彈性約束輪對系統(tǒng)隨機可靠性研究

劉偉渭，戴煥云

(1.西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，成都 610031;2.西南交通大學 峨眉校區(qū)機械工程系，四川 峨眉 614200)

隨機穩(wěn)定性理論研究純隨機參激下動力學系統(tǒng)狀態(tài)在半無限長時間內(nèi)保持于某平衡點鄰域的概率或統(tǒng)計特性。系統(tǒng)受純隨機參激不穩(wěn)定或受隨機外激時(系統(tǒng)恒不穩(wěn)定)在較大范圍內(nèi)作隨機運動。實踐中，常需獲取系統(tǒng)狀態(tài)停留于相空間中某區(qū)域(如動力學系統(tǒng)平衡點的吸引域，結(jié)構(gòu)性能允許域或安全域)概率或統(tǒng)計特性。對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)而言，系統(tǒng)狀態(tài)停留在安全域內(nèi)的概率即為可靠性，系統(tǒng)狀態(tài)首次越出安全域則意味損壞，系統(tǒng)狀態(tài)首次穿越安全域邊界的時間即為壽命。顯然，研究隨機動力學系統(tǒng)的首次穿越具有重大理論與實際意義。本文研究彈性約束輪對系統(tǒng)在軌道隨機激勵及結(jié)構(gòu)自身參激作用下穩(wěn)定性被破壞后輪對系統(tǒng)發(fā)生的動力學行為。

1 彈性約束輪對隨機模型建立

軌道車輛為多剛體多自由度非線性系統(tǒng)，其非線性動力學行為較復雜，常采用簡化的輪對模型進行理論研究[1-3]。建立彈性約束輪對隨機幾何模型見圖1。

圖1 彈性約束輪對隨機幾何模型

對圖1隨機幾何模型建立Lagrange方程

(1)

式中：ω(t)為均值0強度2D的高斯白噪聲；β1，β2，β3為控制參數(shù)。各參數(shù)定義見表1。

表1 各參數(shù)含義及數(shù)值

式(1)兩邊分別除以m，I有

(2)

(3)

式中：q1，q2為廣義位移；P1，P2為廣義動量。

(4)

系統(tǒng)Hamilton函數(shù)(廣義能量)為

(5)

則式(1)的Hamilton方程為

(6)

(7)

(8)

將式(6)代入式(8)：

(9)

積分式(9)可得漂移、擴散系數(shù)分別為

(10)

2 彈性約束輪對隨機全局穩(wěn)定性分析

擴散過程在邊界的性態(tài)很大程度上可決定整個擴散過程性質(zhì)。尤其對一維擴散過程，其概率漸近穩(wěn)定性與平穩(wěn)概率密度的存在性可完全由該過程在邊界的性態(tài)確定。一維隨機擴散過程邊界性態(tài)能決定全局概率漸近穩(wěn)定性，對受隨機軌道激勵及參激的彈性約束輪對系統(tǒng)而言，含兩奇異邊界形態(tài)，即左邊界H→0與右邊界H→+∞。

2.1 β3≠0

(11)

漂移、擴散指數(shù)及特征標值分別為

(14)

左邊界H→0為進入邊界，解曲線由系統(tǒng)左邊界進入系統(tǒng)內(nèi)部，系統(tǒng)形態(tài)在左邊界處不穩(wěn)定；右邊界H→+∞為進入邊界，解曲線由系統(tǒng)右邊界進入系統(tǒng)內(nèi)部，系統(tǒng)形態(tài)在右邊界處亦不穩(wěn)定，見圖2。

圖2 解曲線對系統(tǒng)全局穩(wěn)定性影響示意圖

2.2 β3=0

(15)

漂移、擴散指數(shù)及特征標值分別為

(16)

(17)

漂移、擴散指數(shù)及特征標值為

(18)

由此，右邊界H→+∞為進入邊界，解曲線由系統(tǒng)右邊界進入系統(tǒng)內(nèi)部；cl>1時左邊界H→0為排斥自然的；cl=1時為嚴格自然的；cl<1時為吸引自然的。若左邊界為吸引自然的，則在系統(tǒng)狀態(tài)空間中，位于狀態(tài)空間內(nèi)部所有解曲線均將漸近收斂到左邊界處，即系統(tǒng)平凡解處穩(wěn)定，當參數(shù)滿足該條件時即為隨機全局穩(wěn)定性條件。見圖3。

圖3 特征標值變化對系統(tǒng)全局穩(wěn)定性影響示意圖

3 彈性約束輪對隨機可靠性分析

隨機振動系統(tǒng)可靠性可用諸多指標度量，包括可靠性函數(shù)、首次穿越損壞概率密度函數(shù)及首次穿越時間均值等。其中可靠性函數(shù)定義為系統(tǒng)在時間區(qū)間[0,t]內(nèi)無損壞工作概率[7-10]。

(19)

(20)

安全域(Hmin,Hc)有兩個邊界，右邊界Hc為吸收邊界，條件為

(21)

(22)

(23)

(24)

記過程首次到達邊界Γ的時間即首次穿越時間(壽命)為T，則其條件概率密度為

(25)

圖4 可靠性函數(shù)

在含隨機外激時，β3≠0，由式(11)～式(14)分析知H=0為第一類奇點-流動點。H=0為進入邊界，系統(tǒng)平凡解概率不穩(wěn)定。此時系統(tǒng)初始、邊界條件分別由式(20)、(21)、(23)決定。

比較圖4、圖6看出，存在軌道隨機不平順激勵時，同一能量等級條件下系統(tǒng)可靠性函數(shù)隨時間的推移減小更快；比較圖5、圖7看出，最可能發(fā)生首次穿越時間點二者區(qū)別不大，但存在軌道隨機激勵時該時間點發(fā)生的概率更大，系統(tǒng)更易破壞。

首次穿越時間各階統(tǒng)計矩定義μk+1(H0)=E(Tk+1)滿足GP方程(廣義Pontryagin方程)

(26)

k=1,式(26)變?yōu)槊枋鰧嵺`中最感興趣的平均首次穿越時間的Pontryagin方程

(27)

由圖8(a)看出，平均首次穿越時間為初始幅值的單調(diào)遞減函數(shù)。初始狀態(tài)越靠近穿越邊界，系統(tǒng)發(fā)生首次穿越越快，平均首次穿越時間越短。由圖9(b)看出，在隨機軌道激勵作用下，平均首次穿越時間越短，表明系統(tǒng)停留在安全域內(nèi)的時間越短，系統(tǒng)可靠性越差。

圖8 系統(tǒng)首次穿越平均時間

4 結(jié) 論

考慮軌道外激、自身參激實際情況，建立彈性約束輪對系統(tǒng)隨機模型，并通過擬不可積 Hamilton 系統(tǒng)隨機平均法將系統(tǒng)廣義能量表示為一維 It擴散過程。在此基礎(chǔ)上用奇異邊界理論研究系統(tǒng)全局穩(wěn)定性，并利用可靠性函數(shù)及首次穿越概率密度函數(shù)，結(jié)合初始、邊界條件給出首次穿越問題提法，研究系統(tǒng)可靠性及最有可能破壞時刻，即首次穿越安全域邊界時刻。結(jié)論如下：

(1) 系統(tǒng)能量初值越大或軌道外激越大，可靠性下降越快，且首次穿越概率密度峰值越高，對應(yīng)時刻越早，破壞可能性變大，破壞提前出現(xiàn)，系統(tǒng)失穩(wěn)后在某時刻最危險，并非時間越長系統(tǒng)越危險。即當能量達到系統(tǒng)儲蓄極限的脫軌能量時,系統(tǒng)并非立刻發(fā)生脫軌行為，但隨運行時間的推移,最終均會發(fā)生脫軌；且外部增加能量越多，發(fā)生脫軌時間越短，發(fā)生概率增大。

(2) 應(yīng)對車輛橫向振動能量進行監(jiān)測、控制，使其維持在脫軌能量或失穩(wěn)能量以下，并使系統(tǒng)耗散能力始終大于系統(tǒng)所增能量，以保障軌道車輛的安全運行，尤其對高速列車；此與在確定性系統(tǒng)框架不能考慮隨機因素而所得失穩(wěn)形態(tài)存在本質(zhì)區(qū)別，由此亦對軌道車輛在不同線路條件下運行時擁有不同失穩(wěn)速度提供理論解釋。

(3) 本文將隨機非線性動力學理論引入軌道車輛系統(tǒng)，將系統(tǒng)可靠性、破壞時間及概率用定量方法表示，可避免僅靠經(jīng)驗預測破壞時間的主觀性。

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