迷宮密封腔內(nèi)流體平均(總體流動(dòng))周向流速，通過泄漏方程定義軸向流速。該模型考慮周向流動(dòng)因素，為單控制體模型(One-Contro-Volumemodel)[3-5]。Childs等補(bǔ)充考慮間隙面積變化情形，修正并完善單控制體模型。諸多研究對(duì)單控制體模型進(jìn)行各種修正，以適應(yīng)不同用途。但實(shí)驗(yàn)研究表明，單控制體模型不能準(zhǔn)確描述迷宮密封內(nèi)流體流動(dòng)狀況。為更準(zhǔn)確反映密封腔內(nèi)流場(chǎng)流動(dòng)特性，自Wyssmann提出雙控制體模型(Two-Control-Volume Model)理論后Childs等[4,11-13]針對(duì)雙控體控制模型進(jìn)行過諸多相關(guān)研究。但大多針對(duì)密封力模型的相關(guān)研究均停留于對(duì)Muszynska模型、雙控制模型的運(yùn)用。為此，本文基于雙控制體模型與轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程提出新的密封力非線性模型[6-9]。采用該模型通過繪制轉(zhuǎn)子軌跡圖、龐加萊圖、分岔圖研究轉(zhuǎn)子密封系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特征，結(jié)合實(shí)驗(yàn)證明所提方法的正確性。

1 模型建立

本文所提方程控制模型基于雙控體模型、轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程建立并經(jīng)推導(dǎo)、修正而獲得密封力動(dòng)力學(xué)模型。

1.1 雙控制體模型

圖1 密封結(jié)構(gòu)

據(jù)連續(xù)性方程、動(dòng)量方程可得雙控體模型的三個(gè)控制方程為

(1)

(2)

(3)

將上述控制方程無量化得：

μ3μ4qs(f1-fs)-μ2fj+fs=0

(4)

(2μ9+1)fs=0

(5)

(6)

1.2 模型建立

為簡化計(jì)算，將f1,f2,p傅里葉展開：

K=K0+Ki1cosθ+Ki2sinθ+Ki3cos(2θ)+Ki4sin(2θ)

結(jié)合攝動(dòng)法、伽遼金法得無量綱化殘差表達(dá)式：

(7)

(8)

(9)

式中：G1,G1c,G1s,G2,G2c,G2s,G3,G3c,G3s為不含τ的偏導(dǎo)項(xiàng)殘差積分部分。

結(jié)合轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程：

(10)

得：

(11)

式中：ε為偏心比；Fac,Fas,Fbc,Fbs分別為密封力軸向、徑向分量；p1,p2,p3,p4為腔室壓力分量；a,b為橢圓長、短軸。

據(jù):

(12)

得密封力模型表達(dá)式：

(13)

式(13)即新的密封力模型，稱為方程控制模型。其推導(dǎo)過程涉及傅里葉變換、展開，攝動(dòng)法、伽遼金法、高斯公式運(yùn)用以及轉(zhuǎn)、定子與氣流間耦合作用，可更準(zhǔn)確討論密封系統(tǒng)特征。用該模型利用龍格庫塔法迭代即可得相應(yīng)的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)特征。

2 數(shù)值仿真分析

圖3 不同轉(zhuǎn)速下分岔圖

轉(zhuǎn)子中心分岔圖見圖3。由圖3看出，系統(tǒng)響應(yīng)隨無量化角速度S的變化而變化，開始表現(xiàn)為周期性、穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)。因主Floquet乘子模小于1，無量化角速度S=0.9、主Floquet乘子模為1.074大于1時(shí)周期解失穩(wěn)、分岔。故系統(tǒng)的穩(wěn)定性與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速關(guān)系密切。分岔圖主要考慮轉(zhuǎn)子位移與轉(zhuǎn)速間關(guān)系。為研究轉(zhuǎn)子隨轉(zhuǎn)速變化特征，本文采用無量綱化角速度S與轉(zhuǎn)子軸心位移間變化關(guān)系。

逐漸提高無量綱化角速度，可得同步不穩(wěn)定的周期性運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)loquet乘子在復(fù)平面單位圓沿副實(shí)軸穿出單位圓，周期運(yùn)動(dòng)發(fā)生倍周期分岔，系統(tǒng)響應(yīng)分岔為倍周期運(yùn)動(dòng)。圖4為無量綱化角速度S=1.4時(shí)穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)。其Floquet 乘子為：(-0.343 9+0.701 1i; -0.343 9-0.701 1i;-0.001 2+0.008 4i;-0.001 2-0.008 4i)。S=3.1時(shí),相應(yīng)Floquet乘子有一個(gè)為-1，模等于1，在該點(diǎn)周期運(yùn)動(dòng)失去穩(wěn)定性，進(jìn)入倍周期運(yùn)動(dòng)，并在龐加萊圖上存在兩獨(dú)立點(diǎn)，見圖5。說明轉(zhuǎn)子密封系統(tǒng)半頻轉(zhuǎn)速將發(fā)生在該轉(zhuǎn)速附近。

圖4 S=1.4時(shí)周期性運(yùn)動(dòng)

圖5 S=3.1時(shí)倍周期運(yùn)動(dòng)

圖7 S=3時(shí)1/3亞諧運(yùn)動(dòng)

無量綱化角速度繼續(xù)增加，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)更復(fù)雜。S>3.4時(shí)進(jìn)入準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)Floquet乘子(-1.049 36；-0.068 68+0.006 31i；-0.068 68-0.006 31i； 0.914 85)最大Floquet乘子的模超過單位圓區(qū)域，其龐加萊圖為一條封閉曲線，見圖6。

研究轉(zhuǎn)子軸心軌跡主要探討所推數(shù)學(xué)模型在不同轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)子半徑、不同預(yù)旋速度、不同間隙等參數(shù)軌跡的變化特征。本文用頻閃法研究龐加萊圖，每個(gè)周期取一個(gè)點(diǎn)繪制龐加萊圖，以探究轉(zhuǎn)子密封系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速、不同預(yù)旋速度變化特征。隨轉(zhuǎn)速的增大即無量綱化角速度S的增大，1/3、1/4諧波運(yùn)動(dòng)相應(yīng)出現(xiàn)，見圖7、圖8。本文用方程控制模型分析轉(zhuǎn)子不同轉(zhuǎn)速的運(yùn)動(dòng)知，在不同轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)表現(xiàn)出不同的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象及特征。

3 結(jié) 論

基于雙控制模型、轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程提出新的非線性密封力模型即方程控制模型，探究非線性轉(zhuǎn)子密封系統(tǒng)不平衡響應(yīng)。分析不同轉(zhuǎn)速下分岔圖、軸心軌跡圖、龐加萊圖獲得轉(zhuǎn)子密封系統(tǒng)特征。并用Floquet乘子分析轉(zhuǎn)子密封系統(tǒng)在不同條件下的穩(wěn)定性，結(jié)論如下：

(1) 通過所提模型分析不同轉(zhuǎn)速時(shí)轉(zhuǎn)子密封系統(tǒng)各運(yùn)動(dòng)特征即單周期、倍周期、準(zhǔn)周期及各類亞諧運(yùn)動(dòng)；

(2) 通過Floquet乘子討論轉(zhuǎn)子密封系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速下的穩(wěn)定性。

[1]Kwanka K.Improving the stability of labyrinth gas seals[J]. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power,2001, 123(2):383-387.

[2]Muszynska A.Stability of whirl/whip in rotor/bearing systems[J].Journal of Sound and Vibration,1988,127(1): 508-513.

[3]Yucel U.Effects of labyrinth seals on the stability of rotors [M]. PhD Thesis,Lehigh University,Bethlehem,PA,USA, 2000.

[4]Childs D W.Dynamic analysis of turbulent annular seals based on Hirs lubrication[J].Journal of Lubrication Technology, 1983,105:429-439.

[5]AndresL A S.Dynamic force and moment coefficients for short length annular seals[J]. Journal of Tribology, 1993, 115(1):61-70.

[6]Wanka K K.Dynamic coefficients of stepped labyrinth gas seals [J].Journal of Engineering for Gas Turbine and Power, 2000, 122(3):.473-477.

[7]Eser D.Rotordynamic coefficients in stepped labyrinth seals [J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2002, 191(29-30):3127-3135.

[8]Ding Q.Hopf bifurcation analysis of a rotor/seal system[J]. Journal of Sound and Vibration, 2002, 252(2):817-833.

[9]Sundarajan P, Noah S T.An algorithm for response and stability of large order nonlinear systems-application to rotor system[J].Journal.Sound and Vibration,1998,214(4):695-723.

[10]Jing Jian-ping, Meng Guang,Sun Yi,et al.On the non-linear dynamic behavior of a rotor-bearing system[J]. Journal of Sound and Vibration, 2004, 274(3-5): 1031-1044.

[11]陳佐一.流體激振[M].北京:清華大學(xué)出版社,1998.

[12]聞邦椿,顧家柳,夏松波,等.高等轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)[M].機(jī)械工業(yè)出版社,2000.

[13]肖忠會(huì)．轉(zhuǎn)子-軸承-密封系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模及其特性研究[D].上海:復(fù)旦大學(xué),2006．